Giải đấu thành phố XXXVII

56

KVANT 2016/№1

6. Một thanh đồng nhất dài 2 m di chuyển dọc theo chiều dài của nó dọc theo một bề mặt nằm ngang gồ ghề, bắt đầu đi qua ranh giới, ngoài đó bề mặt trở nên nhẵn. Tốc độ của thanh lúc này là 1,6 m/s. Thanh sẽ đi được quãng đường bao nhiêu kể từ thời điểm này cho đến khi dừng lại nếu hệ số ma sát trên bề mặt gồ ghề là 0,2? 7. Một vòng đệm nhỏ trượt từ độ cao 1 m từ mặt phẳng nghiêng tạo thành một góc $45 ^\circ$ với đường chân trời. Khi kết thúc quá trình đi xuống ở chân mặt phẳng nghiêng, quả bóng chạm vào tường một cách hoàn toàn đàn hồi và bay lên trên mặt phẳng nghiêng. Quả bóng sẽ bay lên độ cao bao nhiêu sau khi va chạm nếu hệ số ma sát của quả bóng trên mặt phẳng là 0,25?

8. Hai vật giống nhau có khối lượng 5 kg được nối với nhau bằng một lò xo không biến dạng có độ cứng 15 N/m và nằm trên sàn nằm ngang. Tốc độ tối thiểu hướng dọc theo trục của lò xo phải được truyền cho một trong hai vật để nó làm vật kia chuyển động là bao nhiêu? Hệ số ma sát của mỗi vật là 0,1. 9. Trên sàn nhẵn có một tấm ván có khối lượng 1,5 kg, trên đó đặt một khối có khối lượng 490 g. Một viên đạn có khối lượng 10 g bay theo phương ngang với vận tốc 100 m/s, bay trúng khối đá và mắc kẹt trong đó. Khối sẽ di chuyển dọc theo bảng bao xa nếu hệ số ma sát giữa chúng là 0,5?

Thế Vận Hội

Giải đấu thành phố XXXVII

Bài toán chuyến du lịch mùa thu (2015)

Tùy chọn cơ bản

lớp 8–9

$1 (4)^{1}$. Có đúng là bất kỳ số tự nhiên nào cũng có thể nhân với một trong các số 1, 2, 3, 4 hoặc 5 để kết quả bắt đầu bằng số 1? E. Bakaev

2 (4). Một hình chữ nhật được làm từ các hình tam giác vuông không cân giống hệt nhau (không có lỗ hoặc chồng lên nhau). Có phải hai hình tam giác nào trong số này nhất thiết phải được sắp xếp để tạo thành hình chữ nhật không? E. Bakaev

3 (5). Ba người chơi oẳn tù tì. Trong mỗi vòng, mọi người ngẫu nhiên đưa ra “đá”, “kéo” hoặc “giấy”. Đá thắng kéo, kéo thắng giấy, giấy thắng đá. Nếu chính xác hai yếu tố khác nhau được hiển thị trong một vòng (và do đó một trong số chúng được hiển thị hai lần), thì người chơi (hoặc người chơi) hiển thị yếu tố chiến thắng sẽ nhận được 1 điểm; nếu không sẽ không có điểm nào được trao cho bất kỳ ai. Sau nhiều vòng, hóa ra tất cả các phần tử đều được hiển thị cùng số lần. Chứng minh rằng tại thời điểm này tổng số điểm mọi người ghi được chia hết cho 3. E. Bakaev

4 (5). Trên các cạnh AC và BC của tam giác vuông ABC ta lần lượt đánh dấu các điểm K và L, trên cạnh huyền AB – điểm M sao cho AK = BL = a, KM = LM = b và góc KML vuông. Chứng minh rằng a = b. E. Bakaev

5. Cả nước có 100 thành phố và cứ hai thành phố lại có một chuyến bay thẳng. Tất cả các chuyến bay đều được thanh toán và có số lượng tugriks dương (có thể không phải là số nguyên). Đối với bất kỳ cặp thành phố A và B nào, chuyến bay từ A đến B có giá bằng chuyến bay từ B đến A. Chi phí trung bình của một chuyến bay

1 Trong ngoặc đơn sau số bài toán số điểm tối đa được trao cho lời giải của nó được biểu thị. Tổng hợp kết quả của 3 nhiệm vụ đạt kết quả tốt nhất, điểm 1 bài toán được tổng hợp.

