Vòng tròn Carlyle, hoặc Cách giải phương trình bậc hai bằng thước và compa

Vòng tròn Carlyle, hoặc Cách giải phương trình bậc hai bằng thước và compa

K.KNOP

CÓ THỂ CÓ NHỮNG mối liên hệ giữa phương trình bậc hai và các công cụ hình học - la bàn và thước kẻ? Tuy nhiên, mối liên hệ này tồn tại và nghiên cứu của nó từ các khía cạnh khác nhau là bài toán hấp dẫn nhất, liên quan chặt chẽ đến cả hình học và đại số. Và Thomas Carlyle có liên quan gì tới chuyện này? Theo Wikipedia, ông là nhà văn, nhà báo, nhà sử học và triết gia người Anh, tác giả của các tác phẩm nhiều tập “Cách mạng Pháp” (1837), “Những anh hùng, sự tôn thờ anh hùng và người anh hùng trong lịch sử” (1841), “Lịch sử cuộc đời của Frederick II nước Phổ” (1858–1865). Hầu như không có thông tin gì về nghiên cứu toán học của ông, tuy nhiên một lớp đường tròn giúp giải phương trình bậc hai được đặt theo tên ông. Và bây giờ - về mọi thứ theo thứ tự.

Ý nghĩa của việc giải phương trình bằng compa và thước kẻ là gì?

Trong sách giáo khoa hình học ở trường có đề cập đến khả năng xây dựng các vô tỉ bậc hai bằng cách sử dụng các công cụ hình học, nhưng chủ yếu không phải ở dạng thuật toán xây dựng thực tế mà dưới dạng một định lý tồn tại. Ví dụ trường học duy nhất về một thuật toán cụ thể

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200702

Thomas Carlyle. Bức chân dung về nhịp điệu của Daniel McLees, bằng cách nào đó có liên quan đến phương trình bậc hai, là việc xây dựng một giá trị trung bình hình học. Hãy bắt đầu với điều này bài toán. Bài toán 1. Cho đoạn a và b. Xây dựng một đoạn bằng ab. Lời giải. Hãy đặt nó trên một đường thẳng

13

ĐƯỢC RỒI

KAR LEYLA,

naty cos 72 q; sin 72 q, cos 72 q; sin 72 q, cos144 q; sin144 q và cos144 q; sin 144 q, tức là Góc AOB và AOE bằng 72 độ. và góc AOC và AOD là 144 độ. Và điều này có nghĩa là chúng là các đỉnh của một hình ngũ giác đều. Bằng chứng về tính đúng đắn của việc xây dựng hiện đã hoàn tất.

Về sự phức tạp của các công trình và “địa lý” của Emile Lemoine

Người Pháp Emile Michel Hyacinthe Lemoine được coi là một trong những cha đẻ của “hình học tam giác” hiện đại. Có thể bạn đã từng nghe nói tới điểm Lemoine trong một hình tam giác hoặc đường tròn Lemoine. Năm 1892, ông xuất bản tác phẩm “Hình học, hay nghệ thuật xây dựng hình học” (“L a Géométrographie ou l’art des Constructions géométriques”), trong đó lần đầu tiên ông đề xuất so sánh các công trình hình học khác nhau theo số lượng các phép toán cơ bản cần thiết (và công trình tốt nhất được coi là công trình yêu cầu ít thao tác hơn). Lemoine gọi phương pháp tối ưu (“hình học”) là phương pháp kinh tế nhất trong số các thuật toán xây dựng đã biết. Lemoine đếm năm thao tác cơ bản: $S_{1}$ – dùng thước kẻ vào một điểm nhất định; $S_{2}$ – vẽ một đường thẳng; $C_{1}$ – đặt chân la bàn tại một điểm nhất định; $C_{2}$ – thay đổi bán kính của la bàn bằng cách đặt chân bằng bút chì tại một điểm nhất định; $C_{3}$ – vẽ một vòng tròn bằng compa. Đồng thời, Lemoine coi la bàn là ổn định, tức là sau khi vẽ đường tròn, vẫn giữ nguyên bán kính đã đặt. Như vậy, hình tròn tiếp theo có cùng bán kính, theo Lemoine, không còn yêu cầu ba phép tính: $C_{1} C_{2} C_{3}$ mà chỉ cần hai phép tính: $C_{1} C_{3}$. Ví dụ: chúng ta hãy đếm số phép tính để xây dựng nghiệm của phương trình bằng đường tròn Carlyle, được hiển thị trong Hình 5. Các trục tọa độ và điểm $A, B_{1}$ và $B_{2}$ đã cho. Xây dựng trung gian

HOẶC

LÀM SAO

$Р_{ЕШАТЬ}...$

vuông góc với đoạn $OB_{1}$ – đây là hai đường tròn có bán kính bằng nhau và một đường thẳng, tức là $2 C_{1} C_{2} 2 C_{3} 2 S_{1} S_{2}$. Đường phân giác vuông góc tiếp theo là $2 C_{1} 2 C_{3} 2 S_{1} S_{2}$, vì chúng ta dựng nó mà không làm thay đổi bán kính của la bàn. Vì vậy, chúng tôi đã xây dựng trung tâm, trải qua 15 hoạt động cơ bản. Và cuối cùng, bản thân đường tròn Carlyle cũng là $C_{1} C_{2} C_{3}$. Tổng “độ phức tạp” của việc xây dựng $5 C_{1} 2 C_{2} 5 C_{3} 4 S_{1} 2 S_{2}$ là 18.

Bài tập 1. Hãy nghĩ ra một cách khác để dựng đường tròn Carlyle có độ khó từ 17 trở xuống.

Manh mối. Tâm của đường tròn này là điểm giữa của đoạn thẳng, một trong hai đầu của đoạn đó là $B_{1}$. Đầu tiên xây dựng đầu thứ hai của đoạn này.

Trò chơi giải đố trên máy tính hiện đại Euclidea (www.euclidea.xyz) cũng yêu cầu người giải bài toán để tìm ra cách xây dựng tiết kiệm nhất, nhưng, không giống như Lemoine, không tính các phép toán sơ bộ $S_{1}, C_{1}$ và $C_{2}$ mà chỉ đếm số đường thẳng được vẽ (tức là $S_{2} C_{3}$ theo thuật ngữ của Lemoine). Theo quan điểm của Euclidea, việc xây dựng đường tròn Carlyle có độ khó là 7.

Có thể tìm nghiệm của một phương trình bậc hai với độ phức tạp ít hơn không? Khi tác giả bắt đầu viết bài này, ông cho rằng câu hỏi này sẽ được xem như nụ cười cuối cùng của Mèo Cheshire và để lại cho người đọc tự giải quyết. lời giải. Tuy nhiên, kế hoạch đã thay đổi một chút, và bây giờ tôi muốn trình bày một phương pháp tiết kiệm hơn và mời độc giả suy nghĩ xem liệu có thể tìm được một phương pháp tốt hơn nữa hay không. Đầu tiên, hãy bỏ trục y. Tại sao lại cần thiết nếu chúng ta tìm kiếm tất cả các nghiệm trên trục x? Giả sử chúng ta chỉ có một trục và trên đó có bốn điểm đã biết O 0, E 1, S X Y và P XY. Hai điểm cuối tương ứng với các hệ số của phương trình mà chúng ta muốn giải. Hình 7 tương ứng với trường hợp 0 ​​XY 1 XY, nhưng điều này không quan trọng lắm