Ví dụ và phản ví dụ

23

“Lượng tử”

VÌ

M L A D S I H

SH K O L NIK O V

Ví dụ và phản ví dụ

A.KANUNIKOV

Về một tiêu chí chia hết Hãy bắt đầu với ví dụ này. Phép kiểm tra khả năng chia hết cho 3 rất nổi tiếng: một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Một phép kiểm tra tương tự về khả năng chia hết cho 9 cũng có hiệu lực. Ví dụ: 145287 là bội số của 9, vì $1 + 4 + 5 +^{2} + 8 + 7 = ( 1 + 8 ) + ( 4 + 5 ) + (^{2} + 7 ) = = 3 \cdot 9$ là bội số của 9. Phép kiểm tra tương tự về khả năng chia hết cho 27 có hợp lệ không? Lấy ví dụ, số nhỏ nhất có tổng các chữ số là 27: 999. Dễ dàng thấy rằng đó là bội số của 27 (chia cho 9 là đủ và nhận được số 111, bội số của 3). Hãy lấy một ví dụ khác: 11…11 (27 đơn vị). Chia cho 3 ta được số 9 khối 037:

111 111 … 111: 3 = 37 037 … 037.

Tổng các chữ số của thương số thu được bằng $( 3 + 7 ) \cdot 9$ và là bội số của 9, có nghĩa là thương số chia hết cho 9, sau đó số 27 đơn vị ban đầu được chia cho 27. Chúng tôi đã phân tích hai ví dụ, nhưng ngay cả khi tìm thấy một triệu ví dụ xác nhận, chúng tôi cũng sẽ không chứng minh được dấu. Ngược lại, số 9981 cho thấy tiêu chí của chúng ta không đúng: mặc dù 9 + 9 + 8 + 1 = 27, nhưng 9981 không phải là bội số của 27, vì 9981: 9 = 112 không phải là bội số của 3. Số 9981 bác bỏ tiêu chí chia hết cho 27 không chính xác. Nói chung, một ví dụ bác bỏ một mệnh đề được gọi là phản ví dụ. Chúng ta hãy trình bày một “định lý” hài hước: trong toán học không có thuật ngữ nào có tên mà năm phụ âm xuất hiện liên tiếp. Chính từ “phản ví dụ” là một phản ví dụ cho “định lý” này.

2*. Việc kiểm tra khả năng chia hết cho 27 với tổng các chữ số là không chính xác trong hệ thống số thập phân. Hãy suy nghĩ xem tại sao các dấu hiệu chia hết cho 3 và 9 lại đúng trong đó và cố gắng hiểu hệ thống số nào mà phép kiểm tra tương tự về khả năng chia hết cho 27 là đúng.

Về một tiêu chí cho sự bằng nhau của các hình tam giác Chúng ta hãy chuyển sang phần hình học. Một điều khá rõ ràng là nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì các tam giác đó bằng nhau (Hình 1). Tuyên bố này được gọi là tiêu chí đầu tiên cho sự bình đẳng của các tam giác. Người ta nói ngắn gọn thế này: các hình tam giác có hai cạnh bằng nhau và góc giữa chúng. Chúng ta hãy suy nghĩ xem liệu một dấu hiệu tương tự có đúng hay không nếu các từ “giữa chúng” được thay thế bằng từ “không nằm giữa chúng” (Hình 2.) Giả thuyết này được xác nhận bởi một thực tế nổi tiếng là các tam giác vuông có cạnh bằng nhau và cạnh huyền: góc vuông nằm

Hình 1

Bài tập 1. Tìm phản ví dụ nhỏ nhất cho “kiểm tra chia hết cho 27”, tức là số tự nhiên nhỏ nhất, không phải bội số của 27, có tổng các chữ số là bội số của 27.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200403

Hình 2

25

“Lượng tử”

