椭圆

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椭圆

I·N·布朗斯坦

介绍

让一条双向无穷大的直线（正如我们在几何学中所期望的那样）以始终穿过 O 并穿过其中一个圆点 C 的方式移动。

这是最终的表面。 *）。
如果它被不同的平面相交，那么循环不经过点O，那么在产生曲线时，称为最终截面。
它们的用途：
椭圆、双曲线和抛物线。
他们早在古希腊就为人所知。它们是由梅奈奇穆斯 (Menaechmus) 于公元前 360 年左右发现的，并通过 200 年后杰出数学家阿波罗尼乌斯 (Apollonius) 的杰出著作为我们所知。
这里讨论第一条曲线。

这个数字大家都认识。它出现在基础天文学和地理学（行星和卫星的运动轨迹、地球子午线的形状、电子绕原子运行的路径）、绘画和立体测量（图技术细节、圆形物体和几何体）中，但椭圆是什么，为什么它有趣——这确实是一个奇妙的图形，拥有美丽而重要的特性——学校教科书对此只字未提。

对于“什么是椭圆？”这个问题有人会回答：“一个拉长的圆”或“一个拉长的圆”*)，其他人 - “一个压缩的圆（圆）”，其他人 - “一个弯曲的椭圆形”，其他人不会回答任何问题，只是简单地做出一个或多或少成功的图； There is some truth in each of these answers, but they require further clarification.

*) A circle is a line, and a circle is part of a plane inside it.对于椭圆来说，没有类似的词：曲线本身和它里面的平面部分都被称为相同的，他们说：“椭圆的长度”，“椭圆的面积”。 In each case, the reader can easily determine what meaning of the word “ellipse” is being discussed.

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图 1. 只有红色椭圆才是椭圆。

新形式？ These words usually mean a line with two axes of symmetry CD and EH, written out in a rectangle PQRS and placed on a circle (图 1). The same meaning is included in the words “compressed” or “extended circle”.但是你可以将许多这种类型的曲线写成一个矩形 - 其中一些如 图 1 所示。只有其中一条 - 红色 - 有权被称为椭圆。 How does it stand out from other curves?

变形*)

Let us take a certain straight line l in a given plane Π and a given positive number k.我们将平面 P 相对于 l 轴的变形称为平面向自身的变换，其中平面的每个点 m 根据以下规则到达点 M：

2. 该点到轴的距离乘以 k，即 $m_0M = k \cdot m_0m$，其中 $m_0$ 是点 m 到 l 轴的垂线的底数 (图 2, a, b)。

如果$k > 1$，则平面上的所有点（除了轴本身上的点）都远离轴 - 张力平面，如果$k < 1$，则它们接近轴 -

图 2. 变形系数 a) $k = \frac{2}{3}$ b) $k = \frac{2}{3}$.

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图 3. 变形 $k=2$ 和 $k=\frac{1}{2}$。注意屋顶坡度的变化。

飞机崩溃了。 When $k=1$ all points of the plane remain in place; the latter case is called the mode-destiny transformation.

在平面 P 上给出一些图形 $\omega$ （即一组特定的点）。我们会对很多感兴趣 $\Omega$ 所有积分均来自 $\omega$ 由于变形（参见 图 3, 4).

埃利皮斯是什么？埃利皮斯元素

图 4. 足球图像的系数变形 $k=\frac{1}{2}$ （左下）和 $k=2$ （正确的）。

通过圆相对于其直径的变形获得（图 5).

Let $a$ be the radius of the circle;那么它在轴上的直径$cd$将变换为自身$(CD=2a)$，垂直于它的直径$eh$将变换为线段$EH$$(EH=2ka)$。 Let us denote the length of the segment $OE$ $(=OH)$ by $b$.然后$ka=b$。

段 $CD$ 和 $EH$ 称为椭圆的轴；数字 $a$ 和 $b$ 我们将它们称为椭圆的半轴。如果 $k>1$ （拉伸），然后 $b>a$ (图 5).

