V Европейская математическая олимпиада для девушек

60

КВАНТ 2016/№5-6

V Европейская математическая олимпиада для девушек

С 10 по 16 апреля 2016 года в Румынии проходила пятая по счету Европейская математическая олимпиада для девушек (European Girls Mathematical Olympiad – EGMO). Олимпиада проводилась в живописном городке Буштени, расположенном в горном районе на севере страны. Всего в олимпиаде приняли участие 147 школьниц из 38 стран. Помимо команд европейских стран в олимпиаде вне официального конкурса приняли участие сборные США, Мексики, Эквадора, Японии, Саудовской Аравии, Индии, Израиля. Уровень сложности задач олимпиады был весьма высок. У большинства участниц трудности вызвали даже наиболее простые задания (задачи 1 и 4), а самые трудные задачи олимпиады (задачи 3 и 6) вполне сопоставимы с задачами средней сложности на Международных математических олимпиадах. Россию на олимпиаде EGMO представляли: Лялина Альбина (Ижевск, лицей 29, 11 класс), Сонина Александра (Ярославль, школа 33, 11 класс), Дмитриева Мария (Москва, лицей «Вторая школа», 10 класс), Толокно Изабелла (Санкт-Петербург, ФМЛ 239, 10 класс). Наши девушки показали отличный результат. Они завоевали 3 золотые и 1 серебряную медаль, заняв первое место в официальном командном зачете (набрав суммарно 122 балла). Вторыми финишировали американки (111 баллов), третье место – за девушками из Болгарии (99 баллов). Лучшей в индивидуальном рейтинге среди всех участниц олимпиады стала наша Мария Дмитриева, она решила все задачи и набрала максимально возможное количество баллов. Подробная информация об олимпиаде – на официальном сайте: www.egmo.org

Задачи олимпиады

1. Пусть n – нечетное целое положительное число, а $x_{1}, x_{2}$, … $, x_{n}$ – неотрицательные действительные числа. Докажите, что

(

) min $x_{i}^{2} + x_{i}^{2} +_{1}$ £ max $2 x_{j} x_{j} +_{1}$, i = 1, …, n где $x_{n} +_{1} = x_{1}$.

j = 1, …, n

(

)

Нидерланды

2. Диагонали AC и BD вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке X. Точки $C_{1}, D_{1}$ и M – середины отрезков CX, DX и CD соответственно. Прямые $AD_{1}$ и $BC_{1}$ пересекаются в точке Y, а прямая MY пересекает диагонали AC и BD в различных точках E и F соответственно. Докажите, что прямая XY касается окружности, описанной около треугольника EFX. Белоруссия

3. Пусть m – целое положительное число. Дана таблица 4 m ¥ 4 m, состоящая из единичных клеток. Две различные клетки назовем родственными, если они находятся в одной строке или в одном столбце. Никакая клетка не является родственной для самой себя. Некоторые клетки

Слева направо: А.Лялина, М.Дмитриева, А.Сонина, И.Толокно, были окрашены в синий цвет, при этом оказалось, что у каждой клетки таблицы не менее двух родственных ей синих клеток. Найдите наименьшее возможное количество синих клеток. Мексика

4. См. задачу М2423 «Задачника «Кванта».

5. Пусть даны целые числа k и n такие, что $k \ge 2$ и k £ n £ 2 k - 1. На клетчатую доску размером n ¥ n последовательно выкладывают плитки любого из двух видов 1 ¥ k и k ¥ 1 так, что каждая плитка покрывает ровно k клеток и никакие две плитки не перекрываются. Этот процесс заканчивается, когда невозможно добавить ни одной плитки. Найдите наименьшее возможное количество выложенных плиток. Нидерланды

6. Пусть S – множество всех положительных целых чисел n таких, что число $n^{4}$ делится хотя бы на одно из чисел $n^{2} + 1, n^{2} + 2,$ …, $n^{2} +$ 2n. Докажите, что среди элементов множества S бесконечно много чисел каждого из видов 7m, 7m + 1, 7m + 2, 7m + 5, 7m + 6 и нет ни одного числа вида 7m + 3 и вида 7m + 4, где m – целое. Нидерланды

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Васильева, П.Кожевников