Решая неравенство с параметром...

53

1. ТЩАТЕЛЬНО ИССЛЕДУЙТЕ ВСЕ СЛУЧАИ

Пусть надо решить относительно $x$ следующие линейное неравенство:

$$\frac{3ax + 4}{3a + 9} < \frac{x}{a + 3} + \frac{3a - 5}{3a - 9}.$$

Казалось бы, что может быть проще? Следуя известному школьному правилу, соберем все члены, содержащие $x$, в левой части неравенства, а свободные члены — в правой:

$$\frac{3ax}{3a + 9} - \frac{x}{a + 3} < \frac{3a - 5}{3a - 9} + \frac{4}{3a + 9},$$

и простим полученное неравенство:

$$\frac{a - 1}{a + 3} x < \frac{a^2 - 1}{a^2 - 9}.$$

(1)

Тепер осталось «всего лишь» разделить обе части неравенства на коэффициент при неизвестном.

Но именно на этом шаге — при делении обих частей неравенства (1) на коэффициент при неизвестном — нужно быть предельно осторожным, либо в неравенстве содержится параметр.

Неравенство с параметром — это по существу множество неравенств, каждое из которых получается из заданного при конкретном значении параметра. Представьте себе, что приятель предложил вам решить неравенство с параметром, а сам задумал конкретное число значения параметра. Вы не знаете задуманного значения, и ваша задача — не дать застигнуть себя врасплох, тщательно исследовать все случан, которые могут представиться. После того как вы решили неравенство, и приятель

объявил вам задуманное им значение параметра, вы должны найти в своем ответе случай, относится именно к этому значению.

Вернемся к нашему примеру. Могут представиться 4 случая:

1. одна или обе части неравенства не имеют смысла;
2. коэффициент при неизвестном равенню;
3. коэффициент при неизвестном положитель;
4. коэффициент при неизвестном отрицатель.

Первый случай возникнет при $a = \pm 3$. При этих значениях параметра, разметется, неравенство (1) не имеет решений.

Второй случай возникнет при $a = 1$. При этом значения параметра неравенство (1) принимает вид $0 \cdot x < 0$ и решений, очевидно, не имеет.

Третьий случай возникнет при $a < -3$ или при $a > 1$, $a \neq 3$. Разделив обе части неравенства (1) на положительное число $\frac{a - 1}{a + 3}$, получим:

$$x < \frac{a + 1}{a - 3}.$$

Четвертый случай возникнет при $-3 < a < 1$. Разделив обе части неравенства (1) на отрицательное число $\frac{a - 1}{a + 3}$, получим: $x > \frac{a + 1}{a - 3}$.

Объединия полученные результаты, запишем

Ответ: если $a = 1$, $a = \pm 3$, то решений нет;

если $a < -3$, $1 < a < 3$, $a > 3$, то

$$x < \frac{a + 1}{a - 3};$$

54

если $-3 < a < 1$, то $x > \frac{a+1}{a-3}$.

Приведенный ответ содержит в себе решение неравенства (1) для любого значения параметра. Именно это и является главной целью при решении неравенства с параметром.

Используя рисунок 1, решите неравенство $\cos x \geq a$ и докажите, что ответ такой:
если $a \leq -1$, то $-\infty < x < \infty$;
если $-1 < a < 1$, то $m_1 + 2k\pi \leq x \leq m_2 + 2k\pi$,
где $m_1 = -\arccos a$, $m_2 = \arccos a$;
если $a = 1$, то $x = 2k\pi$;
если $a > 1$, то решей нет.
($k = 0, \pm 1, \dots$)

2. НЕ ТОРОПИТЕСЬ С ВЫВОДАМИ

Рассмотрим еще один простой пример. Решим неравенство $\sqrt{x} > a$. Велик соблазн написать $x > a^2$ и заявить, что эта запись содержит в себе все решения неравенства. Но не следует торопиться с выводами, когда решается неравенство с параметром: ведь $a$ может быть меньше нуля; тогда решением неравенства $\sqrt{x} > a$ будет любое неотрицательное значение $x$; если $a \geq 0$, то возведение в квадрат обеих частей неравенства $\sqrt{x} > a$ является равносильным преобразованием; выполив его, получим $x > a^2$.

Ответ: если $a < 0$, то $x \geq 0$;
если $a \geq 0$, то $x > a^2$.

