“Khảo cổ học” toán học: bài toán của Olympic Toán học đầu tiên dành cho học sinh Liên Xô

THẾ GIỚI TOÁN HỌC

Toán học “khảo cổ học”:

Bài toán Olympic Toán học Liên Xô đầu tiên dành cho học sinh

D.FOMIN

TRONG NHIỀU NĂM, tất cả những ai từng quan tâm đến các bài toán của Olympic Toán học Leningrad (LMO) đều biết rõ rằng các phiên bản của LMO đầu tiên đã biến mất trong chiến tranh và bị phong tỏa hoặc đơn giản là không được bảo tồn. Và trong những năm đầu tiên sau chiến tranh, số phận đáng buồn này đã không bỏ qua thủ đô phía Bắc - có lẽ chỉ bài toán Olympic nửa sau những năm 1950 mới có thể được tìm thấy ở những phiên bản ít nhiều hoàn chỉnh (và thậm chí sau đó không phải dành cho mọi năm và không phải cho mọi lớp). Một mặt, điều này là dễ hiểu. Có khả năng là trong những năm đó, những cuộc thi mới mẻ này không được coi là điều gì đó đáng được quan tâm đặc biệt. Hơn nữa, hàng ngày, các sáng kiến ​​mang tính cách mạng (theo nghĩa đầy đủ của từ này) trong giáo dục đều rơi vào đầu các giáo viên và học sinh. Thông thường, thậm chí không đến một hoặc hai phần tư trôi qua trước khi mọi thứ bị hủy bỏ, các bộ trưởng, giám đốc mới và những người đam mê hàng đầu khác đã đến, những người đã phát minh và giới thiệu các phương pháp giảng dạy hoàn toàn khác, những ý tưởng đổi mới để phát hiện tài năng trẻ, nâng cao khoa học xã hội chủ nghĩa lên một tầm cao chưa từng có, v.v. Có thể nhiều giáo sư tổ chức Olympic không thấy cần thiết phải lưu trữ

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200703

xâu chuỗi tất cả vô số danh sách bài toán này - thành thật mà nói - lúc đầu chúng gần như không khác gì chương trình giảng dạy thông thường ở trường bài toán. Mặt khác, cần lưu ý rằng trong những năm đó, cả ở Leningrad và Moscow, đều có những người đam mê thậm chí khi đó đã hiểu bằng trực giác tầm quan trọng của lịch sử trong việc bảo tồn những tài liệu Olympic bài toán đầu tiên này từ những vòng đầu tiên. Họ bảo quản cẩn thận những văn bản này trong kho lưu trữ của mình, sau đó xuất bản các bài báo và bộ sưu tập đầu tiên bài toán dành riêng cho các cuộc thi toán học. Trong số những người Muscovite ở đây, trước hết phải kể đến Rostislav Nikolaevich Bonchkovsky (1905–1942) và Joasaf Ivanovich Chistykov (1870–1942). Ví dụ, đối với Leningrad, người ta biết rằng các nhà lãnh đạo các nhóm của Cung tiền phong, Mikhail Lvovich Verzhbinsky (1909–1962) và Mark Konstantinovich Gavurin (1911–1992), đã sưu tập cẩn thận các bộ Olympic bài toán và tài liệu cho các lớp học dành cho học sinh (xem [7]). Nhưng sau đó họ đã ra mặt trận, và bây giờ có lẽ không ai biết chuyện gì đã xảy ra với kho lưu trữ của họ. Con gái của M.L. Verzhbinsky đã viết trong hồi ký của mình về cha mình rằng trong mùa đông bị phong tỏa, do thiếu củi, những đồ nội thất độc đáo của Chippendale cất giữ trong căn hộ của họ đã bị chặt nhỏ để nhóm lửa. Chuyện gì đang xảy ra ở đây vậy

