Về đầu và con quay hồi chuyển

28

KVANT 2015/№1

Về đầu và con quay hồi chuyển

S. DVORYANINOV

TRƯỚC ĐÂY, KHI ĐỒNG HỒ BÁO THỨC LÀ MÁY, nhiều chàng trai đã nóng lòng chờ đợi một thiết bị rất cần thiết trong cuộc sống hàng ngày… bị hỏng. Sau đó, người ta có thể tháo vỏ đồng hồ ra và xem cơ chế của nó - một hệ thống các bánh răng được kết nối với nhau. Chúng khác nhau về số lượng răng. Bạn quay một bánh răng, không nhanh lắm, nhưng bánh răng bên cạnh nó ở đáp số có thể quay rất nhanh. Tất cả phụ thuộc vào tỷ số truyền - tỷ lệ số răng trên mỗi bánh răng. Và sau đó, nếu đồng hồ không thể sửa chữa được, giai đoạn tiếp theo sẽ bắt đầu - cơ chế được tháo rời thành các bộ phận riêng biệt. Và ở đây trên bàn có hàng tá ngọn nhỏ - trên đó có một trục và một bánh răng. Bạn có thể nắm lấy trục bằng hai ngón tay và quay nó theo chiều dọc. Sau đó, chiếc áo này quay trên bàn rất lâu và không hề rơi xuống. Tại sao lại có cái tên như vậy - con quay? Có lẽ những con sói con cũng quay vòng vòng theo cách tương tự, cố gắng tự tóm lấy đuôi của mình và rồi kiệt sức vì mệt mỏi. Ngoài ra còn có một món đồ chơi như vậy - con quay. Nó thư giãn bằng cách nhấn định kỳ vào tay cầm. Một đỉnh thông thường rơi xuống theo thời gian vì ma sát làm cho tốc độ quay của nó giảm đi. Và con quay có nguồn cung cấp năng lượng liên tục, bù đắp cho sự mất mát động năng. Đây vẫn là một hiện tượng đáng kinh ngạc: ngọn đứng bằng một chân và không bị ngã! Nếu chúng ta cố gắng nghiêng đầu xoay, chúng ta sẽ không thể làm được điều này. Ở đáp số phần trên sẽ chỉ lệch sang một bên một chút và tiếp tục xoay như không có chuyện gì xảy ra. Tốt hơn là bạn nên tự mình cảm nhận tài sản này và đây là cách thực hiện. Khi bạn thay săm hoặc lốp xe đạp, đừng vội đặt bánh xe vào vị trí cũ. Cầm trục bánh xe bằng cả hai tay, đặt nằm ngang và nhờ một người bạn quay bánh xe. Vì vậy, bánh xe quay, bạn cảm nhận được sức nặng của nó. Bây giờ hãy thử nghiêng bánh xe sang trái hoặc phải, nghiêng trục hoặc xoay bánh xe sang trái và phải. Bạn sẽ nhận thấy ngay rằng điều này không dễ thực hiện. Khi cố gắng thay đổi vị trí của trục bánh xe một cách nhỏ nhất, áp lực lên bạn sẽ