А теперь перейдем к рассмотрению более сложных примеров.

Пример 1. Решить неравенство $\sqrt{x^2 + x} < a - x$. (2)

Решен и е. Область допустимых значений неизвестного определения неравенств $x^2 + x \geq 0$. Кроме того, ясно, что если $a - x \leq 0$, то неравенство (2) не имеет решения, поэтому ограничимся с лучем $a - x > 0$. Но при выполнении условия
$$\begin{cases} x^2 + x \geq 0, \\ a - x > 0 \end{cases}$$ (3)

обе части неравенства (2) можно воз-

55

всти в квадрат (это не приведет к появлению построинх решений). После возведения в квадрат и приведение подобных членов получим:
$$(1+2a)x < a^2.$$
(4)

Неравенство (4) имеет следующие решения:

$$\text{ если } a = -\frac{1}{2},$$
$$\text{ то } -\infty < x < \infty;$$
$$\text{ если } a > -\frac{1}{2}, \text{ то } x < \frac{a^2}{1+2a};$$
$$\text{ если } a < -\frac{1}{2}, \text{ то } x > \frac{a^2}{1+2a}.$$

Но не следует торопиться с выводами и считать, что тем самым получены решения неравенства (2). Из найdenных решений неравенства (4) нужно отобразить те, которые удовлетворяют условиям (3). Для облегчения дальнейшей работы решим относительно $x$ системы неравенств (3) для любого значения $a$.

Первое неравенство системы (3) имеет решения $x \leq -1$ или $x \geq 0$. Второе неравенство имеет решения $x < a$. Дальнейшие рассуждания зависит от того, как расположено число $a$ относительно чисел $-1$ и $0$.

Разобрав случан $a \leq -1$, $-1 < a \leq 0$, $a > 0$, получим следующие решения системы (3):

a) если $a \leq -1$, то $x < a$;
b) если $-1 < a \leq 0$, то $x \leq -1$;
b) если $a > 0$, то $x \leq -1$ или $0 \leq x < a$.

Отберем теперь из найdenных выше решения неравенства (4) те, которые удовлетворяют полученным только что условиям $a$), $6$), $b$). Это и будут решения исходного неравенства (2).

При $a = -\frac{1}{2}$ неравенству (4) удовлетворяют все действительные числа. Условие (6) заставляет нас ограничиться значениями $x \leq -1$. Итак, если $a = -\frac{1}{2}$, то неравенство (2) имеет решения: $x \leq -1$.

При $a > -\frac{1}{2}$ неравенство (4) имеет решения $x < \frac{a^2}{1+2a}$. Расмотрим, в соответствии с условиями (6) и (b), два случая:

$$-\frac{1}{2} < a \leq 0 \text{ и } a > 0.$$

В первом случае нам нужно найти все $x$, удовлетворяющие системе неравенств $x \leq -1$ и $x < \frac{a}{1+2a}$. Таким образом значения $x \leq -1$.

Итак, если $-\frac{1}{2} < a \leq 0$, то неравенство (2) имеет решения $x \leq -1$.

Во втором случае, то есть при $a > 0$, нам нужно взять такие $x$, которые удовлетворяют одной из систем неравенств:

$$\begin{cases} x < \frac{a^2}{1+2a}, \\ x \leq -1, \end{cases}$$
$$\begin{cases} x < \frac{a^2}{1+2a}, \\ 0 \leq x < a. \end{cases}$$

Первая из этих систем имеет решения $x \leq -1$. Чтобы решить вторую систему, нужно сравнить между собой числа $a$ и $\frac{a^2}{1+2a}$. Составим разность $a - \frac{a^2}{1+2a} = \frac{a(a+1)}{1+2a}$.

Ясно, что при $a > 0$ эта разность положительная, следовательно, $\frac{a^2}{1+2a} < a$. Значит, вторая система имеет следующие решения: $0 \leq x < \frac{a^2}{1+2a}$.

Итак, если $a > 0$, то неравенство (2) имеет решения $x \leq -1$;
$$0 \leq x < \frac{a^2}{1+2a}.$$

При $a < -\frac{1}{2}$ неравенство (4) имеет решения $x > \frac{a^2}{1+2a}$. Расмотрим, в соответствии с условиями (6) и (b), два случая:

$$a \leq -1 \text{ и } -1 < a < -\frac{1}{2}.$$

56

В первом случае нам нужно решить следующую систему неравенств:
$$\begin{cases} x > \frac{a^2}{1+2a}, \\ x < a. \end{cases}$$

Но из равенства (5) следует, что при $a \leq -1$ справедливо неравенство $a \leq \frac{a^2}{1+2a}$, поэтому система не имеет решения. Таким образом, если $a \leq -1$, то неравенство (2) не имеет решения.

