Lời giải bài toán M2389—M2395; F2395—F2402

22

KVANT 2016/№1

F2414. Một khối nhỏ có khối lượng m nằm trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn cách một khoảng $L_{0}$ tính từ một cột thẳng đứng trên đó gắn một khối nhỏ không trọng lượng có trục nằm ngang cố định ở độ cao h. Một sợi dây dài không trọng lượng, không giãn được gắn ở một đầu vào một khối, ném qua một khối và bị căng với một lực không đổi F > mg. Không có ma sát trong trục khối. Tại thời điểm ban đầu, khối trượt dọc theo bề mặt và có tốc độ $v_{0}$, hướng ra xa cột. Khi vật dừng lại một lúc thì khoảng cách từ cột đến khối là bao nhiêu? Vận tốc của khối tại thời điểm khối ngừng ép lên bề mặt là bao nhiêu? A. Starov

F2415. Một khối hình chữ nhật dài L = 1 m có tiết diện hình vuông a ¥ a = 10 ¥ 10 cm có khối lượng riêng $\rho = 500$ kg $м^{3}$. Khối được hạ xuống nước hồ và được giữ ở vị trí cân bằng không ổn định đến mức một trong các cạnh dài của khối bị khô và nằm ngang, trong khi một nửa thể tích của khối được ngâm trong nước. Khối được thả ra và nó ở một vị trí ổn định, quay quanh trục đối xứng một góc $\alpha = 45 \infty$. Thế năng của hệ “khối nước” đã giảm đi bao nhiêu? S. Dmitriev

F2416. Vasya thổi bong bóng xà phòng qua một ống dài. Sau khi thổi phồng bong bóng, anh ta thả ống ra khỏi miệng, đồng thời không khí từ bong bóng thoát ra ngoài qua ống. Bong bóng cuối cùng cũng biến mất mà không vỡ sau thời gian $\tau$. Sẽ mất bao lâu để một bong bóng xà phòng có bán kính gấp đôi được bơm căng theo cùng một cách như vậy sẽ xẹp xuống? Giả sử rằng không khí di chuyển qua ống khá chậm và tính chất của màng xà phòng đối với cả hai bong bóng là như nhau. V. Puzyrev

nhưng với các điện tích Q có thể giống hệt nhau. Sau đó, họ ngắt các quả bóng ra khỏi nguồn và bắt đầu nối đất lần lượt các quả bóng bằng một sợi dây dài mỏng và ngắt chúng ra khỏi đất. Sau lần tiếp đất đầu tiên của quả bóng 1, nó có điện tích $q_{1}$, sau khi quả bóng tiếp đất 2 nó có điện tích $q_{2}$, v.v. Nói cách khác, việc nối đất lẻ được thực hiện cho quả bóng 1 và chẵn cho quả bóng 2. Tìm $Q, q_{1}, q_{2}, q_{3}$, … cho đến số lần tiếp đất tối đa, khi vẫn đạt được đáp số “hợp lý”. Cường độ điện trường “đột phá” trong không khí $E_{0} = 3$ ◊ $10^{6}$ V m. S.Zaryadov

F2419. Được biết, khối lượng của Mặt Trời là M = 2 ◊ $10^{30}$ kg. Khoảng 73% khối lượng của Mặt trời là hydro, 25% khối lượng là heli và phần còn lại chỉ chiếm 2% khối lượng Mặt trời. Nguồn năng lượng của Mặt trời là phản ứng hạt nhân chuyển đổi hydro thành heli, xảy ra ở một khu vực nhỏ (so với kích thước của Mặt trời) gần trung tâm của nó. Các phản ứng khác, đặc biệt là phản ứng chuyển helium thành carbon, v.v., theo tính toán của các nhà khoa học, sẽ chỉ bắt đầu xảy ra ở Mặt trời ở giai đoạn tiến hóa cuối cùng. Sau bao lâu thì tỉ lệ hydro trong khối lượng Mặt trời bằng 72%? Để tham khảo: hằng số mặt trời gần Trái đất là W = 1370 W $м^{2}$, khối lượng proton là $m_{п} = 1,0072765$ amu, proton nặng hơn electron 1836,1527 lần, khối lượng hạt nhân helium-4 là $m_{г} = 4,00260325415$ amu. M. Solntsev

Lời giải bài toán M2389–M2395, F2395–F2402

M2389. Cho 2n + 1 số (n là số tự nhiên), trong đó một số bằng 0, hai số bằng 1, hai số bằng 2, …, hai số bằng n. Với n nào thì các số này có thể viết thành một dòng sao cho với mỗi số nguyên dương m từ 1 đến n có đúng m số số khác nằm giữa hai số bằng m?

F2417. Một chất khí gồm các photon mà nội năng U tỷ lệ với thể tích V và nhiệt độ tuyệt đối T theo lũy thừa bậc 4: $U = \alpha VT^{4}$, và áp suất khí p bằng 1/3 tỷ số giữa nội năng và thể tích: $p = \alpha T^{4} 3$, tham gia vào quá trình được mô tả ở hình. Hiệu suất của quá trình này là gì? Hiệu suất tối đa có thể có của động cơ nhiệt ở nhiệt độ nóng và lạnh bằng nhiệt độ tối đa và tối thiểu trong quá trình đang xem xét là bao nhiêu? A. Gazov

M2390. Đồ thị của tam thức bậc hai có hệ số nguyên cắt trục x tại các điểm X, Z và trục tọa độ tại điểm Y (cả ba điểm đều khác nhau). Tìm giá trị lớn nhất có thể có của góc XYZ.