图 5. Elipis——周向变形

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图 6. 这样就可以建立一个椭圆了。

If $k < 1$ (compression), then $b < a$ (图 6). With $k = 1$ (identity transformation) the circle turns into a circle.为了不违反椭圆定义的一般性，我们同意将圆视为椭圆的特例（$b = a$）。 The larger of the segments $CD$, $EH$ is called the major axis of the ellipse, the smaller - the minor axis. So, if $k > 1$, then $a$ is the semiminor axis and $b$ is the major one, and if $k < 1$, then vice versa.

在这两种情况下$k = \frac{b}{a}$。

点 $o$ - 圆心 - 将在变形过程中转变为自身（$o \rightarrow O$）。 O称为椭圆的中心，即该点 $C$, $D$, $E$ 和 $H$ - 它的顶峰。

外接圆（椭圆的“母亲”）的正方形$pqrs$，其一侧平行，另一侧垂直于变形轴，从外接椭圆的边$2a$和$2b$变换为矩形$PQRS$； it is called characteristic of our ellipse, since it completely determines it. The sides of the Characteristic rectangle touch the ellipse at its vertices.

如果给定椭圆的轴，那么最简单的方法是手工测量椭圆，首先构造一个特征矩形，然后将椭圆曲线内切到其中。 But this method, with little practice, can confidently draw an almost real ellipse). We already know that there are many oval curves with the same axes. You can accurately construct how many corner points of the ellipse. The most common and simple way of such construction is shown in 图 6.

对此 图 两个同心圆有半径 $a$ 和 $b$。自己弄清楚这个构造并证明其合法性，即证明 图 $6$ $m_0M = m_0m \cdot \frac{b}{a}$.

通过对半径为 $a$ 的圆的几个点 $m_1$、$m_2$、$m_3$、… 进行此构造，我们可以得到椭圆有多少个角点。 All that remains is to connect them with a smooth line by hand or using a pattern.

但通过连续移动来测量椭圆是很有趣的，也就是说，无需将铅笔从纸上抬起，就像我们用圆规画圆一样。这可以通过一种特殊的设备——椭球体来完成。下面等我们熟悉了椭圆的方程后再讲。但首先我们需要弄清楚什么是直线方程。

直线方程 *)

17世纪发现的替代方法之一是坐标法，它允许人们将几何概念翻译成代数语言。该方法可以在安装坐标系的平面上的直线与包含两个字母$x$和$y$的方程之间建立对应关系。

某条直线的方程是$x$和$y$的方程，当且仅在该方程中代入值$(x_0, y_0)$时，该方程会转向相同的位置

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图 7. $m(x_{окр}, y_{окр})$ 是圆上的点，$M(x_0, y_0)$ 是椭圆上的点。

具有坐标的点的情况 $(x_0, y_0)$ 位于这条线上。

我们也可以说，由方程定义的直线是坐标满足该方程的点的轨迹。

例如，方程$y=x$是I、III坐标角的平分线方程，而以原点为圆心，半径为$a$的圆的方程可写为：$x^2+y^2=a^2$。

椭圆方程

An ellipse with semi-axes $a$ and $b$ is obtained from a circle of radius $a$ by deformation with a coefficient $k=\frac{b}{a}$ (图 7). Let us establish coordinate axes on the plane where both of these lines are located;让我们沿着变形轴引导 $OX$ 轴，并让 $OY$ 轴穿过圆心（也是椭圆的中心）并垂直于 $OX$ 轴。 Let $m$ be any point on the circle, and $M$ be the point of the ellipse at which $m$ passes.

the coordinates of the point $m$ are denoted by $(x_{окр}, y_{окр})$, and the coordinates of the point $M$ by $(x_0, y_0)$.显然，根据变形的定义

$$x_0=x_{окр}, y_0=k \cdot y_{окр},$$

(*)

