Hình chữ nhật hình vuông

Hình chữ nhật hình vuông

F. SHAROV

TRONG THỜI GIAN SỚM, MỌI NGƯỜI ĐANG LÀM công việc cắt gọt. Có thể cắt một hình nhất định thành một số hình khác (ví dụ: thành hình vuông) không? Có thể tạo một hình đã cho khác (ví dụ: hình tam giác đều) từ một tập hợp hình nhất định không? Trong bài viết này chúng tôi sẽ chứng minh một trong những kết quả kinh điển trong lĩnh vực toán học này - Định lý Dehn. Định lý 1 (M. Dehn, 1903). Nếu một hình chữ nhật được cắt thành các hình vuông (không nhất thiết phải bằng nhau) thì tỉ số chiều dài các cạnh của nó là hợp lý. Tất nhiên, người đọc có thể dễ dàng đoán được cách cắt một hình chữ nhật có tỷ lệ chiều dài các cạnh hợp lý thành hình vuông (Hình 1). Ý nghĩa

Hình 1

vấn đề chỉ là không thể cắt trong các trường hợp khác. Ví dụ: đối với một hình chữ nhật có dạng a + b 2 ¥ c + d 2, trong đó a, b, c, d là số hữu tỉ, độ dài các cạnh và tỷ số của chúng có thể đã vô tỉ. Bằng cách sử dụng trường hợp cụ thể đơn giản nhất này, người ta đã có thể chứng minh tất cả các ý chính làm cơ sở cho việc chứng minh Định lý 1. Trong phần tiếp theo, để thuận tiện, các chữ cái Latinh

(

) (

)

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190302

bạn a, b, c, d và các chữ cái giống nhau có chỉ số sẽ có nghĩa là số hữu tỷ và chúng ta sẽ gọi tất cả các số có dạng a + b 2 là tốt.

Định lý Dehn cho số tốt

Đầu tiên, ta chứng minh định lý cho trường hợp đặc biệt khi các cạnh của hình chữ nhật bị cắt và các cạnh của tất cả các hình vuông đều là số tốt. Trước hết, chúng ta hãy xem một ví dụ: hình chữ nhật 1 ¥ 2. Hãy giải bài toán sau. Bài toán 1. Có thể cắt hình chữ nhật 1 ¥ 2 thành hình vuông có cạnh hữu tỉ được không? Còn các cạnh hữu tỉ hoặc có dạng b 2 thì sao? Còn các cạnh là số tốt tùy ý thì sao? $Решение.^{1}$ Đáp số cho hai câu hỏi đầu tiên: không. Lời giải cho câu hỏi thứ ba được đưa ra ở cuối tạp chí. Hãy trả lời câu hỏi đầu tiên. Giả sử hình chữ nhật 1 ¥ 2 được cắt thành các hình vuông có cạnh hữu tỉ. Xét một cạnh bằng 2. Tổng các cạnh của các hình vuông liền kề với nó phải bằng 2. Tổng các số hữu tỉ không thể bằng số vô tỉ nên việc cắt như vậy là không thể. Hãy trả lời câu hỏi thứ hai. Giả sử hình chữ nhật 1 ¥ 2 được cắt thành các hình vuông có cạnh a hoặc b 2. Diện tích của nó là 2. Diện tích của các hình vuông là $a^{2}$ hoặc $2b^{2}$.

1 Lời giải bài toán 1, cũng như bằng chứng dưới đây về việc không thể cắt hình chữ nhật 1 ¥ 1 + 2 thành hình vuông và lời giải bài toán 3 (được đưa ra ở cuối tạp chí) được viết bởi E. Aliyeva.

(

)

14

KVANT 2019/№3

Chứng minh Định lý 1. Giả sử hình chữ nhật $s_{0}$ ¥ $t_{0}$ được cắt thành các hình vuông, và $s_{0}$ và $t_{0}$ là vô tỉ. Theo định nghĩa, diện tích y của nó bằng y. Số này âm với y < 0. Đồng thời, diện tích y của hình vuông bất kỳ không âm theo Bổ đề 3. Ta có mâu thuẫn với Bổ đề 4: tổng các số không âm không thể bằng âm. Tóm lại, vùng chữ Y không chỉ là một thủ thuật Olympic. Trong toán học có một khái niệm quan trọng về thước đo. Ví dụ, các thước đo là độ dài của các đoạn trên một đường thẳng; diện tích (thông thường, không phải diện tích y) của các hình trên mặt phẳng; thể tích của vật thể trong không gian. Trong số hai đặc tính chính của thước đo—độ cộng và độ không âm—diện tích y của chúng ta chỉ có đặc tính đầu tiên. Nếu tính chất không âm là không cần thiết thì thay từ “đo” được sử dụng

thuật ngữ “phí”. Một ví dụ về điện tích là diện tích y.

Văn học

1. M. Skopenkov, O. Malinovskaya, S. Dorichenko, F. Sharov. Thu thập một hình vuông. Trong bộ sưu tập: Các yếu tố của toán học trong các bài toán: thông qua các cuộc thi Olympic và câu lạc bộ - đến một nghề. – M.: MTsNMO, 2018. 2. M. Skopenkov, O. Malinovskaya, S. Dorichenko. Thu thập một hình vuông. – «Kvant», 2015, số 2. 3. M. Skopenkov, M. Prasolov, S. Dorichenko. Cắt một hình chữ nhật bằng kim loại. – «Kvant», 2011, Số 3. 4. D. Fuchs. Có thể tạo ra một khối lập phương từ một khối tứ diện? – «Kvant», 1990, số 11. 5. F. Sharov. Cắt một hình chữ nhật thành các hình chữ nhật có tỷ lệ khung hình cho trước. – Giáo dục toán học, ser. 3, không. 20 (2016), tr.200–216. 6. I.M. Yaglom. Làm thế nào để cắt một hình vuông? – M.: Nauka, 1968.

Xin độc giả chú ý!

Trong số trước của tạp chí, bài “Ôm lấy bao la…” có nhiều lỗi chính tả. Cần phải thực hiện các chỉnh sửa sau đây.