Kvant
Olympic

Giải đấu XLI của các thành phố

Бакаев Е. В. и др.

Kvant 2020, số 4tr. 44Thẻ E7YH

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Thế Vận Hội

Giải đấu XLI của các thành phố

Bài toán du xuân

Tùy chọn cơ bản

lớp 8–9

1.(4)11. (4)^{1}

Bản đồ Quadrlandia là một hình vuông gồm 6×66 \times 6 ô. Mỗi ô là một vương quốc hoặc một lãnh thổ tranh chấp. Chỉ có 27 vương quốc và 9 lãnh thổ tranh chấp. Lãnh thổ tranh chấp được tất cả các vương quốc láng giềng và chỉ họ tuyên bố chủ quyền (tức là các ô liền kề với lãnh thổ tranh chấp ở phía bên hoặc phía trên). Phải chăng cứ hai lãnh thổ tranh chấp lại có một số vương quốc khác nhau được tuyên bố chủ quyền? M. Evdokimov

  1. (4) Số lớn nhất của các số nguyên khác nhau có thể viết thành một chuỗi sao cho tổng của 11 số liên tiếp bằng 100 hoặc 101? E. Bakaev

  2. (4) Trên đường chéo AC của hình thoi ABCD, dựng hình bình hành APQC sao cho điểm B nằm bên trong nó và cạnh AP bằng cạnh của hình thoi. Chứng minh B là giao điểm các đường cao của tam giác DPQ. E. Bakaev

  3. (5). Số nguyên n sao cho phương trình x2+y2+z2−xy−yz−zx=nx^{2} + y^{2} + z^{2} - xy - yz - zx = n có lời giải trong các số nguyên x, y, z. Chứng minh rằng khi đó phương trình x2+y2−xy=nx^{2} + y^{2} - xy = n cũng có lời giải chứa các số nguyên x, y. A.Yuran

  4. (5) Trên bảng 8×88 \times 8 ở ô a1 và c3 có hai quân giống hệt nhau (xem hình). Petya và Vasya thay phiên nhau đi bộ, Petya bắt đầu. Đến lượt của mình, người chơi chọn bất kỳ quân cờ nào và di chuyển quân cờ đó theo chiều dọc lên trên hoặc theo chiều ngang sang phải theo số lượng ô bất kỳ. Người chiến thắng là người di chuyển đến ô h8.

1 Số điểm được trao cho toàn bộ lời giải được ghi trong ngoặc đơn sau số bài toán. Kết quả được tổng hợp cho ba nhiệm vụ đạt được kết quả tốt nhất (điểm cho các điểm khác nhau của một bài toán được tổng hợp).

Người chơi nào có thể hành động sao cho luôn giành chiến thắng, bất kể đối thủ chơi thế nào? Chỉ có thể có một con chip trong một ô; bạn không thể nhảy qua một con chip. V. Kovaldzhi

lớp 10–11

  1. (4) Có thể viết một số nguyên vào mỗi ô таблицы40×41таблицы^{40} \times^{41} sao cho số trong mỗi ô bằng số các ô liền kề ở cạnh ghi cùng số đó không? A. Gribalko

  2. (4) Thảo luận về kỳ nghỉ đông trong lớp, Sasha nói: “Bây giờ, sau khi bay đến Addis Ababa, tôi đã tổ chức đón năm mới ở tất cả các bán cầu có thể có của Trái đất, ngoại trừ một bán cầu!” Sasha đã đón năm mới ở số lượng địa điểm tối thiểu nào? Hãy coi những nơi Sasha tổ chức năm mới như những điểm trên quả cầu. Các điểm nằm trên ranh giới của một bán cầu được coi là không thuộc về bán cầu này. I. Dumansky, R. Krutovsky

  3. (5) Chữ A và B xếp thành một vòng tròn, tổng cộng có 41 chữ cái. Bạn có thể thay ABA bằng B và ngược lại, thay BAB bằng A và ngược lại. Có đúng là từ bất kỳ vị trí ban đầu nào người ta cũng có thể thu được một vòng tròn có đúng một chữ cái trên đó bằng các thao tác như vậy không? M. Didin

  4. Có đa thức p(x) không cố định với các hệ số thực có thể được biểu diễn dưới dạng tổng a(x) + b(x), trong đó a(x) và b(x) là bình phương của các đa thức có hệ số thực,

44

KV A NT 2020/№4

a) (2) theo đúng một cách; b) (3) theo đúng hai cách? Các phương pháp chỉ khác nhau về thứ tự các thuật ngữ được coi là giống nhau. S.Markelov

các đường tròn tại A và C cắt nhau tại điểm K. Chứng minh rằng góc KDA là góc vuông. A.Yuran