17

TOÁN HỌC

nói về một số mảnh giấy với những công thức mà không ai cần. Năm 1941, Đại học Leningrad được sơ tán đến Elabuga, rồi đến Saratov; Nhiều giáo sư, nghiên cứu sinh và sinh viên đã ra mặt trận, hồ sơ và kho lưu trữ của họ đã biến mất - tại Leningrad bị bao vây, hoặc trong nhiều cuộc di chuyển. Vào cuối những năm 1980, khi tôi cố gắng tìm kiếm bài toán Olympic của những năm trước chiến tranh xa xôi đó, sự đồng thuận chung là “điều đó thật vô vọng”. Và kết quả khai quật của tôi tại Thư viện Công cộng Nhà nước (nay là Thư viện Quốc gia Nga), trong các tài liệu và báo cáo của Cung tiền phong và trong hơn ba mươi kho lưu trữ cá nhân đã đưa tôi đến cùng một kết luận đáng buồn. Trong ấn bản đầu tiên của tuyển tập Olympic Toán học Leningrad ([6]), tôi đã viết đại loại như thế này: có vẻ như rất khó tìm thấy bài toán các kỳ Olympic trước chiến tranh, không có cơ hội thực sự nào cho việc này. Ở đây cần phải nhắc lại rằng vào năm 1984, nhân kỷ niệm 50 năm Thế vận hội Olympic đầu tiên, một bài viết thú vị của N.M. Matveev và S.E. Rukshin đã được xuất bản trên tạp chí “Toán học ở trường” [5], trong đó các tác giả đặc biệt trích dẫn những kỷ niệm $С.В.Валландера^{1}$, và sau đó cho chúng tôi biết rằng “lịch sử đã lưu giữ bài toán đầu tiên của Olympic đầu tiên”. Tuy nhiên, bài báo thiếu sự ghi nhận chính xác cho tuyên bố này. Đây là điều kiện của bài toán được đưa ra ở đó: Bài toán về hình lập phương. Có bao nhiêu cách tô màu các mặt của hình lập phương bằng 6 màu? (Hai phương pháp tô màu được gọi là khác nhau nếu chúng không thể kết hợp được bằng cách xoay khối lập phương.) Khi tôi đọc văn bản này ngay sau khi nó được xuất bản, phản ứng đầu tiên của tôi là - thật là một bất ngờ thú vị! Chúng tôi không chỉ tìm được bài toán của LMO đầu tiên mà bản thân vấn đề cũng khá phức tạp.

1 Sergei Vasilievich Wallander – người chiến thắng LMO đầu tiên, Tiến sĩ Vật lý và Toán học tương lai. Khoa học, thành viên tương ứng. Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, Trưởng khoa Toán và Cơ học của Đại học bang Leningrad năm 1965–1973.

THẾ GIỚI

đẹp và không chuẩn, khác hoàn toàn so với đại đa số các cuộc thi toán bài toán khác vào thời điểm đó, trông như thể chúng vừa sao chép từ sách giáo khoa ở trường. Sau khi chiêm ngưỡng bài toán, tôi suy nghĩ một chút, vì tôi có cảm giác như đã nhìn thấy nó ở đâu rồi. Và trên thực tế, khi mở bộ sưu tập [3], tôi phát hiện ngay điều này bài toán… trong phiên bản của Olympic Toán học Moscow đầu tiên năm 1935. Liệu người Muscovite có thể sử dụng bài toán từ Olympic Leningrad năm trước không? Không cần phải nói, ở thời đại chúng ta điều này hoàn toàn không thể xảy ra. Nhưng sau đó, trong thời đại của những cuộc thi toán học đầu tiên, vào thời điểm mà tốc độ phổ biến thông tin kỹ thuật chuyên môn cao là cực kỳ thấp, những câu hỏi như vậy tất nhiên không được coi trọng như vậy. Thật khó để nói bất cứ điều gì chắc chắn, mặc dù đối với tôi, dường như điều này (tức là việc sử dụng lại bài toán) đã được xuất bản vẫn khó xảy ra - ngay cả khi chúng tôi cho rằng người Muscovite thích bài toán này đến mức họ không thể làm gì nếu không có nó, thì chỉ cần sửa đổi một chút tình trạng của nó là đủ; sẽ khá dễ dàng để làm điều này. Vì vậy, tôi đã có một giả thuyết - tuy nhiên, không dựa trên bất cứ điều gì - rằng trong nhiều năm qua, đã có một kiểu “che phủ” không tự nguyện của biến thể MMO-1935 lên ký ức của LMO-1934. Trong hồi ký ngắn gọn của một người tham gia Olympic đầu tiên khác, M.L. Alexandrova ([4]), một số dữ liệu đã được đưa ra -

