Một lần nữa về khối đa diện bán đều

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Một lần nữa về khối đa diện bán đều

S.KUZNETSOV

TRONG “KALEIDOSCOPE “QUANTUM” Ở SỐ 11 CHO

Năm 2018, chúng ta đã nói về các khối đa diện bán đều, tức là các khối đa diện lồi, các mặt của chúng là các đa giác đều và tất cả các đỉnh được sắp xếp theo cùng một cách. Một phân loại đầy đủ của các khối đa diện như vậy đã được đưa ra: hai chuỗi vô hạn - lăng kính và phản lăng kính, năm khối đa diện đều (chất rắn Platonic: khối 2 mặt, khối lập phương, khối bát diện, khối mười hai mặt và khối 20 mặt) và 14 khối đa diện khác, theo truyền thống được gọi là Archimedean. Một khối đa diện nửa đều được xác định bởi loại đỉnh của nó: thông tin về những đa giác nào hội tụ về nó và theo thứ tự nào. Ví dụ: 3,4,4, tức là “tam giác-vuông-vuông” là lăng trụ tam giác. Trong trường hợp này, một trong các loại đỉnh, cụ thể là 3,4,4,4, tương ứng với hai khối đa diện: một hình thoi và một khối bát diện giả. Khối giả khối bát diện nổi bật so với các khối đa diện bán đều - và vấn đề không chỉ là nó được phát hiện vào thế kỷ 20, trong khi phần còn lại đã được biết đến.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190304

Hình 2

tny ngay cả với người Hy Lạp cổ đại. Không giống như các khối bán chính quy khác, khối đa diện này không có tính đối xứng toàn cục hoặc tính chất bắc cầu: mặc dù hai đỉnh bất kỳ của nó được sắp xếp theo cùng một cách, nhưng chúng không phải lúc nào cũng được kết hợp bởi một chuyển động biến khối đa diện thành chính nó. Bởi vì điều này, khối giả khối bát diện không phải lúc nào cũng được phân loại là chất rắn Archimedean, và khi đó chỉ có 13 khối sau. Độc giả thường xuyên của chúng tôi O. Lazutchenko đã hỏi câu hỏi thú vị sau đây. Hình giả tứ diện được lấy từ phương pháp thông thường

Hình 1

hình dạng của khối tứ diện bằng cách xoay “nắp” (Hình 1). “Nắp” này được gọi là mái vòm có n dốc, trong đó n là số cạnh của mặt trên của nó. Và điều gì sẽ xảy ra nếu bạn xoay “nắp” của một khối đa diện bán đều đặn khác - khối mười hai mặt hình thoi (Hình 2)? Kết quả hơi đáng thất vọng: khối đa diện thu được thậm chí còn xa “độ chính xác” hơn so với khối đa diện bán thông thường. Anh ta vẫn có bốn đa giác đều hội tụ ở mỗi đỉnh - một hình tam giác, hai hình vuông và một hình ngũ giác, nhưng theo một thứ tự khác. Đối với một số đỉnh, thứ tự vẫn là 3,4,5,4, trong khi đối với các đỉnh khác, thứ tự trở thành 3,4,4,5. Tuy nhiên, tại sao không xét khối đa diện nửa đều theo nghĩa yếu: yêu cầu điều đó đối với mỗi câu

