Bài toán M2598—M2601; F2605—F2608

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2598 – M2601 đã được đưa ra tại vòng mùa xuân của Giải đấu Thành phố XLI. Bài toán F2605–F2608 đã được đưa vào vòng chung kết Olympic Kỹ thuật dành cho học sinh năm học 2019/20. Tác giả bài toán – S. Muravyov.

Bài toán M2598–M2601, F2605–F2608

M2598. Một tứ diện có thể được cắt bằng hai mặt phẳng khác nhau thành hai hình vuông: một hình có cạnh không quá 1 và hình kia có cạnh không nhỏ hơn 100? M. Evdokimov

M2599. 2N khách đến dự tiệc sinh nhật của Ivan. Ivan có N hình trụ đen và N hình trụ trắng. Anh ấy muốn tổ chức một vũ hội: đội mũ chóp cho khách và xếp họ thành các điệu nhảy vòng tròn (một hoặc nhiều) sao cho trong mỗi điệu múa vòng có ít nhất hai người và những người đội mũ chóp cùng màu không đứng cạnh nhau trong điệu nhảy vòng tròn. Chứng minh rằng Ivan có thể ném bóng chính xác (2N)! theo nhiều cách khác nhau. (Không thể phân biệt được các xi lanh cùng màu; tất cả khách đều có thể phân biệt được.) G. Pogudin

M2600. Cho tứ giác nội tiếp ABCD. Đường tròn có đường kính AB và CD cắt nhau tại hai điểm X 1 và Y 1. Đường tròn có đường kính BC và AD cắt nhau tại hai điểm X 2 và Y 2. Đường tròn có đường kính AC và BD cắt nhau tại hai điểm $X_{3}$ và $Y_{3}$. Chứng minh rằng các đường thẳng $X 1 Y 1, X 2 Y 2, X_{3} Y_{3}$ cắt nhau tại một điểm. M. Didin

M2601. Gleb nghĩ về các số tự nhiên N và a, trong đó a < N. Anh viết số a lên bảng. Sau đó, Gleb bắt đầu thực hiện thao tác sau: chia N có số dư cho số cuối cùng được ghi trên bảng và viết số dư của phép chia cũng lên bảng. Khi số 0 xuất hiện trên bảng, anh dừng lại. Ban đầu Gleb có thể chọn N và a sao cho tổng các số viết trên bảng lớn hơn 100N không? I. Mitrofanov

F2605. Hai quả bóng nhỏ - một quả bóng bàn nhẹ và một quả bóng cao su nặng - được ném cùng nhau xuống sàn từ độ cao h (quả bóng bàn ở trên, quả bóng cao su ở dưới; Hình 1). Những quả bóng rơi xuống đất và quả bóng cao su được phản chiếu từ mặt đất. Giả sử rằng tất cả các va chạm giữa các quả bóng đều đàn hồi, có một khoảng cách nhỏ giữa các quả bóng và quả bóng bàn nhẹ hơn nhiều so với quả bóng $каучуково-_{Рис.} 1$, hãy tìm độ cao mà quả bóng bàn sẽ nhảy. Kích thước của quả bóng nhỏ hơn nhiều so với chiều cao h. Bỏ qua sức cản của không khí.

F2606. Sáu bánh răng chia lưới giống hệt nhau được nối với nhau bằng một đòn bẩy quay với vận tốc góc tương đối $\omega$

18

KVAN T 2020/№4

trong đó đường phân giác của một góc trong của đa giác nằm ngang. M. Skopenkov

M2587. Trong mỗi ô của dải có chiều dài 100 có một con chip. Với 1 rúp, bạn có thể hoán đổi vị trí của hai chip liền kề bất kỳ và bạn cũng có thể hoán đổi miễn phí bất kỳ hai chip nào giữa đó có a) chính xác ba chip; b) có đúng bốn chip. Với số tiền ít nhất bạn có thể sắp xếp lại các con chip theo thứ tự ngược lại là bao nhiêu?