VÌ

M L A D S I H

lần lượt nó có chia hết cho 2 hay không; đến 3;… đến 9. Dima trả lời đúng tất cả tám câu hỏi và đáp số “có” và “không” được chia đều. a) Bây giờ bạn có thể trả lời đúng ít nhất một câu hỏi của giáo viên mà không cần biết chính con số đó không? b) Có ít nhất hai câu hỏi thì sao? Tất nhiên, nếu chúng ta có thể trả lời hai câu hỏi thì một câu hỏi thậm chí còn nhiều hơn thế. Vì vậy, “theo quy luật thể loại”, rất có thể, đáp số ở điểm a) là có, nhưng ở điểm b) không. Tất nhiên, điều này không được đảm bảo. Nhưng bạn phải thừa nhận, sẽ thật kỳ lạ khi đặt hai câu hỏi nếu chúng ta thậm chí không thể trả lời rõ ràng một câu. Hãy bắt đầu bằng việc cố gắng đưa ra một ví dụ cho điểm a). Cần kiểm tra bằng đáp số đối với câu hỏi đầu tiên của giáo viên - về khả năng chia hết của số viết ra (và chúng tôi chưa biết) cho 2. Nếu đáp số là “không”, thì số đó là số lẻ và do đó không chia hết cho 4, 6 hoặc 8. Vì đáp số “chia hết” và “không chia hết” bằng nhau, điều đó có nghĩa là số N phải chia hết cho bốn số còn lại 3, 5, 7, 9. Nhưng nó chia hết cho $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$ và không bao giờ có hai chữ số. Điều mâu thuẫn thu được cho thấy số N chia hết cho 2 nên đáp số ở phần a) là số khẳng định. Hãy chuyển sang điểm b). Trực giác mách bảo chúng ta rằng đáp số là “không”, nhưng chúng ta không biết chắc điều đó. Một số có hai chữ số được gọi là số tốt nếu giáo viên viết nó lên bảng, tức là nếu số đó chia hết cho đúng bốn số từ 2 đến 9. Ở phần a) chúng ta đã chứng minh rằng mọi số tốt đều là số chẵn. Chúng ta sẽ cố gắng chứng minh đáp số “có” ở điểm b), tức là tìm một số từ 3 đến 9 mà mọi số tốt đều chia hết chính xác hoặc không chia hết chính xác cho. Ví dụ, có số nào tốt là bội số của 9 không? Nếu vậy thì nó cũng là bội số của 3, rồi 2, rồi 6. Đã có 4 ước: 2, 3, 6, 9. Số nhỏ nhất như vậy là 18 - nó thực sự tốt. Bây giờ chúng ta hãy thử tìm một số tốt là bội số của 8. Nó tự động chia hết cho 2 và 4 - đã là ba ước. Nếu nó chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 6 - đã có năm ước số. Nhưng nó có thể chia hết cho 5: 40 là số tốt có các ước là 2, 4, 5, 8.

SH K O L NIK O V

Ví dụ về số 18 và 40 cho thấy không thể trả lời rõ ràng một số tốt có chia hết cho 3, 4, 5, 6, 8, 9 hay không: mỗi lần đáp số đối với số 18 và 40 là khác nhau. Chúng ta chỉ cần quyết định 7: 18 và 40 không chia hết cho 7. Có bội số nào của 7 không? Có, thật dễ dàng để đưa ra ví dụ bằng cách lấy số $56 = 8 \cdot 7$ thay vì số $40 = 8 \cdot 5$. Như vậy chúng ta đã chứng minh được đáp số ở điểm b) là “không”. Bài toán 3. a) Công việc của một công ty có thể có lãi trong 5 tháng bất kỳ nhưng không có lãi trong cả năm không? b) Tình trạng này có thể tiếp tục trong sáu năm không? (Nói cách khác, dựa trên kết quả của 5 tháng liên tiếp bất kỳ, công ty sẽ có lãi và dựa trên kết quả của mỗi 6 năm, công ty sẽ bị lỗ.) Thoạt nhìn, điều này không thể xảy ra, nhưng chúng ta đừng vội kết luận. Trong đoạn b) thời hạn sáu năm được quy định là “để chuyển hướng sự chú ý”. Trên thực tế, tình huống được mô tả là không thể xảy ra ngay cả trong 5 năm - xét cho cùng, khoảng thời gian như vậy được chia thành 12 giai đoạn trong 5 tháng và tất cả đều có lãi tùy theo điều kiện. Vì vậy, ở điểm b) đáp số “không”. Chúng ta hãy chuyển sang điểm a), chưa biết liệu những suy ngẫm của chúng ta sẽ dẫn đến một ví dụ hay một sự bác bỏ. Hãy đặt lại câu hỏi bằng ngôn ngữ toán học: tổng của 12 số có thể âm, trong khi tổng của 5 số liên tiếp bất kỳ có thể dương không? Nếu vậy thì tổng của mười số đầu tiên là dương và tổng của hai số cuối là âm. Mặt khác, kết luận đối xứng là đúng: tổng của hai số đầu là âm và tổng của mười số còn lại là dương. Cuối cùng, khi xét năm số bên ngoài, ta thấy tổng của hai số ở giữa là âm. Để đưa ra một ví dụ, chúng ta cũng hãy tính đến việc mỗi số 1 và 12 chỉ tham gia vào một năm hàng đầu, vì vậy chúng ta sẽ chuyển “trách nhiệm chính về việc thua lỗ” cho chúng. Từ những cân nhắc này, không khó để đưa ra một ví dụ:

$- 5, 0,^{2,} 2,^{2,} - 1, -^{2,} 2,^{2,} 2, 0, - 5$.