18

KVANT 2020/№7

đã nói về việc tổ chức cuộc thi, nhưng than ôi, cô ấy không nhớ bài toán Olympic. Rõ ràng là không thể giải quyết một cách rõ ràng sự khác biệt nhỏ và nói chung là không đáng kể này. Chúng ta chỉ có thể hy vọng rằng khi những hậu duệ xa xôi của chúng ta phát minh ra cỗ máy thời gian, một trong số họ sẽ đến thăm Leningrad vào mùa xuân năm 1934, và khi đó nhân loại biết ơn cuối cùng sẽ có được danh sách đầy đủ bài toán của Olympic toán học thành phố đầu tiên trong lịch sử thế giới. Tuy nhiên, gần ba mươi năm sau, khi chuẩn bị phát hành lại bộ sưu tập LMO, tôi đã tiến hành tìm kiếm bổ sung trên Internet - chủ yếu với mục tiêu tìm kiếm một số bức ảnh từ những năm đó. Và không lâu sau (vào tháng 1 năm 2020), gần như hoàn toàn là tình cờ, tôi tình cờ biết được việc phát hành tuyển tập “Khai sáng toán học”, xuất bản tại Moscow năm 1935. Cuốn sách này xuất bản một bài báo của I.I. Chistykov [2] với tựa đề chính thức dài “Olympic Toán học của Đại học bang Leningrad mang tên A.S. Bubnova.” Khỏi phải nói tôi đã choáng váng và vui mừng đến thế nào. Đầu tiên, Chistykov cho biết ngày chính xác của Thế vận hội (Thứ Tư, ngày 18 tháng 4). Thứ hai, ông mô tả chi tiết hơn về việc tổ chức Olympic, đồng thời cũng báo cáo chính xác có bao nhiêu học sinh tham gia vòng thứ hai và thứ ba (cuối cùng) - lần lượt là 307 và 48 người. Thứ ba, và đây là điều quan trọng nhất, mười một kỳ thi Olympic bài toán đã được liệt kê trong phần phụ lục của ghi chú này. Lần đầu tiên sau nhiều năm, ít nhất một số bài toán của Olympic Toán học đầu tiên ở Liên Xô đã được tìm thấy! Vấn đề ghi công cũng bị loại bỏ hoàn toàn khỏi bài báo, nhưng trong trường hợp này, chúng tôi đang nói về tác phẩm được viết nhằm theo đuổi cuộc thi vừa diễn ra. Đó là điều tự nhiên khi cho rằng chính tác giả của bài báo hoặc những người biên tập bộ sưu tập đã nhận được danh sách bài toán khó khăn

đặc biệt là từ những người tổ chức LMO đầu tiên - đặc biệt, kể từ tháng 1 năm 1935, “nhà tư tưởng” chính của Olympic Leningrad, Boris Nikolaevich Delone, đã sống và làm việc tại Moscow (liên quan đến việc Viện Toán học của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô chuyển đến đó). Thật không may, bài báo không chỉ ra bài toán nào trong số này thuộc về vòng một (huấn luyện), vòng hai hoặc vòng ba của Olympic. Bài toán về việc tô màu hình lập phương bị thiếu (tuy nhiên, điều này không có ý nghĩa gì cả, vì văn bản cho thấy rõ ràng rằng phần phụ lục chỉ chứa một tập hợp một số bài toán Olympic đã chọn). Tuy nhiên, chính việc phát hiện ra ghi chú này đã là động lực để tôi tìm kiếm thêm. Chưa đầy vài tháng trôi qua, vào giữa tháng 5 năm 2020 (ít nhất cũng có chút lợi ích từ việc cách ly coronavirus đáng buồn), trong khi tiếp tục “lang thang” trong sự rộng lớn của world wide web, tôi phát hiện ra một bản sao của tạp chí “Toán học và Vật lý ở trường trung học” (tiền thân của tạp chí “Toán học ở trường”) năm 1934, trong đó một bài báo tương tự của cùng một tác giả đã được xuất bản [1]. Tiêu đề của bài viết này còn thô thiển hơn (“Kết quả Olympic Toán học Leningrad”), và ngoại trừ một số chi tiết nhỏ, nó thực tế không khác biệt với bài báo [2]. Tuy nhiên, trong phiên bản này, ngay sau văn bản chính là phần phụ lục chứa bộ bài toán của vòng thứ ba LMO-1934! Trong cuốn hồi ký đã được đề cập ở trên, M.L. Alexandrova đã viết rằng mỗi người tham gia vòng chung kết của Olympic nhận được hai bài toán - giải nhất về đại số, giải thứ hai về hình học. Đây chính xác là phụ lục của bài viết [1] này trông như thế nào – nó bao gồm tám tùy chọn trong số hai bài toán. Cần phải chỉ ra rằng vì lý do nào đó không rõ (không vừa? Bị mất? vô tình bỏ sót khi gõ?) bài toán 5(a) bị thiếu - tuy nhiên, rất có thể bài toán này có trong danh sách từ phụ lục của bài viết [2] - xem bên dưới bài toán 1934.X, 1934.Y và 1934.Z.