ngón tay tăng lên. Tuy nhiên, bạn có thể di chuyển bánh xe tới lui hoặc lên xuống mà không cần tốn nhiều sức - trong những chuyển động như vậy, trục bánh xe vẫn giữ nguyên hướng ban đầu. Nhưng khi quay hoặc nghiêng thì hướng này sẽ thay đổi. Thí nghiệm đơn giản này cho thấy rõ đặc tính chính của đỉnh - giữ cho hướng của trục quay không đổi trong không gian. Hãy tiếp tục thử nghiệm của chúng tôi với phần trên cùng. Sau khi tháo phần trên của tấm bìa cứng, bạn có thể ném nó lên. Sau khi quay trong không khí và dừng lại trên tấm bìa cứng, phần trên sẽ tiếp tục quay. Các tông có thể nghiêng một chút - trục quay sẽ vẫn thẳng đứng. Đúng, trong trường hợp này, điểm tựa của đỉnh sẽ từ từ bắt đầu trượt xuống mặt phẳng nghiêng. Để ngăn điều này xảy ra, bạn có thể tạo một vết lõm nhỏ trên bìa cứng - một lỗ để đặt giá đỡ vào đó. Sau đó, bìa cứng có thể nghiêng khá nhiều theo các hướng khác nhau và trục của mặt trên sẽ vẫn thẳng đứng. Và bây giờ - phần thú vị nhất. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta đang ở Cực Bắc của Trái đất, quay phần trên của chúng ta quanh một trục thẳng đứng và đặt nó lên một miếng bìa cứng nằm ngang. Tấm bìa cứng thể hiện các hướng bắc, nam, tây và đông, bìa cứng có thể được đặt theo các hướng này. Ví dụ, hãy che phần trên của chúng ta bằng một chiếc mũ giấy. Hãy để nó xoay ở đó, vẫn vô hình đối với chúng ta. Sử dụng la bàn, bây giờ chúng ta sẽ khởi hành từ điểm đã chỉ định dọc theo kinh tuyến về phía xích đạo, giữ tấm bìa cứng có mặt trên trước mặt. Tại mỗi điểm trên bề mặt trái đất, phương thẳng đứng hướng dọc theo bán kính trái đất; Theo đó, mỗi điểm có mặt phẳng ngang riêng. Vì vậy, khi chúng ta di chuyển dọc theo kinh tuyến từ bắc xuống nam, đối với chúng ta, dường như tấm bìa cứng nằm ngang của chúng ta không thay đổi ở vị trí nằm ngang. Nhưng khi chúng ta đi được nửa đường xích đạo và đến vĩ tuyến tương ứng với $45 ^\circ$ vĩ độ Bắc, tấm bìa sẽ quay trong không gian từ vị trí ban đầu một góc $45 ^\circ$. Nhưng đối với chúng tôi, sự thay đổi này sẽ hoàn toàn không được chú ý. Bây giờ chúng ta hãy tháo chiếc mũ che phần trên của chúng ta. Bạn nghĩ hướng của trục quay sẽ như thế nào? Trục vẫn sẽ thẳng đứng? Không, bây giờ trục của đỉnh sẽ không thẳng đứng. Nó sẽ duy trì hướng thẳng đứng ở Bắc Cực. Và góc giữa đường thẳng đứng cũ này và đường thẳng đứng mới tại điểm chúng ta đã đạt tới sẽ bằng $45 ^\circ$. Chính ở góc này theo hướng bắc, trục của đỉnh bây giờ sẽ bị lệch so với phương thẳng đứng (hình1). Vì vậy, khi di chuyển dọc theo kinh tuyến về phía Nam, trục đỉnh lệch về phía Bắc. Chúng ta sẽ theo dõi sự sai lệch này. Giả sử tại một điểm nào đó trên đường đi của chúng ta độ lệch của trục so với phương thẳng đứng là $30 ^\circ$.

31

“Lượng tử”

lớp 7

III

8 đầu tiên 8 cao nhất 8 cao nhất 8 cao nhất 8 cao nhất

I I III III III

lớp 9 lớp 9 lớp 9

I II II

FML 30-7 (St. Petersburg) Đội LMSh 179-8 (Moscow) 1543-8A (Moscow) 2007-8 (Moscow) YuMSh-8 (St. Petersburg) 1543-9 (Moscow) Chernogolovka 2007-9 (Moscow)

VÌ

TRẺ HƠN

A.V.Sadovnikov

LÀ. Kolomeets S.A. Dorichenko A.V. Antropov E.G. Lysenok A.A. Solynin

K.A. Skoptsov L.N. Golovko V.V. Trushkov

Vào một ngày, các chuyến du ngoạn được tổ chức cho những người tham gia, nhưng sự kiện chính của ngày này là Olympic cá nhân. Trong tất cả các so sánh, học sinh từ Moscow trở thành người giỏi nhất. Giải Grand Prix của Olympic cá nhân được trao cho Alesya Ivanova ở lớp 6 (lớp 5 trường 2007), lớp 7 - Boris Shapoval, lớp 8 - Timofey Zaitsev (cả hai đều học trường 179). Ở lớp 9, không có giải thưởng lớn nào được trao, vị trí đầu tiên thuộc về Andrey Balakin và Nikita Tsoi (cả hai đều học năm 2007). Giải đấu năm nay được tổ chức bởi Quỹ Giáo dục và Khai sáng Toán học cũng như chương trình giáo dục “Big Change”. Việc lựa chọn bài toán và tổng hợp các phương án được thực hiện bởi một ủy ban phương pháp luận bao gồm những người sau: A.D. Blinkov, A.V. Shapovalov, I.V. Raskina, E.A. Akopyan, Yu.S. Kotelnikova, P.V. Chulkov, V.V. Trushkov, E.V. Bakaev, O.A. Zaslavsky, A.V. Khachaturyan, A.V. Gribalko, A.G. Bannikova, M.A. Artemyev, V.V. Arutyunov, A.A. Zaslavsky, A.P. Zertsalov, A.A. Garkavy. Thật thú vị khi lưu ý rằng danh sách này được bổ sung những người mới hàng năm và những người gần đây đã tham gia giải đấu với tư cách là người tham gia đã là thành viên đầy đủ của ban giám khảo. bài toán thú vị nhất của giải đấu được đưa ra dưới đây.