Во втором случае, то есть при $-1 < a < -\frac{1}{2}$, нам нужно решить следующую систему неравенств:
$$\begin{cases} x > \frac{a^2}{1+2a}, \\ x \leq -1. \end{cases}$$

Сравним числа $\frac{a^2}{1+2a}$ и $-1$, для чего составим разность
$$\frac{a^2}{1+2a} - (-1) = \frac{(a+1)^2}{1+2a}.$$

При $-1 < a < -\frac{1}{2}$ эта разность отрицательна, значит, $\frac{a^2}{1+2a} < -1$.

Но тогда последняя система неравенств имеет такие решения:
$$\frac{a^2}{1+2a} < x \leq -1.$$

Так выглядят решения неравенства (2) в случае $-1 < a < -\frac{1}{2}$.

Объединия полученные результаты, запишем

Ответ: если $a \leq -1$, то решение нет;

если $-1 < a < -\frac{1}{2}$, то
$$\frac{a^2}{1+2a} < x \leq -1;$$
если $-\frac{1}{2} \leq a \leq 0$, то $x \leq -1;$
если $a > 0$, то $x \leq -1;$
$0 \leq x < \frac{a^2}{1+2a}$.

3. БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ

При мер 2. Решить неравенство
$$\frac{1}{x} + ax > 1.$$

Решен и е. Преобразуем неравенство к виду
$$\frac{ax^2 - x + 1}{x} > 0.$$ (6)

Разложим числитель на множители, найдя предварительное его корни:
$$x_1 = \frac{1 + \sqrt{1-4a}}{2a};$$
$$x_2 = \frac{1 - \sqrt{1-4a}}{2a}.$$

Тут надо быть внимательным, чтобы не пропустить случай отрицательного дискриминента квадратного трехчлена.

Это будет при $a > \frac{1}{4}$. Но тогда $ax^2 - x + 1 > 0$ при всех $x$ и, следовательно, неравенство (6) в этом случае имеет решение $x > 0$.

При $a = \frac{1}{4}$, $x_1 = x_2 = 2$, и неравенство (6) можно переписать так:
$$\frac{(x - 2)^2}{4x} > 0.$$

После нее неравенство имеет решение $0 < x < 2$, $x > 2$.

Пусть теперь $a < \frac{1}{4}$. Тогда неравенство (6) преобразуется к виду
$$\frac{a(x - x_1)(x - x_2)}{x} > 0$$ (7)

и мы заменаем, что следует различать два случая: $a > 0$ или $a < 0$ (случай, когда $a = 0$ рассматривается).

Если $0 < a < \frac{1}{4}$, то неравенство (7) принимает вид
$$\frac{(x - x_1)(x - x_2)}{x} < 0,$$
откуда (учитывая, что при $a < 0$ $x_1 < 0 < x_2$) получаем $x < x_1; 0 < x < x_2$.

57

При $a=0$ исходное неравенство принимает вид
$$\frac{1}{x} > 1.$$
Решив это неравенство, получим:
$$0 < x < 1.$$
Obъединия все полученные результаты, запишем
Ответ: если $a < 0$, то $x < \frac{1 + \sqrt{1-4a}}{2a}$ или $0 < x < \frac{1 - \sqrt{1-4a}}{2a}$;
если $a=0$, то $0 < x < 1$;
если $0 < a < \frac{1}{4}$, то $x > \frac{1 + \sqrt{1-4a}}{2a}$, или $\frac{1 - \sqrt{1-4a}}{2a} > x > 0$;
если $a = \frac{1}{4}$, то $0 < x < 2$, или $x > 2$;
если $a > \frac{1}{4}$, то $x > 0$.