26

KVAN T 2020/№4

Tổng số tiền là $- 2$. Kiểm tra cẩn thận năm số liên tiếp.

Ai nhiều hơn, hay “Đánh giá + làm gương”

Rất thường xuyên, trong các bài toán, không chỉ cần đưa ra ví dụ mà còn phải chứng minh tính tối ưu của nó theo một nghĩa nào đó (số lớn nhất, thời gian thực hiện ngắn nhất, v.v.). Theo đó, lời giải trong số bài toán đó bao gồm hai phần. Khi đưa ra một ví dụ, chúng ta chỉ cần chứng tỏ rằng nó thỏa mãn điều kiện. Khi chứng minh tính tối ưu, việc đưa ra một số phản ví dụ là chưa đủ, nói rằng chúng ta không thể làm tốt hơn. Cần phải chứng minh rằng không ai có thể làm tốt hơn! Bài toán 4. Thỏ đổ ba kg mật ong vào năm chậu xếp thành một hàng (không nhất thiết phải đổ vào từng chậu và không nhất thiết phải bằng nhau). Winnie the Pooh có thể lấy bất kỳ hai chiếc bình nào cạnh nhau. Lượng mật ong lớn nhất mà Winnie the Pooh được đảm bảo ăn là bao nhiêu? Nếu Thỏ đổ mật đều nhau thì Pooh sẽ được 6 5 kg. Nhưng Thỏ có thể làm một việc xảo quyệt hơn: đổ một kg vào chậu 1, 3 và 5, sau đó Pooh sẽ lấy 1 kg. Liệu chú thỏ tiết kiệm có thể tiết kiệm được nhiều mật hơn nữa không? Sau khi xem xét các lựa chọn, chúng tôi đi đến giả thuyết là không. Hãy chứng minh điều này, đồng thời chỉ ra cách bạn có thể đạt tới đáp số 1 kg nếu chúng ta không đoán ngay được phương pháp xảo quyệt của Thỏ. Hãy để Pooh được đảm bảo chỉ lấy x kg và không hơn. Điều này có nghĩa là dù Thỏ có đổ mật ong như thế nào thì mỗi cặp hũ $( 1,^{2} ), (^{2,} 3 ), ( 3, 4 ), ( 4, 5 )$ đều không quá x kg, và trong một số cặp có đúng x kg. Cộng nội dung của các cặp ( 1, 2 ), ( 3, 4 ) và thêm nồi thứ 5 (cũng chứa không quá x kg), chúng ta thu được tổng khối lượng không quá 3x kg (Hình 5). Nhưng theo

Hình 5

điều kiện nó bằng 3 kg. Vì vậy, $3 \le 3x$, tức là $x \ge 1$. Điều này có nghĩa là Thỏ có thể không hy vọng tiết kiệm được hơn hai kg mật ong. Nhân tiện, từ lý do này, người ta thu được ví dụ trên và tính duy nhất của nó. Cụ thể, để x bằng 1 thì hũ thứ 5 phải có đúng 1kg mật ong. Nhưng rồi tính đối xứng thì nồi thứ nhất có đúng 1kg. Bây giờ rõ ràng là chậu thứ 2 và thứ 4 phải rỗng, chậu thứ 3 là 1 kg.

Bài tập 5. Gia đình đến gần cầu vào ban đêm. Bố có thể vượt qua nó trong 1 phút, mẹ trong 2 phút, con trai trong 5 phút và bà nội trong 10 phút. Họ có một đèn pin. Cây cầu chỉ có thể chịu được hai người. Nếu hai người băng qua nhau, họ đi với tốc độ thấp hơn. Bạn không thể qua cầu nếu không có đèn pin. Bạn không thể tỏa sáng từ xa. Bạn không thể bế nhau trong vòng tay. Một gia đình có thể qua cầu trong thời gian ngắn nhất là bao lâu?