19

TOÁN HỌC

Về mặt lý thuyết, có thể đây vẫn chưa phải là một tập hợp đầy đủ tất cả các tùy chọn. Cá nhân tôi khó tin rằng ban giám khảo đã chuẩn bị sẵn một phương án riêng cho từng người trong số 48 người tham gia, đặc biệt là vì số lượng của họ không được biết trước. Ý tưởng của một Olympic nhiều lựa chọn là để loại bỏ khả năng gian lận - ngay cả khi đó, ngay tại Olympic đầu tiên, người ta đã chú ý đến điều này, tuy nhiên, điều này không có gì đáng ngạc nhiên. Tuy nhiên, tám lựa chọn có lẽ là đủ - Alexandrova nhớ lại rằng những người tham gia đã ngồi trong một số phòng học trong tòa nhà chính của trường đại học. Rõ ràng, ban tổ chức muốn đảm bảo rằng trong mỗi phòng có học sinh với các lựa chọn điều kiện khác nhau - khi đó việc tổ chức vòng thi vấn đáp như vậy có vẻ khá hợp lý. Tất nhiên, có một xác suất khác 0 là số lựa chọn có thể nhiều hơn, ví dụ như mười hoặc mười hai. Tuy nhiên, trong trường hợp như vậy, sẽ khó giải thích tại sao ấn phẩm không chứa bộ bài toán hoàn chỉnh. Đối với bài toán về màu sắc của khối lập phương, không thể loại trừ hoàn toàn việc nó nằm trong danh sách đào tạo bài toán gửi đến các trường học, trên cơ sở lời giải trường nào đã thành lập “đội” của mình cho vòng hai (giai đoạn học này khá xứng đáng được gọi là vòng đầu tiên của LMO-1934). Một giả định như vậy về mặt lý thuyết có thể giải thích ký ức của một trong những người tham gia rằng bài toán này là bài toán đầu tiên của Olympic. Tuy nhiên, tôi thành thật thừa nhận rằng giả thuyết này đối với tôi có vẻ không hợp lý. Điều [2] đề cập rằng danh sách bài toán của vòng đầu tiên bao gồm “90 bài toán từ nhiều nhánh đại số, hình học và lượng giác”; Nhân tiện, nhiều bài trong số đó cũng được liệt kê trong phần phụ lục của bài viết này với tiêu đề “Bài tập dành cho học sinh”; một danh sách đào tạo khác bài toán được đưa ra trong số trước (1934, số 3) của cùng tạp chí “Toán và Vật lý ở trường THCS”; Không có một bài toán không chuẩn nào trong các danh sách này.

THẾ GIỚI

Nếu chúng ta đang nói về vòng thứ hai của Olympic, thì nó, giống như vòng thứ ba, được biên soạn bằng phương pháp đa biến, điều này một lần nữa loại trừ khả năng sử dụng bài toán như vậy. Tuy nhiên, có thể câu hỏi về khối lập phương là một trong những câu hỏi bài toán bổ sung được đưa ra cho những học sinh đã giải được tất cả bài toán của phương án chính. Dù vậy, giờ đây chúng ta có thể nói với những căn cứ khá nghiêm túc rằng câu hỏi về các phương án chính cho vòng chung kết Olympic toán thành phố đầu tiên trong lịch sử trên thực tế đã được giải quyết. Những người hâm mộ các cuộc thi toán học cuối cùng cũng có thể làm quen với nhiều bài toán của Olympic Toán học Leningrad năm 1934. Và ai biết được, có thể trong số những người đọc những dòng này sẽ có hậu duệ của những học sinh, giáo viên, sinh viên hoặc giáo sư Leningrad, những người mà kho lưu trữ gia đình đã bị lãng quên từ lâu bài toán hoặc những bức ảnh từ Olympic của những năm trước chiến tranh khác vẫn được lưu giữ. Hãy hy vọng rằng chúng ta sẽ không phải đợi gần chín mươi năm nữa cho đến khi xuất bản lần tiếp theo dành riêng cho lịch sử của Olympic Toán học Thành phố Leningrad. Tuy nhiên, tệ nhất là chúng ta luôn có lựa chọn về cỗ máy thời gian.