30

K V A NT 2019/No. 3

tập hợp đa giác giống nhau có hội tụ trên xe buýt không, nhưng theo thứ tự ngẫu nhiên? Chúng ta hãy thử liệt kê tất cả các khối đa diện bán chính quy theo nghĩa yếu. Thực tế tổng quát hơn sau đây khuyến khích nghiên cứu như vậy. Hãy loại bỏ bất kỳ điều kiện nào trên các đỉnh và chỉ yêu cầu tất cả các mặt của khối đa diện phải là đa giác đều - dù sao đi nữa, ngoại trừ lăng kính và phản lăng kính, chúng ta sẽ nhận được một số hữu hạn các khối đa diện khác nhau! Các khối đa diện như vậy được gọi là các mặt đều. Một phân loại đầy đủ về các khối đa diện đều được đưa ra trong bài viết của V.A. Zalgaller “Khối đa diện lồi có các mặt đều” (Ghi chú của các hội thảo khoa học LOMI, số 2, 1967, trang 5–221). Bài viết của Zalgaller có sẵn tại http://mi.mathnet.ru/znsl1408 - mặc dù khối lượng lớn và phức tạp, chúng tôi đặc biệt khuyên người đọc nên đọc nó. Họ khối đa diện đều bao gồm năm khối Platonic, 13 khối Archimedean cộng với khối đa diện giả, một chuỗi vô tận các lăng kính và phản lăng kính, và 91 khối đa diện khác. Những khối đa diện cuối cùng này được gọi là khối Johnson, được đặt theo tên tác giả của bài báo mà chúng lần đầu tiên được liệt kê: N.W. Johnson. Khối đa diện lồi có các mặt đều (Tạp chí Toán học Canada, tập 18, 1966, trang 169–200, https://doi.org/ 10.4153/CJM-1966-021-8). Khối giả khối bát diện đều cũng thuộc về chất rắn Johnson, nếu nó không được phân loại là Archimedean; sau đó có 92 thi thể Johnson. Trong tác phẩm của mình, N. Johnson đưa ra danh sách tất cả các thi thể Johnson, nhưng không chứng minh rằng không có những thi thể khác (điều này đã được V.A. Zalgaller thực hiện trong bài viết nói trên). Chúng ta quan tâm đến các khối đa diện bán đều đặn theo nghĩa yếu nhưng lại không như vậy theo nghĩa mạnh. Rõ ràng tất cả đều là thi thể của Johnson. Điều này có nghĩa là chúng ta chỉ cần duyệt qua tất cả các vật thể Johnson và chọn ra trong số chúng những vật thể có cùng một khối đa diện hội tụ ở mỗi đỉnh. Điều đặc biệt thuận tiện là thực hiện điều này theo bài báo của Johnson, trong đó đối với mỗi khối đa diện, loại đỉnh của nó được chỉ định, tức là đa giác nào và số lượng hội tụ ở mỗi đỉnh.

Tìm kiếm của chúng tôi mang lại 6 khối đa diện đều mới, trong đó các đa giác giống nhau hội tụ ở mỗi đỉnh nhưng theo một thứ tự khác nhau. Điều thú vị là chúng đều được lấy từ khối đa diện Archimedean bằng cách sử dụng thao tác “xoay nắp” được mô tả ở đầu bài viết. Chúng ta hãy liệt kê sáu khối đa diện này. Đầu tiên, bằng cách xoay mái vòm của hình thoi, như O. Lazutchenko đã gợi ý cho chúng tôi, bạn có thể có được tối đa bốn khối đa diện (Johnson có số 72–75). Có một số khối đa diện, bởi vì bạn có thể xoay không phải một mà là hai hoặc thậm chí ba mái vòm. Bạn chỉ cần đảm bảo rằng những mái vòm này không có các cạnh chung: khi xoay, mái vòm sẽ “phá vỡ” tất cả các mái vòm liền kề với nó. Nếu bạn xoay một mái vòm, bạn sẽ có một khối hình thoi xoắn (Hình 3). Hai mái vòm có thể được xoay theo hai cách - một trong hai cách đối diện với nhau, và sau đó bạn sẽ có được một hình thoi xoắn hai mặt đối diện (Hình 4); hoặc hai cái không đối diện nhau, tạo thành một hình thoi xoắn đôi xiên (Hình 5). Cuối cùng, chỉ có thể chọn ba mái vòm không chồng lên nhau theo một cách; bằng cách xoay chúng, chúng ta có được một hình thoi ba mặt xoắn (Hình 6). Theo Zalgaller, các phiên bản xoắn của hình thoi mười hai mặt được chỉ định là $0_{6} 0_{14} 0_{6}$ hoặc $0_{6} 0_{13} 2 0_{6} ; 0_{6} 0_{14} 0_{6} ; 20_{6} 0_{13} 0_{6} ; 30_{6} 0_{13}$.

Hình 3

Hình 5

Hình 4

Hình 6