Идеальный газ

Квант 1970, №10 с. 22, 24, 25 Тег SEVX

ОТВЕРГНУТАЯ РАБОТА

В 1845 году в Англійскую Академию наук (ее называют Королевским обществом) была представлена работа Ватерстона. В ней было показано, что давление газа на стенки сосуда можно обьясить уdarми атомов.

Хотя сама идея о том, что газ состоит из атомов, была не нова, мало кто принимал всерьез утверждение, что атомы могут свободно летать от стенки к стенке сосуда, а потому упругие свойства газа можно свести просто к механике атомов. Поэтому работа Ватерстона не понявалась членам ученого общества и была отклонена. Лишь много лет спустя ее нашел в архиве Релей и опубликовал в 1892 году в журнале, который называется «Философские сообщения Королевского общества» и который выходит и в наши дни.

Релей, между прочим, заметил, что Ватерстон поступил непредедустротелюно, не расскаазав в начале статьи о своих предшественниках. Между тем еще Даниил Бернулли в 1727 году подозревал о связи давления газа с квадратом скорости движения его части. Если бы Ватерстон упомянул своего великого предшественника, писал Релей, то у решенента Королевского общества не хватило бы смелости обьявить работу «бесмысленной, непригодной даже для чтения перед обществом».

Этот печальный эпизод дорогого стопи физике. То, что было сделано одним человеком и осталось незамечным, было открыто впоследствии лишь в результате работы нескольких человек, а окончательная формула была написана Максвеллом только в 1859 году.

История эта почительна, и интересно проследить, как постепенно улучшалась теория, и увидеть, сколько труда было потрачено на то, чтобы получить очень простую, на наш взгляд, формулу, которая связывает давление газа и среднее арифметическое квадрата скорости молекул:

$P = \frac{1}{3} nm < v^2 > cp.$

Здесь $P$ — давление газа, $n$ — количество молекул в $1\text{ cm}^3$ , $m$ — масса молекул, $<v^2>cp$ — среднее арифметическое квадрата скорости молекул.

ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ

Прежде чем говорить о том, как выводится эта формула, посмотрим, что она означает. Формула показывает, что давление газа прямо пропионально числу молекул в единице объема, а, значит, обратно пропионально объему газа $P \sim \frac{1}{V}$ (значок ~ означает «пропиональный»). Это закон Бойля-Мариотта. Но закон Бойля-Мариотта описывает поведение идеального газа. Значит, и формула, которую мы написали, спра-

СТОЛКОВЕНИЕ МОЛЕКУЛ СО СТЕНКОЙ

Когда молекula стalkивается со стенкой и отскакивает от нее, стенка получает неокоторый импульс. Предположим сначала, что молекula отражается от стенки упругим образом. На рисунке 1 изображена схема такого удара. Ось $Oz$ направлена перпендикулярно стенке, оси $Ox$ и $Oy$ расположены как-то в плоскости. Разложим скорость молекул на составляющие по тем осям. При упругом ударе угол padения $\alpha$ равен углу отражения $\beta$ , поэтому компоненты скорости $v_x$ и $v_y$ не изменяются. Компонента же $v_z$ при упругом ударе меняет знак. Таким образом, легко подчитать, что молекula изменит свой импульс (количество движения) на величины
$mv_z - mv'_z = mv_z - (-mv_z) = 2mv_z = 2mv \cos \alpha,$
где $v$ — величина скорости молекулы.

Задча, как видите, несложная, и Ватерстон ее решил верно. Следующий, кто занялся этой задачей (и опубликовал свою работу в 1856 году), был Кренг. Он неверно посчитал, что молекula при ударе передает стенке весь свой импульс $mv_z$ , и получил результат вдвое меньше.

Можно, однako, подумать, что в нашем вывода сделано одно очень существенное упрощение: мы приняли, что удар упругий. В действительности же это предположение, как ни удивительно, несущественно. молекula может отразыться как уголно, но результат от этого не меняется. Предположение об упругом характере удара не изменяет результат, это делает вывод очень простым.

Такое замечательное свойство — независимость результата от закона отражения — является следствием теплового равновесия между газом и стенками сосуда (которые поддерживают при постоянной температуре). Опять (как и при столковении молекул) от того, каким именно образом отражаются молекулы от стенки, окончательный результат — тепловое равновесие — не изменяется.

КАКАЯ СКОРОСТЬ У МОЛЕКУЛЫ?

Так как сила, действующая на стенку, равна передаваемому ей импульсу, деленному на время удара, то фактически мы получили формулу, которая показывает, какую силу испытывает стенка от удара молекулы. Но чтобы вычислить эту силу, надо знать скорость молекул. У разных молекул, конечно, скорости разные. Чтобы получить данные и вычислить давление газа, надо сделать какие-то предположения о том, какие скорости у молекул. Упомянутый уже Крениг допускал, что не будет большой ошибкой считать, что все молекулы движутся с одинаковой по величине скоростью и что каждая из них движется в одном из трех возможных направлений, параллельных осем координат. Ранше Кренигра (но позже Ватерстона) этой задачей занимался Джоуль (в 1851 г.). Онправильно понял связь между ударами молекул о стенки и давлением газа, но также не смог получить верной формулы. Наконец, в 1857 году Клаузис, не оставляя еще предположения о равных скоростях, вывед новую формулу, предположив, что молекулы движутся во всех направлениях. Только еще через 2 года Максвелл *) пришел к правильному выводу. Максвелл удалось сделать значительное большие. Он сумел понять, как распределены молекулы по скоростям, то есть какая доля молекул имеет заданную скорость. Но об этом мы здесь уже расссказывать не будем, оставив этот более трудный вопрос до другой статьи.

ДАВЛЕНИЕ ГАЗА

Сформируем теперь два предположения, которые позволят получить формулу для давления почти так же, как это делал 125 лет назад Ватерстон **).

*) Максвелл должно быть 21 сентября 1859 г. Ее русский перевод написан в сборнике «Основатели кинетической теории газов», вышедшем в 1937 году.

**) До Ватерстона некоторые направления степени скорости.

4 Квант № 10

Так же как и Ватерстон, будем считать, что когда газ находится в тепловом равновесии, то: 1) молекулы газа стalkиваются лишь со стенкой и не стalkиваются между собой, 2) молекулы стalkиваются со стенкой упруго.

Возьем наполненный газом куб с ребром, равным 1 м. После всего сказанного уже легко поверить, что результат не зависит от того, какой формулы сосуд мы возьмем, но вывод формулы облегчается, если форма сосуда кубическая.

Нарисуем систему координат так, как на рисунке 2. Сосчитаем количество движения, которое получает красная стена за 1 секк. По второму закону Ньютона оно равно силе, действующей на стенку со стороны молекул и, так как площадь стены равна 1 м², то это и будет величина давления газа на стенку.

Каждай раз, когда молекula стalkнется со стенкой, она передаст стенке количество движения 2mv_z. Отскочив от стенки, молекula попетит к противоположной и через время 2/v_z стукнется опять о красную стенку. Это означает, что за 1 секк одна и та же молекula идеально газа ударится о стенку v_z/2 раз.

Таким образом, за время 2/v_z молекula передаст стенке количество движения 2mv_z, а за 1 секунду

2mv_z·v_z/2 = mv_z².