F2418. Hai quả cầu dẫn điện giống hệt nhau 1 và 2 có đường kính d = 10 cm, mỗi quả được lắp đặt trên các giá đỡ không dẫn điện trong không khí sao cho khoảng cách giữa tâm của chúng là L = 1 m. Đầu tiên, các quả bóng được nối với nguồn điện áp cao và được tích điện ở mức tối đa.

Đáp số: $90\infty$. Một ví dụ là tam thức $x^{2} - 1$. Hãy chứng minh rằng không thể có được một góc tù. Gọi O là gốc tọa độ, tam thức là $ax^{2} + bx + c$ và gọi các nghiệm của nó là r và s. Giả sử góc XYZ

Đáp số: cho bất kỳ. Hãy sắp xếp các số như sau: …, 6, 4, 2, n, 0, 2, 4, 6, …, 5, 3, 1, n, 1, 3, 5, … (đầu tiên các số chẵn nhỏ hơn n xếp theo thứ tự giảm dần, sau đó n, 0, các số chẵn giống nhau theo thứ tự tăng dần, các số lẻ nhỏ hơn n xếp theo thứ tự giảm dần, n và các số lẻ giống nhau theo thứ tự tăng dần). I. Akulich

30

KVANT 2016/№1

thể tích cầu) là dầm hoặc giàn nằm trên các gối đỡ cầu. Biến dạng nguy hiểm nhất của cầu dầm là biến dạng uốn của dầm; Để giảm bớt nó, các nhịp nên được thực hiện càng ngắn càng tốt. Trong trường hợp nhịp lớn, không thể lắp đặt các giá đỡ trung gian thì sử dụng cầu treo. Bộ phận chịu lực chính của cầu treo là bộ phận linh hoạt được gọi là cáp hoặc $цепью^{1}$, được cố định vào hai trụ đỡ chắc chắn - trụ, nằm ở đầu và cuối cầu, còn lòng đường được treo bằng dây xích trên các dây cáp thẳng đứng. Thiết kế này giúp loại bỏ các ứng suất uốn nguy hiểm nhất. Ứng suất chính của cầu treo là ứng suất kéo trong dây xích và cáp thẳng đứng, không nguy hiểm như uốn dầm bê tông cốt thép và thép cường độ cao hiện đại có thể dễ dàng chịu được.

Cầu Crimean, Moscow

Cầu Xihoumen, Trung Quốc - cây cầu đầu tiên có nhịp hơn một km (nhịp chính dài 1067 m, khai trương năm 1931, Hoa Kỳ), Cầu Cổng Vàng (1280 m, 1937, Hoa Kỳ), Cầu Akashi-Kaikyo (1991 m, 1991, Nhật Bản), Cầu Xihoumen - cây cầu đầu tiên có nhịp dài hơn hai km (2120 m, 2009, Trung Quốc) và nhiều cầu khác. Cầu treo không yêu cầu buộc chặt đường vào các trụ đỡ và do đó có thể làm giảm tải trọng gió hoặc địa chấn mà không ảnh hưởng đến tính toàn vẹn của kết cấu. Tuy nhiên, gió là mối đe dọa chính đối với cầu treo: khi có gió mạnh, cây cầu hoạt động giống như cánh máy bay - ứng suất phát sinh trong suốt nhịp dưới tác động của lực nâng, có thể phá hủy cây cầu. Một trường hợp như vậy đã xảy ra trong thực tiễn xây dựng cầu - Cầu treo Tacoma ở Mỹ đã bị phá hủy trong một cơn bão vào ngày 7 tháng 11 năm 1940. May mắn thay, không có ai thiệt mạng trong vụ phá hủy này. Quá trình phá hủy cầu Tacoma được quay bằng máy quay nghiệp dư. Việc phân tích những vật liệu này cho phép các kỹ sư hiểu được những sai sót trong thiết kế của cầu treo và phát triển các cơ chế để loại bỏ chúng. Trong các dự án tiếp theo, biện pháp bảo vệ khỏi tải trọng gió đã được đưa ra và các tai nạn lớn với cầu treo không còn xảy ra nữa. (Có thể xem video ấn tượng về vụ phá hủy cầu Tacoma trên Internet tại http://www.youtube.com/watch?v=Xxgobk5AFrI)

Cầu Zhivopisny, Moscow

Hiện tại, tất cả các cây cầu có nhịp lớn đều là cầu treo (hoặc một biến thể là cầu dây văng). Ví dụ, đây là Cầu George Washington bắc qua Hood

1 Tất nhiên, xích trên cầu treo lớn hoàn toàn không

một sợi dây xích theo nghĩa thông thường mà là một sợi cáp thép cường độ cao dày vài chục cm, có khả năng đỡ trọng lượng của mặt cầu.

Cầu George Washington, Mỹ