Olympic Toán học Châu Âu dành cho nữ V

60

KVANT 2016/№5-6

Olympic Toán học Châu Âu dành cho nữ V

Từ ngày 10 đến ngày 16 tháng 4 năm 2016, Kỳ thi Olympic Toán học Nữ Châu Âu (EGMO) lần thứ 5 đã được tổ chức tại Romania. Thế vận hội được tổ chức tại thị trấn Busteni đẹp như tranh vẽ, nằm ở vùng núi phía bắc đất nước. Tổng cộng có 147 nữ sinh từ 38 quốc gia đã tham gia Olympic. Ngoài các đội đến từ các nước châu Âu, các đội đến từ Mỹ, Mexico, Ecuador, Nhật Bản, Ả Rập Saudi, Ấn Độ và Israel cũng tham gia Olympic ngoài thi đấu chính thức. Độ khó bài toán của Olympic rất cao. Đối với hầu hết người tham gia, ngay cả những nhiệm vụ đơn giản nhất (bài toán 1 và 4) cũng gây ra khó khăn và những bài thi bài toán khó nhất (bài toán 3 và 6) cũng khá tương đương với những bài toán có độ phức tạp trung bình tại Olympic Toán học Quốc tế. Nga được đại diện tại Olympic EGMO bởi: Lyalina Albina (Izhevsk, Lyceum 29, lớp 11), Sonina Alexandra (Yaroslavl, trường 33, lớp 11), Dmitrieva Maria (Moscow, Lyceum “Trường Hai”, lớp 10), Tolokno Isabella (St. Petersburg, FML 239, lớp 10). Các cô gái của chúng ta đã thể hiện một kết quả xuất sắc. Họ giành 3 huy chương vàng và 1 huy chương bạc, đứng nhất ở nội dung thi đấu đồng đội chính thức (với tổng số 122 điểm). Người Mỹ đứng thứ hai (111 điểm), vị trí thứ ba thuộc về cô gái Bulgaria (99 điểm). Maria Dmitrieva của chúng tôi đã trở thành người đứng đầu bảng xếp hạng cá nhân trong số tất cả những người tham gia Olympic; cô ấy đã giải quyết được mọi thứ bài toán và ghi được số điểm tối đa có thể. Thông tin chi tiết về Olympic có trên trang web chính thức: www.egmo.org

Bài toán thế vận hội

1. Cho n là số nguyên dương lẻ và $x_{1}, x_{2}$, … $, x_{n}$ là số thực không âm. Chứng minh rằng

(

) tối thiểu $x_{i}^{2} + x_{i}^{2} +_{1}$ £ tối đa $2 x_{j} x_{j} +_{1}$, i = 1, …, n trong đó $x_{n} +_{1} = x_{1}$.

j = 1, …, n

(

)

Hà Lan

2. Các đường chéo AC và BD của tứ giác nội tiếp ABCD cắt nhau tại điểm X. Các điểm $C_{1}, D_{1}$ và M lần lượt là trung điểm của các đoạn CX, DX và CD. Các đường thẳng $AD_{1}$ và $BC_{1}$ cắt nhau tại điểm Y và đường thẳng MY cắt các đường chéo AC và BD lần lượt tại các điểm E và F. Chứng minh rằng đường thẳng XY tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác EFX. Белоруссия

3. Cho m là một số nguyên dương. Cho một bảng 4 m ¥ 4 m, gồm các ô đơn. Chúng tôi gọi hai ô khác nhau có liên quan nếu chúng nằm trong cùng một hàng hoặc trong cùng một cột. Không có ô nào có liên quan đến chính nó. Một số tế bào

Từ trái sang phải: A. Lyalina, M. Dmitrieva, A. Sonina, I. Tolokno, được tô màu xanh lam, và hóa ra mỗi ô của bảng có ít nhất hai ô màu xanh lam liên quan đến nó. Tìm số lượng ô màu xanh nhỏ nhất có thể. México

4. Xem bài toán M2423 “Bài toán Kvant”.

5. Cho các số nguyên k và n sao cho $k \ge 2$ và k £ n £ 2 k - 1. Trên một bảng ca rô có kích thước n ¥ n, các ô thuộc bất kỳ loại nào trong hai loại 1 ¥ k và k ¥ 1 được xếp tuần tự sao cho mỗi ô bao phủ chính xác k ô vuông và không có hai ô nào chồng lên nhau. Quá trình này kết thúc khi không thể thêm ô nào. Tìm số lượng gạch nhỏ nhất có thể được xếp ra. Hà Lan

6. Đặt S là tập hợp tất cả các số nguyên dương n sao cho số $n^{4}$ chia hết cho ít nhất một trong các số $n^{2} + 1, n^{2} + 2,$ …, $n^{2} +$ 2n. Chứng minh rằng trong số các phần tử của tập S có vô số số thuộc mỗi loại 7m, 7m+1, 7m+2, 7m+5, 7m+6 và không tồn tại một số nào thuộc loại 7m+3 và 7m+4 với m là số nguyên. Hà Lan

Ấn phẩm được biên soạn bởi N. Agakhanov, I. Vasilyeva, P. Kozhevnikov