Bài toán M2722—M2729; F2729—F2736

Bài toán trong toán học và vật lý

SÁCH VẤN ĐỀ “QUANTA” SÁCH VẤN ĐỀ “QUANTA”

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2722 – M2724 đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XLIV. Bài toán M2726 đã được đưa ra tại Olympic Toán học Nam Nga “Assara”. Tác giả bài toán F2729–F2736 – S. Varlamov.

Bài toán M2722–M2729, F2729–F2736 M2722. Cho một tam giác không cân cấp tính. Một hành động cho phép bạn cắt một trong các hình tam giác hiện có dọc theo đường trung tuyến thành hai hình tam giác. Liệu tất cả các hình tam giác có thể trở thành hình cân sau một vài bước không? E. Bakaev

M2723. Được biết, trong số nhiều tờ tiền có mệnh giá là các số tự nhiên khác nhau từng cặp, có đúng N tờ tiền giả. Trong một lần kiểm tra, máy dò sẽ xác định tổng mệnh giá của tất cả các tờ tiền thật có trong bộ chúng tôi đã chọn. Chứng minh rằng sau khi N kiểm tra có thể tìm được tất cả các tờ tiền giả nếu: a) N 2; b) N 3. S. Tokarev

M2724. Trong một cấp số cộng vô hạn, trong đó tất cả các số đều là số tự nhiên, có hai số có tổng các chữ số bằng nhau. Có nhất thiết phải có một số khác có cùng tổng các chữ số không? A. Shapovalov

M2725. Cho hai -giác đều (2n) đều có hướng giống hệt nhau $A_{1} A_{2}$ … $A_{2n}$ và $B_{1} B_{2}$ … $B_{2n}$. Các đường vuông góc phân giác $l_{i}$ được vẽ thành các đoạn $A_{i} B_{i}$. Giả sử các đường thẳng $l_{i}$ và $l_{i} 1$ cắt nhau tại điểm $K_{i}$ (sau đây ta xét hai chỉ số i và i 2n

giống nhau). Chúng ta hãy biểu thị bằng $m_{i}$ đường thẳng $K_{i} K_{i} n$. Chứng minh rằng n đường thẳng có dạng $m_{i}$ cắt nhau tại một điểm và các góc giữa đường thẳng $m_{i}$ và $m_{i} 1$ bằng nhau. Trần Quang Hưng (Việt Nam), A. Zaslavsky

M2726. Tìm xem trong hai số đó số nào lớn hơn:

2

2 hoặc

2

2

2

O

2

2

2 2

3

3

?

3

3

3

O

3

3

3 3

(Mỗi biểu thức chứa 2022 dấu hiệu phân số.) P. Kozhevnikov

M2727. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi $O_{a}, O_{b}, O_{c}, O_{d}$ lần lượt là tâm của các đường tròn (DAB), (ABC), (BCD), (CDA). Các điểm $O_{a}, O_{b}, O_{c}, O_{d}$ là các đỉnh của một tứ giác lồi (Hình 1). Chứng minh rằng diện tích của nó bằng một nửa mô đun hiệu diện tích hình vuông

Hình 1

23

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

tứ giác $AO_{b} CO_{d}$ và $BO_{c} DO_{a}$. V. Dubrovsky

M2728. Cho n tự nhiên 3. Tìm k nhỏ nhất mà phát biểu sau đúng: với bất kỳ n-giác nào và hai điểm bất kỳ bên trong nó, có một đường nối k-giác nối các điểm này, nằm hoàn toàn bên trong n-giác. L. Emelyanov

M2729. Tìm tất cả các số nguyên dương m và n thỏa mãn đẳng thức $m^{n} n^{3} m$. I. Dorofeev

F2729. Những bông tuyết lỏng lẻo (cục tuyết) có kích thước đặc trưng là 0,5 cm và rơi trong không khí yên tĩnh với tốc độ 1 ms. Hãy ước tính số lượng nguyên tử tạo nên một bông tuyết như vậy.

F2730. Đàn hồi rỗng $шарик^{А}$ có khối lượng tường m (các bức tường có cùng độ dày ở mọi nơi). Một miếng bọt polyurethane mỏng (một vật liệu có mật độ rất thấp) ngăn cách các thành bên trong của hộp $шарика^{А}$ với hộp $шарика^{В}$ thứ hai nằm bên trong hộp này có khối lượng m 2. Quả bóng “tổ hợp” này rơi từ độ cao h (không có tốc độ ban đầu) xuống một bề mặt cứng nằm ngang. Tác động của một $шарика^{А}$ với bề mặt này là hoàn toàn đàn hồi. Quả bóng “tổng hợp” sẽ bay lên cao bao nhiêu sau khi va chạm?

F2731. Hệ thống cơ khí bao gồm bốn quả nặng có khối lượng bằng nhau và hai khối lý tưởng có trục ngang cố định (Hình 2). Các ren kết nối tải là lý tưởng (tức là linh hoạt)

Hình 2

“QUANTA”

mỏng, không trọng lượng và không thể mở rộng). Các đoạn sợi được gắn các vật nặng ở bên trái và bên phải đều thẳng đứng và rất dài. Tại thời điểm ban đầu, mọi tải trọng đều đứng yên. Bán kính ròng rọc của các khối là R, khoảng cách giữa các trục của các khối là L! 2R. Sau khi thả ra, các vật nặng sẽ chuyển động với tốc độ bao nhiêu nếu vật nặng bên trái và bên phải chưa chạm tới khối? Bỏ qua sức cản của không khí.

F2732. Ba thanh ánh sáng không dẫn điện có chiều dài bằng nhau 2R được gắn chặt vào trung điểm của chúng sao cho hai đầu của chúng nằm ở các đỉnh của một hình lục giác đều. Ở đầu mỗi thanh có những quả cầu nhỏ giống nhau có khối lượng m như nhau. Hai quả cầu nằm ở các góc kề nhau của hình lục giác có cùng điện tích Q, các quả cầu còn lại không nhiễm điện. Một cấu trúc gồm các thanh có thể quay quanh trục đối xứng thẳng đứng của nó, tức là tất cả các quả bóng có thể chuyển động dọc theo cùng một đường tròn có bán kính R. Người thí nghiệm Vasya có một thanh dài không dẫn điện khác với cùng một quả bóng nhỏ ở cuối. Và điện tích của quả bóng này là –Q. Cấu trúc quay rất chậm. Vasya đợi thời cơ và nhanh chóng đặt quả bóng trên cây gậy của mình vào chính giữa hai quả bóng liền kề của cấu trúc. Vào thời điểm đó, khi khoảng cách giữa quả bóng (đứng yên) của anh ấy và những quả bóng của cặp này bắt đầu chênh lệch gấp đôi, Vasya nhanh chóng di chuyển quả bóng của mình đến một khoảng cách rất xa so với cấu trúc. Vasya thực hiện thao tác này N lần. Với tốc độ góc nào thì cấu trúc quay sau đó? Không có ma sát.

F2733. Một ampe kế và vôn kế mắc nối tiếp vào ắc quy. Dụng cụ hiển thị dòng điện $I_{1}$ và điện áp $U_{1}$. Sau đó, các thiết bị tương tự được kết nối song song sẽ được kết nối với cùng một loại pin. Bài đọc nhạc cụ