图 8. 点$M$ 描述了一个椭圆。

在哪里

$$x_{окр}=x_0, y_{окр}=\frac{y_0}{k}.$$

如果我们将圆代入方程 $x^2+y^2=a^2$ 任意点的坐标 $(x_{окр}, y_{окр})$，那么等式成立

$$x^2_{окр}+y^2_{окр}=a^2,$$

这意味着更换 $x_{окр}$ 和 $y_{окр}$ 使用公式 (*)，我们看到等式也成立

$$x^2_{9}+\frac{y^2_{9}}{k^2}=a^2$$

对于任意点$M$$(x_0, y_0)$。

如果点$M'(X', Y')$不在椭圆上，那么因变形而落入$M'$的点$m'(x', y')$也不在圆上，方程$(x')^2+(y')^2=a^2$不正确；这意味着方程 $(X')^2+\frac{(Y')^2}{k^2}=a^2$ 也是假的。

根据直线方程的定义，我们得到以下椭圆方程

$$x^2+\frac{y^2}{k^2}=a^2.$$

注意到 $ka=b$，我们可以将此方程简化为以下形式

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

这是最方便（所谓的规范）形式的椭圆方程。

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让我们考虑以下几何问题 (图 8)。

线段$PQ$在平面内移动，使其一端$Q$沿直线$OX$滑动，另一端$P$沿与其垂直的直线$OY$滑动。这段$(MP=a, MQ=b)$的点$M$覆盖了哪条线？

我们来证明这条曲线是椭圆。让我们对线段滑动所使用的坐标轴应用坐标方法 (图 9)。设该点的坐标为$M-x$和$y$（它们取决于角度$PQO$）。根据三角形$QNM$和$MLP$的相似性，我们有$\frac{NM}{LP} = \frac{QM}{MP}$或$\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{b}{a}$。

方程（1）还不能称为期望轨迹方程：它是相对于图 9 编写的，其中线段位于四分之一处，并且点$M$ 的两个坐标均为正。只有在这种情况下，我们才能假设$ON=x$，和$NM=y$；如果路段位于图 8处的II、III或IV季度，则需要数$ON=\pm x$、$NM=\pm y$，每次选择必要的标志。

图 10.椭圆图。

然而，方程（1）也适用于第二季度，因为$x$是平方的，改变$x$的符号不会改变这个方程。对于 III 和 IV 季度，方程（1）应替换为：

$$-\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{b}{a}.$$

方程组 (1) 和 (2) 可以用单个方程代替

$$\frac{y^2}{a^2-x^2} = \frac{b^2}{a^2},$$

这很容易简化为形式

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

所需的曲线是椭圆。

椭圆仪的设计是基于所获得的结果。在纸或画板上画一个十字，十字上有两个相互垂直的槽（图10）。三个联轴器连接到直杆，可以固定在杆上的任何点。外面的套筒$P$和$Q$可以放入十字槽中，中间的$M$配有一支铅笔，在移动杆时可以画一个椭圆。沿着给定的半轴 $PM=a$、$MQ=b$ 固定好套筒后，我们可以用这些半轴绘制一个椭圆。

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圆柱体的倾斜截面 - 椭圆

通过将圆柱体与既不垂直也不平行于其轴线的平面相交，我们会获得或多或少拉长的椭圆形，具体取决于截面的倾斜角度。这意味着每个家庭主妇都会将香肠切成片供客人使用，并且经常（为了“保存”）使角足够尖锐，以便椭圆形具有更大的面积。

让我们证明这些截面不仅仅是椭圆形，而是真正的椭圆形。要做到这一点，只需确定椭圆形是通过拉伸从圆形（圆柱体的底部）获得的；系数 $k$ 等于 $\frac{1}{\cos \alpha}$，其中 $\alpha$ 是截面平面与圆柱体底面之间的角度。

让我们在圆柱体的底部画出 (图 11) 两个相互垂直的直径：$cd$ - 平行，$eh$ - 垂直于两个平面的交线，并通过它们画出平行于圆柱体轴线的平面$cdDC$和$ehHE$，以及平行于$ehHE$穿过的平面$M_0Mmm_0$截面的点$M$。知道线段在某条线上的投影长度等于线段本身的长度，