---

Và bây giờ - bài toán của vòng thứ ba của LMO đầu tiên (bộ tám tùy chọn được liệt kê trong bài viết [1]). Ở một số chỗ tôi đã sửa lỗi chính tả và thay thế những thuật ngữ lỗi thời.

Vòng thứ ba. lớp 10. 1934

1934.01. (a) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các cạnh của một tam giác thì nghiệm của phương trình $b^{2} x^{2} b^{2} c^{2} a^{2} x c^{2} 0$ là $мнимые^{2}$. (b) Một tam giác trượt dọc theo mặt phẳng của nó sao cho hai cạnh của nó luôn bằng nhau

2 Đó là những gốc rễ này không thể có thật

số của tôi.

27

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

Hình 2

“QUANTA”

Nếu bánh xe đứng yên thì tốc độ tuyến tính của điểm của bánh xe thứ hai, hiện được nối với bánh xe thứ nhất, bằng 0, tốc độ tâm của nó $v_{1}$ bằng tốc độ của đòn bẩy tại điểm này: $v_{1} 2 r Z$. Do đó, bánh xe này phải quay với vận tốc góc Z 2 sao cho

2 r Z Z 2 r

Hình 3

như trên Hình 3. Hãy theo dõi chuyển động quay của điểm A của bánh chẵn (bánh xe thứ sáu) và điểm B của bánh lẻ (bánh xe thứ năm). Để một khoảng thời gian nhỏ không trôi qua sau thời điểm đang xét. Khi đó đòn bẩy quay một góc M Z theo chiều kim đồng hồ. Các bánh xe cũng sẽ quay cùng một góc so với cần số (xét cho cùng, các bánh xe có vận tốc góc Z so với cần số): bánh chẵn quay theo chiều kim đồng hồ, bánh lẻ quay ngược chiều kim đồng hồ. Trong hình 4

Hình 4

Vị trí của đòn bẩy và bánh xe tại thời điểm này được hiển thị và các góc quay của đòn bẩy và bánh xe được mô tả dưới dạng vòng cung. Từ hình này chúng ta kết luận rằng bánh xe chẵn sẽ quay so với vị trí ban đầu của nó một góc 2’M theo chiều kim đồng hồ, và bánh xe lẻ sẽ không quay chút nào. Điều này có nghĩa là vận tốc góc của bánh xe chẵn và đòn bẩy cộng lại và cho vận tốc góc gấp đôi, còn vận tốc góc của bánh xe lẻ và đòn bẩy bị trừ đi. Do đó, khi cần quay theo chiều kim đồng hồ (với điều kiện bánh xe thứ nhất cố định), tất cả các bánh xe chẵn, và do đó là bánh xe thứ sáu, sẽ quay quanh trục của chúng theo chiều kim đồng hồ với vận tốc góc 2Z, trong khi các bánh xe lẻ sẽ không quay quanh trục của chúng. Cũng có thể thực hiện được lời giải khác – mà không cần chuyển sang hệ thống tham chiếu được liên kết với đòn bẩy. Vì bánh xe thứ nhất là

0 và $Z_{2}$

2 Z.

Từ đây ta tìm vận tốc tuyến tính của điểm bánh thứ hai tiếp xúc với bánh thứ ba: $v_{23} 2 Z r Z_{2} r 4 Z r$. Tốc độ tâm bánh xe thứ ba $v_{3}$ bằng tốc độ đòn bẩy tại điểm tâm bánh xe thứ ba: $v_{3} 4 r Z$. Từ hai công thức cuối cùng, chúng ta thấy rằng cả tâm của bánh xe thứ ba và điểm của nó chạm vào bánh xe thứ hai đều có cùng tốc độ. Do đó, bánh xe thứ ba không quay: $Z_{3} 0$. Do đó, điểm của nó chạm vào bánh xe thứ tư có cùng tốc độ thẳng: $v_{34} 4 Z r$. Điều này có nghĩa là điểm của bánh xe thứ tư chạm vào bánh xe thứ ba có cùng tốc độ. Mặt khác, tốc độ tuyến tính của tâm bánh xe thứ tư $v_{4}$ bằng tốc độ tuyến tính của đòn bẩy tại điểm đặt tâm của bánh xe thứ tư: $v_{4} 6 Z r$. Do đó, bánh xe thứ tư phải quay với vận tốc góc $Z_{4}$, $6 Z r Z_{4} r 4 Z r$ và $Z_{4} 2 Z$. Và vân vân. Từ chuỗi đẳng thức này chúng ta thấy rằng vận tốc góc của tất cả các bánh xe lẻ bằng 0 và tất cả các bánh xe chẵn đều bằng 2Z.

