Bài toán M2406—M2413; F2413—F2419

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này nên được gửi đến địa chỉ sau: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) hãy gửi vào các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Bài toán Kvant Số 1–2016” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M2406” hoặc “F2413”. Trong cột “Từ”, vui lòng viết họ và tên của bạn một cách rõ ràng. Trong thư, vui lòng gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn và bộ tem được yêu cầu (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Lời giải bài toán trong toán học và vật lý cũng có thể được gửi đến các địa chỉ email tương ứng: [email protected] và [email protected]. Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “Bài toán Kvant, bài toán mới trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học. Bài toán M2406–M2411, M2413 đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XXXVII.

Bài toán M2406–M2413, F2413–F2419

M2406. K số đã bị loại bỏ khỏi các số nguyên từ 1 đến 100. Có cần chọn k số khác nhau có tổng bằng 100 trong số các số còn lại nếu: a) k = 9; b) k = 8? A. Shapovalov

M2407. Mọi hệ số của một đa thức đều là số nguyên và mô đun của chúng không vượt quá 2015. Chứng minh rằng mọi nghiệm dương của đa thức này đều lớn hơn 1/2016. A. Khrabrov

M2408. Trong tam giác ABC, các đường trung tuyến $AA_{0}, BB_{0}, CC_{0}$ cắt nhau tại điểm M. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $MA_{0} B_{0}, MCB_{0}, MA_{0} C_{0}, MBC_{0}$ và điểm M cùng nằm trên một đường tròn. P.Kozhevnikov

M2409. Một hình vuông ca rô 9 ¥ 9 được làm bằng các que diêm, cạnh của mỗi hình vuông là một que diêm. Petya và Vasya thay phiên nhau bỏ que diêm, Petya bắt đầu. Người chiến thắng là người có nước đi không còn 1 ¥ 1 ô vuông. Ai có thể hành động theo cách đảm bảo chiến thắng, bất kể đối thủ của mình chơi như thế nào? A. Shapovalov

M2410. Cho tứ giác nội tiếp ABCD. Các phần kéo dài của các cạnh đối diện của nó cắt nhau tại các điểm P và Q. Gọi K và N là trung điểm của các đường chéo. Chứng minh rằng tổng các góc PKQ và PNQ bằng $180\infty$. M. Didin

M2411. Petya nhìn thấy một số số khác nhau trên bảng và quyết định tạo một biểu thức có giá trị bao gồm tất cả các số này chứ không phải các số khác. Khi soạn một biểu thức, Petya có thể sử dụng bất kỳ số nào, ký hiệu đặc biệt “$\pm$”, cũng như các ký hiệu thông thường “+”, “–”, “¥” và dấu ngoặc. Các giá trị của biểu thức được biên dịch

Nó tính toán bằng cách chọn cho mỗi dấu hiệu “$\pm$” hoặc “+” hoặc “–” trong tất cả các kết hợp có thể có. Ví dụ: nếu có số 4 và 6 trên bảng thì biểu thức $5 \pm 1$ sẽ phù hợp và nếu có các số 1, 2 và 3 trên bảng thì biểu thức $( 2 \pm 0,5 ) \pm 0,5$ sẽ phù hợp. Có thể soạn biểu thức cần thiết nếu viết các số sau lên bảng: a) các số 1, 2, 4; b) có 100 số thực khác nhau không? Ko Bong Gyun (Hàn Quốc)

M2412. Dễ dàng kiểm tra xem thể tích của một bát diện đều mô tả xung quanh một hình cầu có bán kính 1 có bằng 4 3 hay không. Hãy tìm hiểu xem câu phát biểu sau đây có đúng hay không: “Thể tích của bất kỳ bát diện đều nào được mô tả xung quanh một hình cầu có bán kính 1 không nhỏ hơn 4 3”. A. Merkulova

$M2413^{*}$. Hàng gồm N chàng trai có chiều cao khác nhau xếp thành từng cặp. Nó được chia thành số lượng nhóm chàng trai đứng thành hàng ít nhất có thể, trong đó mỗi nhóm đứng theo chiều cao tăng dần từ trái sang phải (có thể là nhóm một người). Sau đó ở mỗi nhóm các em được sắp xếp lại theo thứ tự chiều cao giảm dần từ trái qua phải. Chứng minh rằng sau N – 1 phép tính như vậy các em sẽ đứng theo thứ tự chiều cao giảm dần từ trái sang phải. N. Gladkov

F2413. Vào đêm giao thừa trong thời tiết lặng gió, một chiếc máy bay cất cánh từ sân bay St. Petersburg $( 60\infty$ vĩ độ Bắc và bay ở độ cao không đổi h = 5 km với tốc độ không đổi v = 1000 km/h, luôn hướng về phía đông bắc (theo các vì sao). Với gia tốc bằng bao nhiêu so với Trái đất (hệ Ptolemaic) để máy bay chuyển động chính xác sau T = 4 giờ bay? Có thể coi Trái đất là một quả bóng có bán kính R = 6400 km. V. Chkalov