Задачи

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

Шарик и Матроскин надоили 10 литров молока, разлили его по двум ведрам и понесли домой. Шарик устал и перелил часть молока из своего ведра в ведро Матроскина. От этого у Шарика молока стало втрое меньше, а у Матроскина – втрое больше. Сколько молока стало у Матроскина? Жюри Турнира Ломоносова

Мальвина всю неделю учила Буратино писать. Она изобразила на диаграмме, сколько букв написал Буратино за каждый из семи дней. Черта на диаграмме показывает среднее число букв (оно равно 9). Буратино оторвал кусок диаграммы, как показано на рисунке. Сколько букв он написал в воскресенье? И.Высоцкий, И.Раскина

Замените буквы на рисунке цифрами (все цифры должны быть различными) так, чтобы получилось верное равенство. А.Антропов, Т.Казицына

Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на две равные части. Е.Бакаев

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Эти задачи предлагались на XXXIX Турнире Ломоносова.

Иллюстрации Д.Гришуковой

Легко оклеить поверхность куба шестью ромбами, а именно шестью квадратами. А можно ли оклеить поверхность куба (без щелей и наложений) менее чем шестью ромбами (не обязательно одинаковыми)? А.Шаповалов

30

КВАНТ 2016/№5-6

Всего было съедено 1000 петухов. Сколько съели кур? Признав поражение, я попросил отсрочки до завтрашнего дня и вечером занялся задачей в спокойной обстановке. Сначала попробовал, хотя бы примерно, изобразить куриное «генеалогическое древо» – и ужаснулся обилию возможных вариантов уже в первых поколениях. В самом деле, из десятка яиц, снесенных «исходной» (т.е. купленной на рынке) курицей, могло вывестись от нуля до десяти кур (впрочем, ноль – это невозможно, ведь тогда на этом род куриный и оборвался бы, и откуда было бы взяться тысяче петухов?). Во втором поколении разброс вариантов еще шире… в общем, мрак! Тем не менее, для очистки совести я нарисовал некое «среднетипичное» начало описанного в задаче процесса, обозначив кур жирными точками, а переходы к следующим поколениям – отрезками, направленными веером вниз (при этом от каждой курицы проводится ровно 10 отрезков). Стало быть, отрезки, просто обрывающиеся, без продолжения – это те самые петухи, окончившие свой бренный путь в чужом желудке. Получилось примерно то, что нарисовано на схеме. Неужели искомое число съеденных кур (при неизменной тысяче петухов) не зависит от вида древа? Ну-ка, возьмем какой-нибудь кусок древа, начиная от любой курицы (и далее вниз), и перецепим его к любому свободному концу (не важно, в каком поколении). При этом мы как бы поменяем местами одного из петухов с какой-то курицей. В результате суммарное число и петухов, и кур не изменится, а древо станет другим, но с соблюдением всех требований условия! Перецепим еще раз – получим новое древо с теми же числовыми характеристиками. Может быть, такими перецепками удастся получить какое-нибудь древо попроще и подсчитать число кур в нем напрямую? Например, древо, где в каждом поколении, кроме последнего, ровно

одна курица. Для этого можно каждый раз выбирать произвольное поколение, где есть хотя бы две курицы, и любую из этих кур (вместе со всем идущим из нее куском) перецеплять… ну конечно – в самый низ древа (к любому свободному концу в самом нижнем поколении). Тогда число поколений после каждой перецепки будет увеличиваться. Но оно не может увеличиваться бесконечно – ведь мы просто переставляем куски в конечном древе. Значит, процесс перецепок завершится, а именно в тот момент, когда в каждом поколении, кроме начального и последнего, будет ровно одна курица и 9 петухов. Что же получается? Даже ничего не рисуя, можно без особого труда определить, что суммарно во всех поколениях, кроме начального (исходной курицы) и последнего («десятипетухового»), вывелось 1000 –10 = 990 петухов, и потому таких поколений было 990: 9 = 110, а вместе с последним поколением получается 110 + 1 = 111. Но каждое такое поколение порождается одной курицей, так что и кур было именно столько же, т.е. 111 голов. Все! На следующий день я с гордостью выдал этот ответ своему знакомому. – Правильно, – сказал он. – А как ты решал? Я объяснил, предвкушая похвалу за хитроумное решение трудной задачи. – Это слишком сложно, – огорошил он меня. – Решать надо по-другому. Подсчитаем двумя способами число снесенных яиц. Пусть всего было х кур. С одной стороны, каждая курица снесла по 10 яиц, а так как кур было х, то яиц было 10х. С другой стороны, все куры, кроме самой первой (купленной на рынке), вылупились из яиц, снесенных этими же курами. Поэтому для «производства» кур потребовалось х – 1 яиц. Ну а все 1000 съеденных петухов тоже вылупились из яиц. Итого получается, что было снесено (х – 1) + + 1000 = х + 999 яиц. Вот мы и определили двумя способами количество снесенных яиц. Так как это одно и то же значение, то 10х = х + 999. Отсюда х = 111, как и у тебя. Мне пришлось признать, что так действительно получается наглядней и проще. Но кто же догадается до такого? Через несколько дней я не удержался и предложил эту же задачу другому своему знакомому, заранее надеясь посмеяться над его неуклюжими потугами. И что же? Он ответил почти сразу, причем начал вроде бы точно так же: – Пусть кур было х, – заявил он, но затем неожиданно сменил музыку. – Так как каждая курица породила 10 других птиц и 1000 из них были петухами, всего на свет появились из яиц