ОЛИМПИАДЫ
LVII Международная математическая олимпиада
С 6 по 16 июля 2016 года в Гонконге (КНР) проводилась LVII Международная математическая олимпиада (ММО). Гонконг – один из немногих городов мира, которому выпала честь дважды принимать ММО (первый раз – в 1994 году). Участники олимпиады проживали в студенческом городке, расположенном ярусами на горе, с которой открывался красивый вид на один из многочисленных заливов Южно-Китайского моря. ММО является одним из самых крупных интеллектуальных соревнований школьников. В 2016 году в олимпиаде приняли участие 602 победителя национальных олимпиад из 109 стран мира. В этом году команду России составили выпускники школы Павел Губкин (Санкт-Петербург), москвичи Руслан Салимов, Иван Фролов и Григорий Юргин, а также десятиклассники Георгий Вепрев (Рыбинск, Ярославская обл.) и Никита Карагодин (Санкт-Петербург). Ведущие позиции российской олимпиадной математической школы были подтверждены включением в варианты ММО сразу двух задач из числа предложенных нашей страной. При этом задача 5 (авторы Н.Агаханов, И.Богданов) была признана международным жюри лучшей задачей по алгебре в шорт-листе (списке из 30 задач, отобранных задачным комитетом для олимпиады), а задача 3 (автор А.Гайфуллин, абсолютный победитель ММО в 2000 году) – и самой сложной, и самой красивой задачей олимпиады. Российская сборная выступила на олимпиаде достаточно успешно, уступив по числу завоеванных золотых медалей только команде США. А Григорий Юргин оказался в числе 14 участников олимпиады, сумевших решить задачу 3. Завершающий этап подготовки команды к ММО – летние учебно-тренировочные сборы – как и в прошлом году, проходил в Образовательном центре «Сириус» (Сочи). Занятия с командой проводили преподаватели сборов: доцент МФТИ, к.ф.-м.н. И.И.Богданов, педагог ФМЛ 239 Санкт-Петербурга, к.ф.-м.н. С.Л.Берлов, преподаватель мехмата МГУ им. М.В.Ломоносова, к.ф.-м.н. А.А.Глазырин, педагог дополнительного образования Санкт-Петербурга А.С.Голованов, профессор МФТИ, д.ф.-м.н. В.Л.Дольников, доцент МФТИ, к.ф.-м.н. П.А.Кожевников, старший научный сотрудник Санкт-Петербургского отделения Математического института им. Стеклова РАН Ф.В.Петров, директор и педагог ФМЛ 239 Санкт-Петербурга, к.ф.-м.н. М.Я.Пратусевич, педагог ФМЛ 239 Санкт-Петербурга К.А.Сухов, доцент МФТИ, к.п.н. Д.А.Терешин, программист Г.Р.Челноков. Руководители команды благодарят Дмитрия Юрьевича Дойхена, который много лет поддерживает команду России в международных математических соревнованиях.
Здесь приведена таблица с результатами выступления нашей сборной (каждая задача оценивалась из 7 баллов) и командные результаты лучших 20 команд. Полная информация о результатах на международных математических олимпиадах имеется на официальном сайте олимпиады: www.imo- official.org
Задачи олимпиады
- Дан треугольник BCF с прямым углом при вершине B. Точка A на прямой CF такова, что FA = FB и F лежит между A и C. Точка D выбрана так, что DA = DC и AC – биссектриса угла DAB. Точка E выбрана так, что EA = ED и AD – биссектриса угла EAC. Точка M – середина отрезка CF. Пусть точка X такова, что AMXE – параллелограмм (в котором AM P EX и AE P MX ). Докажите, что прямые BD, FX и ME пересекаются в одной точке.
Бельгия
- Найдите все положительные целые n, для которых в каждую клетку таблицы можно записать ровно одну из букв I, M или O так, что: i в каждой строке и в каждом столбце ровно треть составляют буквы I, ровно треть составляют буквы M и ровно треть составляют буквы O; а также i на каждой из диагоналей, количество клеток которой кратно трем, ровно треть составляют буквы I, ровно треть составляют буквы M и ровно треть составляют буквы O. Примечание. Если строки и столбцы таблицы занумерованы числами от 1 до n в обычном порядке, то каждой