乘以它与其投影之间的角度的余弦，我们得到

$$\frac{M_0M}{m_0m} = \frac{OE}{oe} = \frac{b}{a} = \frac{1}{\cos \alpha} = k.$$

如果我们现在将两个图形$CEDH$和$cedh$放在同一平面上，使$CD$与$cd$对齐，那么它们将采取与图 5相同的位置，其中$M_0M = m_0m \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = m_0m \cdot k$，其中$k > 1$。

这证明了我们的说法。

有趣的是，对于每个椭圆，您可以指定一个位置，使其成为圆柱体的横截面，其半径等于椭圆的小面积。为此，您首先需要获取圆柱体的垂直截面，并将该截面的平面绕所得圆的直径之一旋转一个余弦等于 $\frac{a}{b}$ 的角度。

从这里开始，这总是可能的。

配合椭圆直径

椭圆的一个有趣的属性立即从最后的结果中得出：椭圆的所有平行弦的中点形成穿过椭圆中心的直线段（图12）。这家酒店非常印度风格

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图 13.共轭直径性质的证明。

对于圆：其平行弦的中点位于垂直于这些弦的直径上。现在将椭圆放置在圆柱体截面的位置，并通过椭圆的平行弦绘制一系列平行于圆柱体轴线的平面 (图 13)。在圆柱体的垂直截面的平面中，获得圆的平行弦，其横截面位于其直径上。椭圆弦的中点位于椭圆平面与穿过所得直径并穿过圆柱体轴线的平面的交点处。这是一条直线段，显然穿过椭圆的中心并将其分成两半。

通过其中心的椭圆的弦称为椭圆的直径。一般来说，椭圆的直径不等。其中最大的为长轴，最小的为短轴。如果在椭圆中绘制第二组弦，与所得直径平行，则它们的中点位于属于第一组弦的直径上 (图 12)。所得的两个直径称为“互共轭”。对于椭圆的每个直径，都有一个与之共轭的值。请注意，每对圆都有一个共轭

图 14. 圆的投影也是椭圆。

直径是相互垂直的，但椭圆不是，除了椭圆的轴之外。

圆-椭圆的投影

如果将位于某个平面上的圆投影到另一个平面上，既不平行也不垂直于第一个平面，则投影将产生椭圆曲线。例如，它以空中飞行的圆盘的阴影形式形成在草地上（图14）。

这个椭圆形又是一个椭圆形。读者可以很容易地亲自验证这个证明。这里你甚至不需要做特殊的绘图 - 只需转向 图 11，但从不同的角度来看它：我们将认为线 CEDH 是一个圆（CD=EH=a），而突出的圆柱体 - 不是圆形，而是椭圆形。这里cd=CD=a，eh=EH·cosα=b。我们需要证明 cedh 是一个椭圆；这种情况下的表面被称为椭圆柱 - 基于其垂直截面的形状。

证明路径与圆柱截面定理的证明相同。这次 m₀m=M₀M·cosα，其中 α 是平面之间的角度。因此，椭圆形 cedh 是从 CEDH 导出的，具有一定的斜率

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图 15。$F_1$和$F_2$是椭圆的焦点。

系数$k = \cos \alpha = \frac{b}{a}$。

现在将圆的垂直直径投影到椭圆的互共轭直径中。这一事实对于在平面上描绘空间图形的理论非常重要。

椭圆的焦点性质

我们继续讨论椭圆最重要的属性——焦点。这是“焦点”一词的形容词*) - 这是椭圆内两个显着点的名称，其长轴相对于椭圆中心对称。每个焦点到椭圆短轴两端的距离等于长轴长度的一半（图15）。

