Задачи 6—10

24

КВАНТ 2016/№5-6

Что будет получаться, если рассматривать в нашей интерпретации (x, y – расстояния до двух точек плоскости X и Y) другие линейные уравнения? Рассмотрим, например, уравнение y = 2x. На прямой XY есть две точки, для которых выполнено y = 2x, назовем эти точки U и V так, что U лежит на отрезке XY, а V – на его продолжении. Пусть A – произвольная точка, для которой выполнено y = 2x, т.е. AY = 2AX (рис.6).

Рис. 8

Рис. 6

Поскольку AY AX = UY UX = 2, получаем, что AU – биссектриса угла XAY. Аналогично, исходя из свойств внешней биссектрисы, AV – внешняя биссектриса угла XAY. Так как $AU \perp AV$, то A лежит на окружности с диаметром UV. Проведя рассуждения в обратную сторону, можно показать, что эта окружность и является множеством решений уравнения y = 2x. Аналогично, решением уравнения y = kx, где k > 0 и $k \ne 1$, также является окружность. Она называется окружностью Аполлония.

Упражнение 8*. На плоскости дан треугольник XYZ. Докажите, что центры окружностей Аполлония y = 2x, z = = 2y и z = 4x лежат на одной прямой. Указание. В общем случае окружности y = kx, z = ly и z = ( kl ) x имеют общую радикальную ось. Если первые две из них пересекаются в двух точках, то и третья проходит через эти точки.

Рис. 9

перпендикулярных прямых – биссектрис двух пар вертикальных углов. Множества, задающие неравенства y < x и y > x, – пары вертикальных прямых углов (рис.9). Биссектрисы треугольника делят его на области, каждая из которых задается своей системой неравенств от переменных x, y, z, обозначающих расстояния до прямых, содержащих стороны треугольника. Если раскрасить всю плоскость, расчерченную внутренними и внешними биссектрисами, в соответствии с упорядочениями переменных x, y, z, получается красивый «калейдоскоп» (рис.10).

Далее, уравнение x + y = c, где c – постоянная величина, c > XY, задает эллипс (рис.7,а), уравнение

Рис. 7

x – y = c, где $c \ne 0$, |c| < XY, задает ветвь гиперболы (рис.7,б). Линейное уравнение произвольного вида может задавать и более сложную кривую.

Расстояния до прямых или плоскостей Давайте возьмем произвольный угол и через x и y будем обозначать расстояния от точки до прямых, содержащих стороны угла. Если ограничиться внутренностью угла, то равенство y = x задает множество точек, равноудаленных от сторон угла, т.е. биссектрису (рис.8). Теперь продлим стороны угла (т.е. рассмотрим две пересекающиеся прямые). Тогда уравнение y = x задает (на всей плоскости) объединение двух

Рис. 10

Упражнение 9. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, двумя способами: с помощью транзитивности равенства и «методом Рубанова».

Если вместо расстояний до прямых брать ориентированные расстояния (т.е. расстояния, взятые со знаком «+» или «–», в зависимости от того, в какой полуплоскости расположена точка относительно прямой), то все

25

ЗАДАЧНИК

будет почти так же, как в методе координат, с которого мы начали разговор: уравнение y = x будет задавать прямую, а неравенства y < x и y > x – полуплоскоcти.

Упражнение 10. Пусть x и y обозначают ориентированные расстояния до двух пересекающихся прямых. Докажите, что любое линейное уравнение задает прямую, а линейное неравенство задает полуплоскость.

Выйдем теперь снова в трехмерное пространство. Рассмотрим двугранный угол и для точки, лежащей внутри него, через x и y будем обозначать расстояния до плоскостей его граней. Тогда равенство y = x задает биссекторную плоскость. У трехгранного угла можно провести три биссекторные плоскости между парами граней, которые разделят его на шесть областей (трехгранных углов), каждая из которых задается своим упорядочением переменных x, y, z, где x, y, z – расстояния от точки, лежащей внутри трехгранного угла до плоскостей его граней.

Упражнение 11. Докажите, что биссекторные плоскости делят трехгранный угол ровно на шесть областей.

Возьмем трехгранный угол, все плоские углы которого равны $90^\circ$, и рассмотрим декартову систему координат, связанную с ним (так, что трехгранный угол совпадает с первым октантом). Тогда биссекторные плоскости двугранных углов задаются уравнениями x = y, y = z, z = x. Они разбивают наш трехгранный угол (первый октант) на шесть областей (трехгранных углов), которые задаются в координатах знакомыми неравенствами x < y < z, x < z < y, y < x < z, y < z < < x, z < x < y, z < y < x. В силу равноправия переменных, эти области являются равными фигурами. Отрежем от первого октанта единичный куб (который в координатах задается неравенствами $0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1, 0 \le z \le 1$. Плоскости x = y, y = z, z = x разбивают наш куб на шесть равных фигур (равных – опять-таки из-за равноправия переменных). Эти фигуры – равные тетраэдры. Итак, мы получили красивое разбиение куба на шесть равных тетраэдров. Если на куб посмотреть в направлении его большой диагонали, то он будет выглядеть как на рисунке 11, плоскости x = y, y = z, z = x показаны красным пунктиром.

Рис. 11

«КВАНТА»

Упражнения 12. Разбейте куб на три равные четырехугольные пирамиды. 13. На сколько частей разобьют тетраэдр биссекторные плоскости шести его граней? Ответ: 24.

Отметим, что последнее упражнение и задача М2420 весьма близки. Действительно, пусть тетраэдр T вписан в сферу. Проведя в его вершинах касательные плоскости к сфере, получим новый тетраэдр $T '$, для которого данная сфера будет являться вписанной или вневписанной. Тогда плоскости – серединные перпендикуляры к ребрам тетраэдра T – будут являться биссекторными плоскостями (внутренними или внешними) двугранных углов тетраэдра $T '$.

Упражнения 14. На сколько частей делят пространство биссекторные плоскости двугранных углов, образованных всеми парами смежных граней куба? Ответ: 24. 15. Пусть x, y, z – расстояния от точки, лежащей внутри куба ABCDA $' B ' C ' D '$, до ребер AB, AC, $AA '$. Что представляют собой области x < y < z, x < z < y и т.п.?

Расстояние до произвольных множеств

В первой части статьи мы занимались расстояниями до точек, во второй части – расстояниями до прямых и плоскостей. Более общая постановка: пусть X, Y, … – произвольные множества, а x, y, … – расстояния от произвольной точки до множеств X, Y, … соответственно. Здесь под расстоянием от точки M до множества X мы понимаем $минимум^{2}$ из расстояний MN, где $N \in X$. Если X и Y – не слишком экзотические фигуры на плоскости, то в качестве множества решений уравнения y = x мы, как правило, будем получать некоторую кривую или несколько кривых, а решения неравенств y > x и y < x – это области, на которые кривые делят плоскость (рис.12). Множества y > x и y < x можно назвать обобщенными областями Вороного, или, следуя упомянутой выше статье Н.Долбилина, «областями влияния» множеств X и Y. Замечательная интерпретация дана А.Савиным (см. Рис. 12 «Калейдоскоп «Кванта» №4 за 1994 г.): пусть X и Y – территории двух стран, между которыми распределена вся территория суши (таким образом, все, что не принадлежит ни X, ни Y, – это море), и требуется справедливым образом провести морскую границу между странами X и Y.

2 Лучше сказать не «минимум», а «точная нижняя грань», так как минимум не всегда достигается, например, если X представляет собой круг или многоугольник без границы.