Bài toán M2770—M2777; F2777—F2784

Bài toán trong toán học và vật lý

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: [email protected] và [email protected], tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2770 – M2772 được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XLV, bài toán M2774 được cung cấp tại Olympic Toán học Nam Nga “Assara”, và bài toán M2776 và M2777 được cung cấp tại trại huấn luyện tháng 6 dành cho các ứng cử viên đồng đội tham gia Olympic Toán học Quốc tế. Bài toán F2777–F2784 được trao cho những người tham gia vòng loại của Olympic Phystech-2024. Tác giả của bài toán này là V. Plis.

Bài toán M2770–M2777, F2777–F2784

M2770. Một lỗ hình tam giác được tạo trên một tờ giấy hình vuông có diện tích 1 (các đỉnh của lỗ không kéo dài đến mép của tờ giấy). Chứng minh rằng có thể cắt được một hình tam giác có diện tích$^{1}$ từ tờ giấy còn lại 6. A. Yuran

M2771. Với N lớn nhất nào thì có số có N chữ số có đặc tính sau: trong ký hiệu thập phân của nó, trong số nhiều chữ số liên tiếp bất kỳ, một số chữ số xuất hiện đúng một lần? A. Glebov

M2772. Các ô màu trắng của bàn cờ $доски^{100} u^{100}$ chứa 100 quân, bao gồm cả quân trắng và quân đen. Họ có thể thực hiện các bước di chuyển theo bất kỳ thứ tự nào và bắt giữ các quân tượng có màu đối diện. Số nước đi nhỏ nhất được biết là đủ để để lại một quân tượng trên bàn cờ là bao nhiêu? A. Gribalko

Cơm. 1

M2773. Vòng tròn Z nằm bên trong vòng tròn và tiếp xúc với nó tại điểm T (Hình 1). Cho XY –

dây cung thay đổi của đường tròn: tiếp tuyến với Z. Gọi X c và Y c là trung điểm của các cung TY và TX không chứa các điểm X và Y tương ứng. Chứng minh rằng mọi đường thẳng X c Y c đều đi qua một điểm cố định. F.Petrov

M2774. Trong một hình vuông ca rô 50 u 50, mỗi ô được sơn bằng một trong 100 màu đã cho sao cho có tất cả các màu và không thể cắt một quân domino một màu từ hình vuông (tức là hình chữ nhật 1 u 2). Galia muốn tô lại tất cả các ô của một màu thành một màu khác (trong số 100 màu đã cho) để vẫn không thể cắt ra một quân domino một màu. Có đúng là Galia chắc chắn sẽ làm được điều này không? G. Sharafetdinova

M2775. Có một chuỗi các chữ số tuần hoàn vô hạn thỏa mãn điều kiện sau: với bất kỳ số tự nhiên n nào, từ chuỗi chữ số này người ta có thể cắt ra (dưới dạng từ phụ) một số tự nhiên chia hết cho $на^{2} n$? P.Kozhevnikov

M2776*. Trong nước có n loại tiền tệ được đánh số từ 1 đến n; trong mỗi loại tiền tệ chỉ có thể có số nguyên không âm