[习题 M41—M45; F48—F54]

在本期和后续各期中，“Kvant 问题”部分由 1970 年全联盟物理和数学优化中提出的问题组成。每个问题后面的括号中标明了该问题所在的类别。

F48。绳子缠绕在发电机的电枢轴上，其上附有重物。当重量下降时，它会旋转锚。当电枢充分松开时，将负载电阻连接到机器的端子。在图表上画出锚的旋转速度与负载开始移动的时间之间的关系。 （十）

G·I·科索罗夫

F49。 U 形管充满水。一侧肘部的空气已被排出；温度$t = 20^\circ\text{C}$时另一条腿的气压等于大气压。管的两端均被密封。弯头处水位差15m。如果管子被加热到$100^\circ\text{C}$，弯头中的水位会有什么变化？ (九-十)

B·B·布霍夫采夫

F50。在光滑的水平桌子上放置两个质量为 $m$ 的相同立方体，在未拉伸状态下通过刚度为 $k$、长度为 $l_0$ 的弹簧连接。大小和方向恒定的力 $F$ 将突然开始作用在左侧立方体 (图 1) 上。找到最小和最大距离

图 1.

图 2.

49

当系统进一步移动时，立方体之间的距离会增大。 （十）

B·B·布霍夫采夫

F51。在 20 米以内的距离拍摄老虎是很危险的。一个直径为 1 毫米的孔的暗箱尺寸是多少，以便照片中的老虎会出现条纹？虎皮上的条纹之间的距离是20厘米。 （十）

A·L·斯塔先科

F52。球垂直向上抛出。上升时间和下降时间哪个更大？ （八）

F53。该容器包含两种不混溶的液体，比重分别为 $d_1$ 和 $d_2$，层厚分别为 $h_1$ 和 $h_2$。将一个小物体从液体表面放入容器中，当其速度为零时，容器到达底部。制造身体的材料的密度是多少？ （八）

M·M·巴拉索夫

F54。在图2所示的电路中，安培数会显示什么？安培的电阻很小。 （八至九）

A·R·齐伯曼

M41。给定一个圆，它的直径 $AB$ 以及该直径上的一个点 $C$。在圆上构造两个点 $X$ 和 $Y$，相对于直径 $AB$ 对称，其中线 $YC$ 垂直于线 $XA$。 （八）

M42。某个十七位数字的数字以相反的顺序书写。结果数字被添加到原始数字上。证明它们的和至少有一位数字是偶数。 （八）

图 3.

M43。正三角形的每条边均分为 $n$ 等份。通过分割点绘制与边平行的直线。结果，三角形被分割成$n^2$小三角形（图3）。让我们创建一个三角形“链”，其中没有一个出现两次，并且后续的每个三角形都与前一个三角形有公共边。链中三角形的最大可能数量是多少？ (八—十)

M44。证明对于每个自然数$K$，有无数个不包含十进制零的自然数$T$，并且$T$和$KT$具有相同的位数。 （十）

M45。证明从任意两个 cqrt 数中，可以选择 $n$，其和可被 $n$整除，其中 $n \geq 2$。