Пример 3. Решить неравенство $\log_{1/2}(x^2 - 2x + a) > -3$.
Решение и.e. Данное неравенство равносильно системе неравенств
$$\begin{cases} x^2 - 2x + a > 0, \\ x^2 - 2x + a < 8. \end{cases}$$
Перепишем систему следующего образом:
$$\begin{cases} (x-1)^2 > 1-a, \\ (x-1)^2 < 9-a. \end{cases}$$
Обозначим $x-1$ через $y$ и перепишем полученную систему в виде цепочки неравенств:
$$1-a < y^2 < 9-a.$$
Если мы сейчас будем внимательно, то заметим, что при $a \geq 9$ эта цепочка не имеет решения, а при $a > 1$ неравенство $y^2 > 1-a$ выполняется при всех $y$, поэтому решения цепочки в случае $1 < a < 9$ будут решения неравенства $y^2 < 9-a$, то есть $-\sqrt{9-a} < y < \sqrt{9-a}$.
Если, наконец, $a \leq 1$, то, решив цепочку, получим
$$-\sqrt{9-a} < y < -\sqrt{1-a};$$
$$\sqrt{1-a} < y < \sqrt{9-a}.$$

Ответ: если $a \leq 1$, то
$$1 - \sqrt{9-a} < x < 1 - \sqrt{1-a},$$
или $1 + \sqrt{1-a} < x < 1 + \sqrt{9-a}$;
если $1 < a < 9$, то
$$1 - \sqrt{9-a} < x < 1 + \sqrt{9-a};$$
если $a \geq 9$, то решений нет.
Пример 4. Решить неравенство
$$\cos x - \frac{1}{\cos x} \leq a (a > 0).$$
(физфак МГУ, 1966 г.)
Решен и.e. Замечаем прежде всего, что неравенству удовлетворяют все $x$, при которых $\cos x > 0$ (тогда $\frac{1}{\cos x} \geq 1 \geq \cos x$).
Будем теперь искать решения средних $x$, для которых $\cos x < 0$.
В этом случае неравенство (8) принимает вид
$$\cos^2 x - a \cos x - 1 \geq 0,$$
откуда получаем $\cos x \geq \frac{a + \sqrt{a^2 + 4}}{2}$ или $\cos x \leq \frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2}$. Поскольку мы рассматриваем случай $\cos x < 0$, то неравенство $\cos x \geq \frac{a + \sqrt{a^2 + 4}}{2}$ мы отбросим.

Итак, $\cos x \leq \frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2}$. От нашей вынимания не должноускольнуть тот факт, что при некоторых значениях $a$ число $\frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2}$ может оказаться меньше -1 (ведь в этом случае последнее неравенство не будет иметь решения). Поэтому нам еще предстоит сравнить числа $\frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2}$ и -1. Легко показать, что $\frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2} > -1$ (проверьте это!).

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, или агссos $\frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2} + 2k\pi \leq x \leq 2\pi - \frac{\pi}{2}$
агссos $\frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2} + 2k\pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$

58

4. НЕ ЗАБЫВАЙТЕ О ГРАФИЧЕСКОМ МЕТОДЕ

Пример 5. Решить неравенство
$$2\sqrt{x+a} > x+1.$$

Решение. ОДЗ определяется неравенством $x+a \geq 0$. Соответствие на рисунке 2 сним цветом закрашена полуплоскость под прямой $x+a=0$ (область, в которой решений зависитмо быть не может). Знак правой части неравенства (9) неизвестен, возводить обе части неравенства в квадрат нельзя. Рассмотрим два случая:

1. $x+1 < 0$ или $x < -1$ — неравенство (9) выполено автоматически. На рисунке 2 соответствующая часть ОДЗ закрашена в оржеквой цвет и обозначена I.
2. $x+1 \geq 0$ или $x \geq -1$. В этом случае можно возвести обе части неравенства (9) в квадрат. Получим $4(x+a) > x^2+2x+1$, откуда $a > \frac{1}{4}(x-1)^2$. На рисунке 2 парабола $a = \frac{1}{4}(x-1)^2$ проведена пунктом и только при $x \geq -1$ (в соответствии с условиям случая 2). Область,

где $a > \frac{1}{4}(x-1)^2$ на рисунке 2 okрашена тоже в оржеквой цвет, но обозначена II.

