Bài toán M2594—M2597; F2601—F2604

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2594 – M2597 đã được đưa ra ở giai đoạn khu vực của Olympic Toán học toàn Nga XLVI dành cho học sinh. Bài toán F2601–F2604 năm nay đã được đưa ra tại vòng đầu tiên của Olympic Moscow dành cho học sinh môn vật lý.

Bài toán M2594–M2597, F2601–F2604

M2594. Biết rằng với một số x và y thì tổng sin x + cos y và sin y + cos x là các số hữu tỷ dương. Chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên m và n sao cho m sin x + n cos x là số tự nhiên. N. Agakhanov

M2595. a) Kolya và Dima chơi một trò chơi trên bàn cờ 8 ¥ 8, thay phiên nhau thực hiện các nước đi, Dima bắt đầu. Kolya vẽ các hình chữ thập trong các ô và Dima bao phủ các cặp ô bảng liền kề bằng hình chữ nhật 1 ¥ 2 (quân domino). Trong lượt của mình, Kolya phải đặt một cây thánh giá vào bất kỳ ô trống nào (nghĩa là trong một ô chưa rút ra cây thánh giá và chưa được phủ quân domino). Trong lượt của mình, Dima phải dùng quân domino che hai ô liền kề (chưa được quân domino khác che), trong đó tổng số cây thánh giá là chẵn (0 hoặc 2). Người nào không thể di chuyển sẽ thua. Người chơi nào có chiến lược chiến thắng? b) Cùng một trò chơi và cùng một câu hỏi, nhưng không giống như điểm a), Kolya thực hiện nước đi đầu tiên. M. Didin

M2596. Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn $\omega$. Chứng minh rằng đường kính của hình tròn $\omega$ không vượt quá độ dài

đoạn thẳng nối trung điểm của BC và AD. O. Yuzhkov

M2597. Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng có một số tự nhiên y nhỏ hơn p 2 và sao cho số py + 1 không thể biểu diễn dưới dạng tích của hai số nguyên, mỗi số đều lớn hơn y. M. Antipov

F2601. Một bình kín chứa đầy hỗn hợp không khí và hơi nước và bắt đầu nguội đi trong bộ điều nhiệt có băng tan. Trong quá trình làm mát, nhiệt độ trong bình được đo với sai số $\Delta T = = 0,5 \infty C$ và áp suất có sai số $\Delta p = 0,05$ ◊ $10^{5}$ Pa. Kết quả là một bảng:

Xác định tỷ lệ giữa lượng nước với lượng không khí trong bình, cũng như mật độ của pha khí khi bắt đầu và khi kết thúc quá trình. Lưu ý rằng áp suất hơi bão hòa của nước bằng 1 kPa đạt được ở nhiệt độ khoảng $7^\circ$ C. Khối lượng mol của nước và không khí lần lượt là 18 g / mol và 29 g / mol. P. Kryukov

30

KVA NT 2020/Số. 3

áp suất $p_{v} = \rho v^{2} 2$. Tỷ lệ không thứ nguyên $2 p_{v} p = \rho vL \eta$ được gọi là số Reynolds và được ký hiệu là Re. Đối với thí nghiệm thực tế của chúng tôi, trong đó $r_{0} = 1$ cm, h = 20 cm, g = 9,81 m $с^{2}, \rho = 1000$ kg $м^{3}, v_{0} = = 2 gh \approx 2$ ms, số Reynolds là $Re \approx \approx 20000$. Điều này có nghĩa là ma sát nhớt đặc trưng ở đây nhỏ hơn áp suất động đặc trưng hàng nghìn lần, vì vậy chúng ta có thể giả sử rằng mô tả về các đường dòng (xem Hình 7) là gần với thực tế. Đúng, trên thực tế, một bức tranh cấu trúc phức tạp nảy sinh liên quan đến “độ bám dính” nhớt của dòng chảy vào tường, nhưng độ dày đặc trưng và các kích thước khác của cấu trúc này tương đối nhỏ. Thật bất ngờ, người ta phát hiện ra rằng một số sách giáo khoa hiện đại lại trình bày một bức tranh khác với Hình 7. Vì vậy, trong Hình 9 được lấy từ cuốn sách [2, tr. 88] (tương tự

Hình 10

Cái tương ứng với hình ảnh trong sách [2, tr. 88] (và có một cái tương tự trong sách [1, p. 245]), và cái thứ hai được thiết kế để tính đến dòng chảy gần tường, được biểu thị bằng đường cực trị 2. Ở đây, đường này rẽ sang $180^\circ$, tức là đổi hướng sang hướng ngược lại. (Trong khi đường cực trị 1 chỉ quay $63^\circ.)$ Để làm rõ hình ảnh thật, một thí nghiệm tương ứng đã được thực hiện. Một cửa sổ kính chất lượng cao có đường kính 8 cm được lắp vào tường của một thùng chứa 15 lít hình chữ nhật đối diện ngay với lối vào nước vào vòi Borda. Qua cửa sổ này, một máy ảnh kỹ thuật số có đèn flash đã chụp được bức ảnh như trong Hình 11. Trên