bằng 1 tugrik. Một du khách muốn bay vòng quanh m thành phố khác nhau trong m chuyến bay, bắt đầu và kết thúc ở quê hương của anh ta. Liệu anh ta có thể luôn thực hiện được một chuyến đi như vậy với chi phí không quá m tugrik cho vé nếu: a) (3) m = 99; b) (3) m = 100? E. Bakaev

lớp 10–11

1 (3). Cho p là số nguyên tố. Có bao nhiêu số nguyên dương sao cho pn chia hết cho p + n? B.Frenkin

2 (4). Cho tam giác vuông cân ABC và tam giác vuông ABD có cạnh huyền chung AB (D và C nằm cùng một phía của đường thẳng AB). Gọi DK là đường phân giác của tam giác ABD. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACK nằm trên đường thẳng AD. E. Bakaev, A. Zimin

3 (4). Xem bài toán 3 cho lớp 8–9.

4. a) (2) Xem bài toán 5,a dành cho lớp 8–9. b) (2) Xem bài toán 5, b dành cho lớp 8–9.

5 (5). Một cấp số cộng tăng vô hạn được đưa ra. Một số số hạng đầu tiên của nó được thêm vào và tổng được khai báo là số hạng đầu tiên của dãy mới, sau đó một số số hạng tiếp theo của cấp số ban đầu được thêm vào và tổng được khai báo là số hạng thứ hai của dãy mới, v.v. Trình tự mới có thể là một cấp số nhân không? G. Zhukov

Tùy chọn phức tạp

lớp 8–9

1. Chúng ta sẽ gọi một đa giác ca rô là nổi bật nếu nó không phải là hình chữ nhật và một đa giác tương tự có thể được tạo thành từ một số bản sao của nó. Ví dụ: một góc của ba ô là một đa giác nhô ra (có thể thấy điều này từ hình trên trang 57). a) (2) Thiết kế một đa giác nổi bật gồm 4 ô.

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN, GIẢI PHÁP

Mười lăm người đàn ông trên ngực người chết

Bài tập

1. Junga nhận được 1/16 số tiền còn lại và 15 đồng xu, và thế là hết số xu. Điều này có nghĩa là 15 đồng xu chiếm 15/16 số còn lại, tức là phần của cậu bé phục vụ là 16 đồng xu. Vì mọi người đều nhận được như nhau nên kho báu lên tới 15 ◊ 16 = 240 xu. 2. Đổ các phần A, B và C của rượu rum vào cốc ở đầu (và cuối). Tên cướp biển thứ ba đổ hết rượu rum của mình cho những người khác, và theo thỏa thuận, anh ta nhận được số tiền như lúc đầu. Điều này có nghĩa là C = 0, tức là đã xảy ra tình huống (A, B, 0). Trước người thứ ba, người thứ hai rót rượu rum cho anh ta, nghĩa là B cũng rót nhiều như người thứ ba rót cho anh ta. Vì vậy, trước khi rót rượu rum thứ ba, anh ta có 2B, còn người thứ nhất có A - B. Điều này có nghĩa là sau lần rót thứ hai đã xảy ra tình huống (A - B, 0, 2B). Nhưng ở đây người thứ nhất có đúng bằng người thứ hai đổ cho anh ta, tức là trước đó người thứ hai có 2(A – B), và người thứ ba có 2B – (A – B) = 3B – A. Vì chúng ta biết rằng trước nước đi đầu tiên người thứ ba không có gì nên người thứ nhất đổ vào 3B – A. Khi đó A = 2(3B – – A) và B = 2(A – B) – (3B – A) = 3A – 5B. Cả hai phương trình, sau khi đơn giản hóa, đều dẫn đến cùng một hệ thức A = 2B. Như vậy tổng thể tích rượu rum là A + B = 3B, do đó B = 2 3 pint, A = 4 3 pint. 3. Nó sẽ không thay đổi chút nào. Ở trên trong bài viết, chúng tôi đã tin rằng ngay cả với đa số đơn giản, cuộc bỏ phiếu đầu tiên sẽ thu thập tất cả các phiếu bầu ngoại trừ một phiếu. Chính xác thì điều tương tự sẽ xảy ra với quy tắc đã thay đổi 3. 4. a) ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ 5 0 1 2 3 4 5 (chữ thập có nghĩa là một tên cướp biển bị ném xuống biển).

b) Cho p = ( N - 1 )( N - 2 ) 2. Những tên cướp biển bị ném xuống biển cho đến khi p nhỏ hơn hoặc bằng K. Đối với những tên cướp biển còn lại lời giải: (K – p, 0, 1, 2,…, N – 2).