Đáp số: a) với giá 50 rúp; b) với giá 61 rúp. Hãy đánh số các ô theo thứ tự từ 1 đến 100 và số hiện tại của chip sẽ là số ô mà nó đứng trên đó. a) Đánh giá. Hãy để các chip được sắp xếp lại theo thứ tự ngược lại. Sau đó, mỗi con chip phải thay đổi số chẵn lẻ của nó. Nhưng lưu ý rằng thao tác miễn phí không thay đổi tính chẵn lẻ của số chip, nhưng thao tác trả phí sẽ thay đổi tính chẵn lẻ của hai chip. Do đó, bạn sẽ cần thực hiện ít nhất 100 2 = 50 thao tác. Ví dụ. Trước tiên, chúng ta hãy lưu ý rằng thao tác tự do không làm thay đổi phần còn lại của số chip khi chia cho 4 và ngược lại, bạn có thể tự do sắp xếp lại 25 chip theo thứ tự bất kỳ, các số của chúng cho số dư như nhau khi chia cho 4. Chúng ta sẽ thực hiện 49 lần hoán đổi: 2–3, 4–5, 6–7, 8–9, …, 98–99. Sau đó, bằng cách sử dụng các thao tác tự do, chúng tôi di chuyển chip 1 sang ô 5 và chip 100 sang ô 4, sau đó chúng tôi đổi chúng lấy 1 rúp. Bây giờ, mỗi chip chiếm ô với số phần còn lại mong muốn khi chia cho 4, để sắp xếp lại chúng theo thứ tự ngược lại với ô ban đầu bằng các thao tác tự do. b) Lúc này, thao tác tự do không làm thay đổi phần còn lại của số ô khi chia cho 5. Ngược lại, bạn có thể tự do sắp xếp lại 20 chip theo thứ tự bất kỳ, các số của chúng khi chia cho 5 sẽ cho số dư như nhau. Đối với lời giải mô hình sau rất tiện lợi: xếp các chip thành 5 cọc, mỗi cọc 20 chip, thành đống số 0 - chip có số dư 0 khi chia cho 5, xếp thành đống số 1 – chip có số dư 1 khi chia cho 5

và vân vân. Hãy sắp xếp các chồng chip thành một vòng tròn - đầu tiên là chồng 0, sau đó là 1, v.v. cho đến 4 (xem hình). Giờ đây, hoạt động trả phí là trao đổi một cặp chip từ các cọc lân cận. Chúng ta không thể xem xét các hoạt động tự do nữa (một hoạt động tự do “trộn” các con chip trong một đống). Chúng ta cần di chuyển tất cả các chip từ đống 0 sang đống 4 và ngược lại, từ đống 4 sang đống 0, đồng thời di chuyển tất cả các chip từ đống 1 sang đống 3 và ngược lại, từ đống 3 sang đống 1; Các chip từ cọc 2 phải nằm trong cùng một cọc. Cấp. Mỗi chip từ cọc 0 phải tham gia ít nhất một lần trao đổi giữa các cọc để đến cọc 4. Tương tự như vậy đối với chip ở cọc 4. Mỗi chip từ cọc 1 phải tham gia ít nhất hai lần trao đổi để đến cọc 3. Tương tự như vậy đối với chip ở cọc 3. Điều này có nghĩa là cần ít nhất (20 + 20 + 40 + 40) 2 = 60 lần trao đổi. Nhưng nếu đạt được sự bằng nhau trong ước tính đã được chứng minh (tức là thực hiện chính xác 60 lần trao đổi), thì các chip từ cọc 1 sẽ phải đi qua cọc 2, do đó ít nhất một chip từ cọc 2 sẽ tham gia trao đổi. Vì vậy, cần có hơn 60 cuộc trao đổi. Ví dụ. Chúng ta hãy thực hiện 20 lần trao đổi, hoán đổi vị trí của các chip từ cọc 0 và 4. Tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ định lại các chip ban đầu ở cọc 1: 1.1, 1.2, …, 1.20 và đánh số tương tự các chip ở cọc 2 và 3. Hãy thực hiện lần lượt 41 lần trao đổi: 2.1–1.1, 1.1–3.1, 3.1–1.2, 1,2–3,2, 3,2–1,3, 1,3–3,3, 3,3–1,4,…, 1,20–3,20, 3,20–2,1. Dễ dàng xác minh rằng tất cả các quân chip ở cọc 2 đều nằm trong cùng một cọc, và các quân chip ở cọc 1 và 3 đã đổi chỗ cho nhau. E. Bakaev

M2588*. Điểm M nằm trong tứ giác lồi ABCD, cách các đường thẳng AB và CD một khoảng bằng nhau và