Hình 9

Hình vẽ cũng có trong sách [3, tr. 496]), đường thẳng ngoài cùng, được ký hiệu là 1, không chạm vào tường thẳng đứng. Câu hỏi sau đó sẽ trở thành: điều gì xảy ra ở điểm 2 ngay phía trên đường thẳng 1? Nếu tốc độ tại điểm 2 khác 0 thì đường dòng tương ứng sẽ không thoát ra khỏi lỗ, vì đường 1 ngoài cùng đã tồn tại. Điều này có nghĩa là đường này sẽ quay vòng và đóng lại thành một dòng chảy vòng. Nếu tại điểm 2 tốc độ bằng 0, thì điều này có nghĩa là tốc độ tăng vọt ngay bên cạnh và dọc theo toàn bộ đường 1. Cả hai trường hợp đều có vẻ khó xảy ra (mặc dù thủy động lực học có nhiều bất ngờ). Câu hỏi về kiểu dòng chảy khi đi vào vòi Borda càng xuất hiện rõ ràng hơn. Trong Hình 10, phía trên và phía dưới đường trung tâm, có hai tùy chọn luồng khả thi được đưa ra. mỗi-

Hình 11

ảnh một dòng chảy vào vòi Borda 1. Đường kính trong của ống là 20 mm và đường kính ngoài gần đầu vào là 20,3 mm. Mực chảy ra từ kim y tế 2 và đường dẫn mảnh màu xanh lục của nó, được biểu thị bằng một mũi tên, hiển thị một đường thẳng xoay quanh khoảng $135^\circ$, phù hợp hơn với tùy chọn bên dưới đường trung tâm trong Hình 10. Thật bất ngờ, đèn flash và bong bóng khí ngẫu nhiên đã giúp nhìn thêm

31

THUỘC VẬT CHẤT

chi tiết. Các bong bóng nhỏ bị dòng điện mạnh bắt giữ và di chuyển gần như dọc theo dòng chảy. Trong thời gian đèn flash kéo dài, mỗi bong bóng lọt vào tiêu điểm của máy ảnh sẽ để lại một dấu vết kéo dài trên bức ảnh, biểu thị một đường thẳng. Đường này càng dài thì tốc độ dòng chảy càng cao, tức là thu được thông tin về tốc độ. Số 3 trong Hình 11 đánh dấu một nhóm các đường vết ngắn, cũng cho thấy sự hiện diện của dòng chảy từ bên ngoài vòi Borda hướng tới dòng chảy trung tâm. Nói một cách hình tượng, dòng chảy bên ngoài này “xung đột” với dòng chảy trung tâm.

Hình 12

Một điều ngạc nhiên thú vị khác được ghi lại trong bức ảnh được trình bày ở Hình 12. Hóa ra là ở cùng độ sâu h trong cùng một ống Borda có hai chế độ dòng chảy ổn định hoàn toàn khác nhau: chảy tầng, như trong Hình 6, và chảy rối, như trong Hình 12! Chế độ nào sẽ phát sinh phụ thuộc vào điều kiện ban đầu. Nếu nút cao su (có độ côn nhẹ ở bên) được tháo ra khỏi ống từ bên ngoài khi bắt đầu, một chế độ hỗn loạn sẽ xảy ra, và nếu nó nằm trong cột nước từ bên trong, thì sẽ xảy ra chế độ phân lớp. Để không làm xáo trộn nước bằng tay trong trường hợp sau, nút cao su được gắn vào một thanh dài (dọc) bằng một thanh linh hoạt thẳng

KHÔNG BẮT BUỘC

dây đàn hồi xuyên qua nút chai dọc theo trục trung tâm. Nếu bạn chỉ nhìn vào dòng chảy hỗn loạn, nó có màu trắng, ồn ào, bồn chồn, bắn tung tóe, nhưng chiếc đèn flash đã “ngăn chặn” sự hỗn loạn bên ngoài này, và sự trong suốt, mịn màng như pha lê và một loại bản chất khó nắm bắt bên trong nào đó đã lộ ra. Bây giờ dòng chảy chạm vào thành ống và dòng nước tăng (!) So với chế độ nhiều lớp. Mô hình toán học của nhiễu loạn vẫn còn là một thách thức trí tuệ. Các thí nghiệm đơn giản tại nhà, giống như những thí nghiệm được trình bày trong bài viết, không chỉ có thể đưa ra câu trả lời đáp số cho hàng trăm câu hỏi của riêng bạn mà còn làm cơ sở cho một số khái niệm mới về nhiễu loạn. Và nói chung, thủy lực hoặc khí động học nên được coi là một lĩnh vực thú vị cho tư duy sáng tạo. Chúng ta hãy quay trở lại các thí nghiệm với vòi Borda. Nếu chúng ta không lấy một ống tròn mà là một ống (làm bằng thiếc) có tiết diện hình chữ nhật 1:3 thì hệ thức 2s = S được giữ nguyên. Luồng sẽ trông như thế nào? Liệu có thể đạt được dòng chảy tầng không? Hoặc nếu các bong bóng khí ngẫu nhiên tỏ ra rất hiệu quả trong việc hình dung mô hình dòng chảy, thì có lẽ việc tạo ra các bong bóng một cách nhân tạo là đáng giá? Ví dụ: bạn có thể cho dung dịch soda $NaHCO_{3}$ vào một kim y tế và dung dịch axit xitric ở kim tiếp theo, sau đó bong bóng carbon dioxide $CO_{2}$ sẽ hình thành trong hỗn hợp của hai luồng. Hàng trăm câu hỏi và hàng trăm lựa chọn đáp số… Sáng tạo, phát minh, thử!

Văn học

1. R. Feynman, R. Layton, M. Sands. Feynman giảng về vật lý. Số 7. – M.: Mir, 1966. 2. T.E. Faber. Thủy động lực học. – M.: Postmarket, 2001. 3. D.V. Sivukhin. Giáo trình vật lý đại cương. Tập 1. – M.: Fizmatlit, 2016.