Bài toán M2538—M2541; F2545—F2548

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2538, M2539 đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XL. Bài toán M2541 đã được đưa ra tại vòng thi tương ứng của Olympic Hình học lần thứ XIV mang tên I.F. Sharygin.

Bài toán M2538–M2541, F2545–F2548

M2538. Petya đặt 500 quân vua vào các ô 100 và 50 trên bàn cờ để chúng không đánh nhau. Và Vasya đặt 500 quân vua lên các ô vuông màu trắng (theo màu cờ vua) của bàn cờ 100 và 100 để chúng không đánh nhau. Ai có nhiều cách hơn để làm điều này? E. Bakaev

M2539. a) Chứng minh rằng mọi số có dạng 3k – 2, trong đó k là số nguyên, đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một bình phương và hai lập phương của các số nguyên. b) Chứng minh rằng mọi số nguyên đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một bình phương và ba lập phương của các số nguyên đó. N. Sedrakyan

M2540. Trong tam giác nhọn ABC vẽ các đường cao $AH_{a}, BH_{b}, CH_{c}$.

Hình 1

Gọi $H_{ab}$ là hình chiếu của điểm $H_{a}$ lên đường thẳng AC (Hình 1). Chúng ta hãy xác định tương tự các điểm $H_{ac}, H_{ba}, H_{bc}, H_{ca}, H_{cb}$. Chứng minh rằng sáu điểm $H_{ab}, H_{ac}, H_{ba}, H_{bc}, H_{ca}, H_{cb}$ nằm trên một đường tròn có tâm trùng với tâm khối của đường viền tam giác $H_{a} H_{b} H_{c}$ làm bằng dây đồng nhất. I. Weinstein

$M2541^{*}$. Mặt phẳng được chia thành các hình bảy cạnh lồi có đường kính đơn vị. Chứng minh rằng bất kỳ đường tròn nào có bán kính 200 cắt nhau ít nhất một tỷ hình bảy cạnh này. (Đường kính của một đa giác là khoảng cách lớn nhất giữa các cặp đỉnh của nó.) A. Kanel-Belov

F2545. Hai quả bóng rắn có kích thước khác nhau từ một chất tinh khiết về mặt hóa học được đặt trong không gian cách xa các vật thể lớn khác và chỉ tương tác với nhau bằng lực hấp dẫn. Chúng quay quanh một khối tâm chung, thực hiện một vòng trong một buổi học T = 45 phút. Mật độ tối thiểu của vật liệu làm ra quả bóng là bao nhiêu? Mật độ này tương ứng với kim loại nào? A. Burov, E. Shalimova

F2546. Có một mạng “một phần tư vô hạn” gồm các ô vuông, gồm