Bài toán dành cho độc lập lời giải

1. 93 0 * * * * * * * * * * * * * Như thường lệ, tên cướp biển thứ 15 nếu đến lượt hắn sẽ lấy hết tiền cho mình. Tên cướp biển thứ 14 phải đưa một đồng xu cho bảy trong số mười ba tên cướp biển đầu tiên để đảm bảo sự ủng hộ của đa số. Đối với tên cướp biển thứ 14, việc bảy tên cướp biển nào được tặng một đồng xu không quan trọng, vì vậy lựa chọn sẽ được thực hiện ngẫu nhiên:

• • • • • • • • • • • • • 93 0

Những tên cướp biển có cơ hội nhận được đồng xu sẽ được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Tên cướp biển thứ 13 cũng làm như vậy. Anh ta lấy 93 đồng xu cho mình và phân phát 7 đồng xu còn lại cho những tên cướp biển còn lại, ngoại trừ tên cướp biển số 14. Mỗi tên cướp biển được tên cướp biển thứ 13 đưa cho một đồng xu sẽ vui vẻ bỏ phiếu cho kế hoạch của mình, vì một đồng xu được đảm bảo từ tên cướp biển thứ 13 có lợi hơn cơ hội nhận được một đồng xu từ tên cướp biển thứ 14. Những tên cướp biển còn lại cũng nghĩ tương tự. Cướp biển số X lấy 93 xu cho mình và phân phát ngẫu nhiên 7 xu cho 13 tên cướp biển, không bao gồm cướp biển số X + 1. Tên cướp biển đầu tiên sẽ không phải là ngoại lệ. Anh ta sẽ đưa một đồng xu cho bảy tên cướp biển được chọn ngẫu nhiên với số lượng lớn hơn hai:

93 0 * * * * * * * * * * * * *

Kế hoạch này sẽ được thông qua. 2. 92 0 1 2 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Chúng tôi sẽ chỉ đưa ra một tập hợp các kế hoạch mà bọn cướp biển sẽ đưa ra.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 93 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 92 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 93 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0 1 1 1 92 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 93 0 1 0 1 0 1 1 2 0 0 0 0 1 92 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 93 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 93 0 1 0 1 0 1 0 1 2 0 0 1 1 92 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 93 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 2 0 92 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 0 92 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 92 0 1 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 92 0 1 2 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

3. Cướp biển từ thứ 48 đến thứ 62, tính từ cuối, mỗi người sẽ nhận được một xu. Trong lời giải bài toán 5b, chúng tôi đã chứng minh rằng lời đề nghị của tên cướp biển thứ 94 sẽ được chấp nhận. Tất cả những tên cướp biển từ thứ 63 đến thứ 93 đều là “kẻ đánh bom liều chết” và do đó sẽ bỏ phiếu miễn phí cho kế hoạch của thứ 94. Bản thân người thứ 94 cũng sẽ bỏ phiếu miễn phí cho anh ta. Và anh ta sẽ đưa tiền cho người lớn tuổi nhất trong số những người không nhận được tiền trong lần đưa ra lời đề nghị đã được chấp nhận trước đó. Vì đây là đề xuất của trung đoàn 62, và tất cả mọi người từ trung đoàn 47 đến 61 đều là những kẻ đánh bom liều chết, nên không ai từ trung đoàn 47 đến 62 có tiền. Do đó, những người lớn tuổi hơn sẽ nhận được tiền. 4. Nếu K < M thì K xu, ngược lại

(

) tối đa M, È Î ( K + 1 ) ( M + 1 ) ˚ ˘ - 1 xu.

Chúng ta hãy xây dựng ở dạng chung hai chiến lược của đội trưởng được mô tả trong lời giải bài toán 7. Chiến lược đầu tiên là đội trưởng giữ M xu cho mình (nếu K < M thì K xu) và đưa phần còn lại cho thuyền trưởng. Thuyền trưởng đồng ý với kế hoạch này, vì để hỗ trợ bất kỳ kế hoạch thay thế nào, anh ta sẽ cần đưa 1 triệu xu cho các thủy thủ, nhưng trong trường hợp này, bản thân thuyền trưởng sẽ không nhận được nhiều hơn số tiền mà người hoa tiêu đưa cho anh ta. Chiến lược thứ hai là thuyền trưởng phân bổ M thủy thủ của nhóm A È Î ( K + 1 ) ( M + 1 ) ˘ ˚ xu và để lại È Î ( K + 1 ) ( M + 1 ) ˚ ˘ - 1 xu cho mình. Thuyền trưởng có thể đưa số tiền còn lại cho thuyền trưởng hoặc thủy thủ nhóm A. Như vậy, tổng lợi nhuận của hoa tiêu sẽ là