我们将椭圆视为圆柱体的一部分 - 我们已经看到我们总是必须这样做。现在让我们将一个刻在圆柱体上的球从两端滚动到圆柱体中，直到两个球都击中该截面的平面

*) 拉丁语“phosis”的意思是“非常”。这一术语的由来是这样的：如果将光源放置在椭圆的一个焦点上，那么根据“入射角等于反射角”的定律，从椭圆反射的所有光线都会通过第二个焦点。这将在问题之一«Kvant»中更详细地讨论。

图 16.椭圆焦点性质的证明。

(图16)（用几何语言来说：让我们将球刻入圆柱体中，以便它们接触剖面）。

接触点 $F_1$ 和 $F_2$ 将成为椭圆的焦点。

每个球沿着其圆周接触一个圆柱体。这两个圆圈都在 图 16 上以红色表示。

现在取椭圆的任意点 $M$ 并标记点 $M$ 所在的圆柱体的生成器 $PQ$（$P$ 和 $Q$ 是该生成器位于红色圆圈上的点）。显然，$MQ=MF_1$是从$M$到接触点$P$和$Q$所画的两条切线的长度。它们是相等的，就像在左球附近描述的具有顶点 $M$ 的圆锥体的形状。

对左边的球使用相同的推理，我们得到类似的等式$MP=MF_2$。将两个等式相加，我们得到

$$MF_1+MF_2=MP+MQ=PQ.$$

但是 $PQ$ 对于圆柱体的所有生成器来说都是相同的：这是红色圆圈之间（球中心之间）的距离。这意味着无论我们在椭圆上取什么点$M$，都会有

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图 17. 这就是实际中获得椭圆的方法。

平等$MF_1 + MF_2 = const$。

因此，椭圆上任意一点到其两个焦点的距离之和是一个常数。

这是椭圆的焦点属性。椭圆通常被定义为位于同一平面上的点的“几何位置”（用现代语言来说是一组），其中到两个点（焦点）的距离之和是恒定值。

如果我们选择其长轴的端点作为椭圆的点$M$（例如图15上的点$C$），则通过焦点属性$CF_1 + CF_2 = const$。由于对称性$F_1C = F_2D$；这意味着该常数等于$CF_2 + F_2D$，即长轴$CD = 2a$。如果我们取短轴的端点，例如，点$E$，作为点$M$，然后$EF_1 + EF_2 = 2a$，并且由于对称性$EF_1 = EF_2$，那么这些线段中的每一个都等于$a$。这证明了本节开头的陈述，并提供了一种沿椭圆轴 (图 15) 构造椭圆焦点的方法。

园丁椭圆仪

众所周知，通过使用螺纹环连续移动来构造椭圆是基于椭圆的焦点特性。让我们将一张纸放在衬板上，然后在上面粘上两个细针。将线环扔到两个警察身上（环的周长应大于警察之间距离的两倍），用锋利的铅笔拉动线，这样你就得到了一个三角形（$\Delta F_1F_2M$）。如果沿着纸移动铅笔以使线保持拉紧，则三角形将变形，但其周长保持不变。边长$F_1F_2$也保持不变，这意味着$F_1M + F_2M = const$，铅笔将描绘椭圆。

我们有一个新的、非常简单的椭圆仪。该方法已成功应用于椭圆花终端。不是用kopki，而是将两根木桩打入地面，用粗绳子制成一个环，并在地面上画一个椭圆，不是用铅笔，而是用棍子（图17）。

我们没有解释“椭圆”这个名字的由来（希腊语中“省略”的意思是“缺点”——缺点与它有什么关系？），我们没有谈论这条曲线的许多其他非常重要的属性——所有有限截面共有的属性：椭圆、双曲线和抛物线。这些问题将在以后的问题«Kvant»中讨论。

此统计数据中的空间图仅给出了他们一天的总体情况。在执行图时，优先考虑清晰度，而不是在平面上构建正确的空间图形*)。

该杂志即将出版的一期将讨论平面上空间图形的表示法则。

*) 尝试证明第 26 页给出的夸张法严格来说是错误描述的。