NHIỆM VỤ

Số học và đại số

1. Kolya viết một số tự nhiên có tất cả các chữ số khác nhau. Nếu bạn đổi chỗ bất kỳ hai chữ số nào khác nhau 1 của số này thì số đó sẽ tăng lên và nếu bạn đổi chỗ bất kỳ hai chữ số nào khác nhau 2 thì số đó sẽ giảm đi. Số lớn nhất mà Kolya có thể viết được là bao nhiêu? N. Chernyatyev

2. Một số tự nhiên có đúng 2014 chữ số, trong đó 4 chữ số ở giữa là 2, 0, 1, 4 (theo thứ tự đó). Con số này có thể là một hình vuông hoàn hảo? A. Shapovalov

3. Bốn người bạn toán học đang bị biệt giam. Mỗi người trong số họ được cho biết rằng các số của họ trong danh sách là khác nhau, có hai chữ số và một trong những số này bằng tổng của ba số còn lại. Nhưng ngay cả sau khi tìm ra số của ba người còn lại, không ai trong số họ có thể tìm ra số của chính mình. Vậy con số của họ là bao nhiêu? A. Shapovalov

TRẺ EM HỌC SINH

4. Có p đĩa (p nghĩa là đơn giản) xung quanh bàn cách nhau một mét, mỗi đĩa có một chiếc bánh quy trên đó. Carlson đi quanh bàn k mét, dừng lại và lấy một chiếc bánh quy từ đĩa. Sau đó, Kid, bắt đầu từ chỗ cũ, đi bộ m mét quanh bàn, dừng lại và lấy một chiếc bánh quy từ chiếc đĩa ở đó. Sau đó, Carlson đi bộ k mét từ điểm dừng của mình và lấy bánh quy từ đĩa (nếu còn sót lại ở đó), v.v. Họ thực hiện tất cả các chuyển đổi theo một hướng. Ai trong số họ sẽ nhận được nhiều cookie hơn và bao nhiêu, nếu k và m là tự nhiên, khác biệt và cả hai đều nhỏ hơn p? M. Shapovalov

5. Sasha đã viết một chương trình tính tuần tự tổng các số tự nhiên, bắt đầu từ năm 2014, đồng thời loại bỏ tùy ý một chữ số trong ký hiệu thập phân khỏi mỗi phần phụ (được phép xóa chữ số đầu tiên, ngay cả khi có số 0 sau nó). Chương trình sẽ kết thúc hoạt động ngay khi số tiền nhận được ở bước tiếp theo chia hết cho 3. Liệu chương trình có thể chạy vô tận không? A. Gribalko

6. Petya viết một số tự nhiên lên bảng, sau đó xóa chữ số cuối cùng và viết nó cao hơn một chút, theo số mũ. Hóa ra kết quả chia hết cho số đầu tiên được viết. Ban đầu Petya có thể viết được số lớn nhất lên bảng là bao nhiêu? A. Shapovalov

Hình học

7. Các đường chéo của tứ giác lồi ABCD cắt nhau tại điểm O. Biết AB = BC = CD và – AOD $= 120 \infty$. Chứng minh rằng AO = DO. E. Bakaev

8. Trên các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD lần lượt lấy điểm E và F. Chứng minh rằng các đường vuông góc kẻ từ điểm A đến EF, từ điểm B đến AE và từ điểm D đến AF cắt nhau tại một điểm. A.Garkavy

9. Trên các cạnh của một tứ giác lồi, các hình tam giác đều được dựng hướng vào trong. Hóa ra các hình tam giác được xây dựng trên một cặp cạnh đối diện có một đỉnh chung. Chứng minh rằng các tam giác dựng trên một cặp cạnh đối diện khác có một tâm chung. E. Bakaev

10. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại các điểm $C_{1}, A_{1}, B_{1}$, BH là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng trực tâm của các tam giác $AC_{1} B_{1}$ và $CA_{1} B_{1}$ cũng như các điểm H và $B_{1}$ cùng nằm trên một đường tròn. D. Shvetsov

11. Ba đường thẳng được vẽ trên bảng, đi qua một điểm và tạo thành các cặp góc tại $60\infty$, và

(Tiếp theo trang 34)