K xu nếu K < M;

(

) max M, О È ( K + 1 ) ( M + 1 ) ˚ ˘ - 1 xu, nếu $K \ge M. 5.$ 7 cho thuyền trưởng và thuyền trưởng, 1 cho thuyền trưởng. Để ngắn gọn, hãy gọi các anh hùng của chúng ta bằng các chữ cái K (thuyền trưởng, đề xuất kế hoạch trước), Sh (đội trưởng, thứ hai) và Yu (cậu bé cabin, thứ ba). Tuyên bố 1. Yu được đảm bảo nhận được ít nhất một xu. Bằng chứng. Yu chỉ có hai cách hành xử khác nhau - “hợp tác” với người khác hoặc “trả thù”, tức là hành động để không ai nhận được chiến lợi phẩm. Phải chăng Yu luôn có cơ hội và mong muốn trả thù? Hãy xem xét hai trường hợp có thể xảy ra. A. Sau khi đề xuất phương án K và Sh, ý kiến ​​của bọn cướp biển đã bị chia rẽ: hai người sẵn sàng bỏ phiếu cho một phương án P1, người thứ ba - cho một phương án P2 khác. Sau đó, Yu có thể trả thù bằng cách tặng 15 xu cho một trong hai người bỏ phiếu cho P1 và đồng thời nhận được ít hơn người kia. B. Sau khi đưa ra phương án K và W, cả ba đều sẵn sàng biểu quyết cho phương án đó. Sau đó, Yu có cơ hội mua phiếu bầu của người nhận được ít hơn theo kế hoạch và lấy hết số tiền còn lại cho mình. Vì vậy, không cần thiết phải trả thù.

61

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

Tốc độ cao của vòng lớn hơn $\omega$ 2 lần và tốc độ tuyến tính của nó bằng $2 \omega R. 14.$ Với khả năng chiều dài của sợi chỉ giảm một chút x, điểm treo của tải sẽ tăng gấp 3 lần. Theo nguyên lý chuyển vị có thể, ta thấy lực căng của sợi dây là 3 mg.

Kinh nghiệm vi mô

Nếu thước di chuyển theo một hướng với cùng tốc độ, thì bút chì sẽ di chuyển cùng với chúng mà không quay. Trong trường hợp tốc độ của thước có hướng bằng nhau nhưng khác nhau về độ lớn, trục của bút chì quay bắt đầu di chuyển về phía trước. Nếu tốc độ của thước được hướng theo các hướng khác nhau và có độ lớn bằng nhau thì bút chì chỉ thực hiện chuyển động quay.

GIẢI PHÁP

Tất cả các đỉnh là tâm của các ô màu xanh. Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào bảng bên phải ở hình 13 và để ý rằng tất cả các hình chữ nhật thông thường, trong đó một trong các đỉnh là tâm của ô được đánh dấu bằng chữ A, thì ít nhất một trong các đỉnh đó trở thành tâm của ô màu trắng. Điều này có nghĩa là hai màu này không thể chuyển đổi thành nhau bằng các thao tác được chỉ định. 3. Họ có thể. Ví dụ về cách sắp xếp phù hợp các hình tam giác và đường thẳng được trình bày ở hình 14.

CUỘC THI ĐẶT THEO A. P. SAVINA

(xem «Kvant» số 4 cho năm 2015)

1. 119. Nếu đối với số k ở dòng trên cùng thì số m là số nhân thì km = n – k + 1 (đây là số các số sẽ ở dòng đầu tiên nếu bạn đi dọc theo dòng bắt đầu từ số k). Do đó n + 1 = k(m + 1), do đó, n + 1 chia hết cho m + 1. Điều này có nghĩa là trong trường hợp các bội số 11, 9, 7, 5, 4, 3, 2, số n + 1 phải chia hết cho 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3. Số nhỏ nhất có thể có tính chất này là bội số chung nhỏ nhất của các số này, tức là. 120. Dễ dàng kiểm tra được rằng với n = 119 ở dòng thứ hai thì mỗi số 11, 9, 7, 5, 4, 3, 2 thực sự xuất hiện. 2. Với n = 1 Petya đúng, với $n \ge 2$ Kolya đúng. Nếu n = 1 thì bàn cờ có kích thước 2 ¥ 2 và chỉ có hai màu trang nhã (bàn cờ). Cái này có được từ cái kia bằng cách sắp xếp lại các hàng hoặc cột. Hãy để $n \ge 2$. Để xác nhận rằng Kolya đúng, chỉ cần đưa ra một ví dụ về hai màu trang nhã không thể chuyển đổi thành nhau bằng các thao tác đã chỉ định. hình 13 cho thấy một ví dụ về các chất tạo màu như vậy (đây là một ví dụ