  1. (5) Cho hai đường tròn cắt nhau tại điểm P và Q. Đường thẳng l tùy ý đi qua Q cắt đường tròn tại các điểm A và B. Các đường tiếp tuyến của đường tròn tại các điểm A và B cắt nhau tại điểm C, và phân giác của góc CPQ cắt đường thẳng AB tại điểm D. Chứng minh rằng mọi điểm D, có thể thu được theo cách này bằng cách chọn các đường thẳng l khác nhau, đều nằm trên cùng một đường tròn. A. Zaslavsky

  1. (9) Petya có một bộ bài gồm 36 lá bài (4 bộ, mỗi bộ 9 lá). Anh ta chọn từ đó một nửa số thẻ anh ta muốn và đưa nó cho Vasya, và giữ nửa còn lại cho riêng mình. Sau đó, với mỗi nước đi, người chơi lần lượt đặt một lá bài lên bàn (ngửa ngửa); Petya bắt đầu. Nếu ở đáp số trong lượt của Petya, Vasya có thể chơi một lá bài cùng chất hoặc cùng giá trị, Vasya kiếm được 1 điểm. Số điểm cao nhất mà anh ta có thể đảm bảo kiếm được là bao nhiêu? M. Evdokimov

Tùy chọn khó lớp 8–9

  1. (12) Xem bài toán M2601 “Bài toán Kvant”.

  2. (4) Có số nào chia hết cho năm 2020 mà tất cả các chữ số là 0, 1, 2, …, 9 đều bằng nhau không? M. Evdokimov

  3. (5) Ba anh hùng chiến đấu với Serpent Gorynych. Ilya Muromets chặt một nửa số đầu Rắn và một cái nữa sau mỗi đòn đánh, Dobrynya Nikitich - một phần ba tổng số đầu và hai cái nữa, Alyosha Popovich - một phần tư tổng số đầu và ba cái nữa. Các anh hùng đánh lần lượt từng người theo thứ tự họ muốn, cắt đứt toàn bộ số đầu bằng mỗi đòn. Nếu không một anh hùng nào có thể đánh trúng (số mặt đầu không phải là toàn bộ), Rắn sẽ ăn cả ba. Liệu các anh hùng có thể chặt được tất cả đầu của con Rắn có đầu thứ 41!? (Hãy nhớ rằng, что41!=1⋅2⋅3⋅что^{41!} =^{1} \cdot^{2} \cdot^{3} \cdot … ⋅41.)\cdot^{41}.) A. Zaslavsky

  4. Có tồn tại một N-giác nội tiếp trong một đường tròn không có các cạnh có độ dài bằng nhau và tất cả các góc đều được biểu thị bằng một số nguyên độ nếu a) (4) N = 19; b) (3) N = 20? M. Malkin

  5. (8) Với N nào thì có thể sắp xếp các số thực trong các ô của hình vuông N×NN \times N sao cho trong số tất cả các tổng số có thể có trên các cặp ô liền kề ở một cạnh, tất cả các số nguyên từ 1до2(N−1)N1 до^{2} ( N -^{1} ) N đều xuất hiện (chính xác một lần)? M. Didin

  6. (9) Hình thang ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Cơ sở AB của nó lớn hơn CD cơ sở của nó 3 lần. Tiếp tuyến với mô tả

lớp 10–11

  1. (4) Hai parabol cho trên mặt phẳng: y=x2y = x^{2} và y=x2−1y = x^{2} -^{1}. Gọi U là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng nằm giữa các parabol (bao gồm cả các điểm trên chính parabol). Có đoạn nào có độ dài lớn hơn 10610^{6} hoàn toàn nằm trong U không? A.Tolpygo

  2. (5) Alyosha nghĩ đến các số tự nhiên a, b, c rồi quyết định tìm các số tự nhiên x, y, z sao cho a = LCM ( x, y ), b = LCM ( x, z ), c ​​​​= LCM ( y, z ). Hóa ra x, y, z như vậy tồn tại và được xác định duy nhất. Alyosha nói với Bor về điều này và chỉ nói với anh ấy những con số a và b. Chứng minh rằng Borya có thể khôi phục c. B.Frenkin

  3. (8) Xem bài toán M2598 “Bài toán Kvant”. 4. (9) Xem bài toán M2599 “Bài toán Kvant. 5. (9) Xem bài toán M2600 “Bài toán Kvant. 6. (10) Viết 2n số nguyên liên tiếp lên bảng. Trong khi di chuyển, bạn có thể chia các số đã viết thành các cặp theo bất kỳ cách nào và thay thế từng cặp số bằng tổng và hiệu của chúng (không cần thiết phải lấy số lớn hơn trừ số nhỏ hơn, tất cả các lần thay thế diễn ra đồng thời). Chứng minh rằng 2n số liên tiếp sẽ không bao giờ xuất hiện trên bảng nữa. A. Gribalko