Таким образом, область, окрашенная оржековым на рисунке 2, дает множество пар $(x; a)$, удовлетворяющих неравенству (9). Чтобы получить решение неравенства (9) при определении значения $a$, проведем через соответствующий точку на оси $Oa$ прямую, паралельную оси $Ox$. Абсциссы точек отрезка этой прямой, заключенного в «оржеквой области», и будут решениями неравенства (9) при выбранном значении параметра. Для записи ответа нам нужно переписать уравнение линейного ограничения «оржеквуо области» следующим образом: $x = -a$; $x = 1 - 2\sqrt{a}$ (уравнение ветви параболы на отрезке $-1 \leq x \leq 1$); $x = 1 + 2\sqrt{a}$ (уравнение ветви параболы при $x \geq 1$). Уравнения $x = 1 - 2\sqrt{a}$ и $x = 1 + 2\sqrt{a}$ получены из уравнения $a = \frac{1}{4}(x-1)^2$.

Ответ: если $a \leq 0$, то решение нет;

если $0 < a \leq 1$, то
$$1 - 2\sqrt{a} < x < 1 + 2\sqrt{a};$$
если $a > 1$, то $-a \leq x < 1 + 2\sqrt{a}$.

Заметим, что при таком методе решения $x$ и $a$ совершено равноправны, и только для оформления ответа пришлось «распределить роли» между ними *).

Пример 6. Решить неравенство
$$\log_{\sqrt{2a}}(a + 2x - x^2) < 2.$$

Решение. ОДЗ неравенства определяется следующими условиями:
$a > 0$, $a \neq \frac{1}{2}$, $a > x^2 - 2x$.

*) Пример 5 взят из книги М. И. Башмакова и З. И. Боревича «Конкурсные задачи по математике» (издательство ЛГУ, 1968 г.). В этой книге читатель найдет ряд примеров неравенств с параметром, многое из которых решены графическим методом.

59

Рис. 3.

Соответствие на рисунке 3 закрашены сним цветом те области и проведены пунктром те линии, все точки которых не принадлежат ОДЗ и поэтому не могут являться решениями неравенства (10).

Если $0 < a < \frac{1}{2}$, то неравенство (10) преобразуется к виду
$$a + 2x - x^2 > (\sqrt{2a})^2,$$
откуда
$$a < -x^2 + 2x.$$

Значит, в этом случае неравенству (10) удовлетворяют те пары $(x; a)$, которые служат решениями следующего системы:

$$\begin{cases} a > 0, \\ a < \frac{1}{2}, \\ a > x^2 - 2x, \\ a < -x^2 + 2x. \end{cases}$$

Эти решения заполяют зону I на рисунке 3.

Если $a > \frac{1}{2}$, то неравенство (10) преобразуется к виду
$$a + 2x - x^2 < (\sqrt{2a})^2,$$
откуда $a > -x^2 + 2x.$

Значит, в этом случае неравенству (10) удовлетворяют те пары $(x; a)$, которые служат решениями следующее система:

$$\begin{cases} a > \frac{1}{2}, \\ a > x^2 - 2x, \\ a < -x^2 + 2x. \end{cases}$$

Эти решения заполют зону II на рисунке 3.

Ответ: если $a \leq 0$ или $a = \frac{1}{2}$, то решений нет;

если $0 < a < \frac{1}{2}$, то
$$1 - \sqrt{1 - a} < x < 1 + \sqrt{1 - a};$$
если $\frac{1}{2} < a \leq 1$, то
$$1 - \sqrt{1 + a} < x < 1 + \sqrt{1 - a};$$
$$1 + \sqrt{1 - a} < x < 1 + \sqrt{1 + a};$$
если $a > 1$, то
$$1 - \sqrt{1 + a} < x < 1 + \sqrt{1 + a}.$$

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Решая неравенство с параметром, шательно исследуйте все случаи, не торопитесь с выводами, будьте внимательны и не забывайте о графическом методе.

Уражнения

Решить относительно $x$ следующие неравенства:

1. $2x + 3(ax - 8) + \frac{x}{3} < 4(x + \frac{1}{2}) - 5.$
2. $\frac{2ax + 3}{5x - 4a} < 4.$
3. $\left| \frac{ax - 5}{3} + x \right| < 3.$
4. $\sqrt{x} - \sqrt{x - 1} > a.$
5. $tg x + ctg x \leq a (a > 0).$
6. $\lg^2 x - 2a \lg x - a^2 + 2 > 0.$
7. $\sqrt{a^2 - x^2} + \sqrt{2ax - x^2} > a$ (использовать графический метод).
8. $\log_x(x - a) > 2$ (использовать графический метод).