F2607. Các kỹ sư nổ thử nghiệm các loại thuốc nổ mới trong một “chiếc chuông” hình trụ có thành dày, khối lượng M và bán kính R, hở ở phía dưới, đứng trên mặt đất. Bên trong

29

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

Từ đây chúng ta tìm thấy động lực tổng thể của những mảnh vỡ đã đi vào lòng đất:

P

$R^{2} 2 mE$

$4 R^{2} h^{2}$

.

Chuông sẽ nhận được xung lượng tương tự (nhưng hướng lên trên), do đó, theo định luật bảo toàn xung, tốc độ của nó ngay sau khi nổ điện tích sẽ bằng

V

$R^{2} 2 mE$

$4 R^{2} h^{2} M$

(ở đây chúng ta bỏ qua khối lượng mảnh vỡ mắc kẹt trong chuông). Chiều cao của chuông bây giờ có thể được tính bằng định luật bảo toàn năng lượng:

H

$V^{2} 2 g$

$mER^{4}$

$16 R^{2} h^{2}$

2

.

$M^{2} g$

F2608. Xét mô hình truyền chuyển động quay giữa hai trục song song dựa trên ma sát. Hai hình nón giống hệt nhau - dẫn đầu và dẫn động - được ép vào nhau dọc theo một máy phát điện (Hình 1). Nón dẫn động quay với vận tốc góc không đổi Z và có mômen ngoại lực M tác dụng lên trục của nó. Hình nón bị dẫn quay quay với vận tốc góc bằng bao nhiêu? Các hình nón được ép vào nhau đều dọc theo máy phát với một lực N. Góc ở đỉnh của hình nón là D, hệ số ma sát giữa các hình nón là P, chiều cao của hình nón là h.

Do có lực ma sát, nón dẫn động sẽ tăng tốc nón bị dẫn đến một vận tốc góc nhất định và ở chế độ quay đứng yên vận tốc góc của cả hai nón sẽ không giống nhau.

Hình 1

“QUANTA”

làm phiền. Nhưng vì vận tốc tuyến tính của các điểm khác nhau trên bề mặt của mỗi hình nón là khác nhau nên có sự trượt giữa các điểm của các hình nón chạm vào nhau và lực ma sát trượt phải tác dụng. Thật vậy, các điểm của hình nón dẫn động, nằm xa trục của nó hơn, có vận tốc tuyến tính cao hơn và phải ở phía trước các điểm của hình nón dẫn động mà chúng tiếp xúc. Và các điểm của hình nón dẫn động, nằm gần trục của nó hơn, có vận tốc tuyến tính thấp hơn và sẽ tụt hậu so với các điểm của hình nón dẫn động mà chúng tiếp xúc. Điều này có nghĩa là tại các điểm khác nhau trên bề mặt của mỗi hình nón, lực ma sát tác dụng khác nhau. Nón dẫn động chịu tác dụng của lực ma sát phanh từ nón bị dẫn tại các điểm phía trước các điểm bị dẫn và lực ma sát tăng tốc tại các điểm chậm hơn các điểm bị dẫn. Tuy nhiên, tổng lực ma sát tác dụng lên hình nón dẫn động phải là lực hãm, vì nó quay đều khi có mômen ngoại lực tác dụng lên nó. Từ điều kiện bằng nhau về mômen của các ngoại lực và mô men của tổng lực ma sát, người ta có thể tìm được các điểm của hình nón có cùng vận tốc tuyến tính (tiết diện có vận tốc bằng nhau). Vì vậy, đặt phần có vận tốc bằng nhau cách đỉnh của hình nón một khoảng $h_{0}$ (thể hiện bằng đường chấm trên Hình 2), phản lực pháp tuyến tác dụng giữa các hình nón bằng N. Xét một lớp mỏng của hình nón đầu có độ dày ’ x, nằm cách một khoảng x từ

Hình 2