Hình 13

với n = 4, nhưng cách suy luận tương tự cũng áp dụng được cho tất cả những phần còn lại $n \ge 2 ).$ Chúng ta hãy chứng minh rằng bằng cách hoán đổi hàng và cột, không thể thu được một màu khác từ một màu. Để làm điều này, hãy lưu ý rằng nếu chúng ta chọn bốn ô, tâm của chúng tạo thành một hình chữ nhật có các cạnh song song với các cạnh của bảng, thì sau khi sắp xếp lại các hàng và cột, tâm của các ô này sẽ vẫn tạo thành một hình chữ nhật có các cạnh song song với các cạnh của bảng (để ngắn gọn, chúng ta sẽ gọi những hình chữ nhật như vậy là đều đặn). Cũng lưu ý rằng trên bảng bên trái đối với bất kỳ ô màu xanh lam nào, bạn có thể tìm thấy thêm ba ô màu xanh lam sao cho tâm của cả bốn ô tạo thành một hình chữ nhật thông thường. Điều này có nghĩa là, bất kể chúng ta hoán đổi các hàng và cột trên bảng bên trái như thế nào, tâm của bất kỳ ô màu xanh nào cũng sẽ là đỉnh của ít nhất một hình chữ nhật thông thường,

Hình 14

Hình 15

Bây giờ chúng ta cần giải thích tại sao có thể thực hiện được cấu hình như vậy. Xét tam giác ABC, cách dựng tam giác này có thể thấy từ hình 15: Đường thẳng OA và OB vuông góc nhau, OA = OB = 5, BC = 1. Cùng tìm hiểu xem đường thẳng đứng diễn ra như thế nào $П_{2}$, chia chu vi của tam giác này làm đôi. Cho OM = 3 (tức là M là điểm giữa OS), K là giao điểm của AB và đường thẳng đứng đi qua điểm C (hình16). Rõ ràng BK > BC nên AK > AB + BC và tổng các đoạn AK và AC lớn hơn chu vi tam giác ABC. Dọc thẳng $П_{В}$, vẽ qua điểm M, đi qua Hình 16 cắt giữa AC và AK nghĩa là thẳng $П_{2}$ đi về bên trái của đường thẳng này. Bây giờ hãy tìm hiểu xem đường ngang được đặt như thế nào $П_{1}$, chia đôi diện tích của tam giác ABC. Nó song song với BC và cắt khỏi tam giác ABC một tam giác đồng dạng có một nửa diện tích. Diện tích của các hình tam giác giống nhau có liên hệ giống như các hình vuông có kích thước tuyến tính. Vì vậy, nếu thẳng $П_{1}$ cắt OA tại điểm D thì AD = OA 2. Gọi P và T là giao điểm của đường thẳng $П_{1}$ thẳng AB và $П_{В}$ tương ứng. Dễ dàng chứng minh rằng điểm T nằm ở bên trái điểm P. Thật vậy, DT = OM = 3, trong khi DP = AD = OA 2 = 5 2 > 3. Từ tất cả những điều này suy ra rằng giao điểm của các đường thẳng $П_{1}$ Và $П_{2}$ nằm ngoài tam giác ABC. Do đó, nó có thể bị phản xạ đối xứng qua điểm này và tam giác thu được sẽ không cắt tam giác ABC. Trực tiếp $П_{1}$ Và $П_{2}$, hiển nhiên khi đó sẽ giảm một nửa diện tích và chu vi của tam giác phản chiếu. 4. Có thể. Chỉ cần đặt các thẻ sao cho không nhìn thấy một số 0 duy nhất và chỉ nhìn thấy một đơn vị. Phải có số 0 ở mặt sau của thẻ với một, vì thẻ cụ thể này phải là một. 5.h.