[Задачи М46—М50; Ф55—Ф60]

37

В этом номере мы продолжаем печать задачи, предлагавшие на всесоюзных олимпидах по математике и физике 1970 года. (В скобках после задачи указаан класс, в котором они предлагались.)

M46. Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали? (VIII)

Г. Гальперин

M47. Из цифр 1 и 2 составили путь $n$-значных чисел так, что у каждой двух чисел совпали цифрыровно в $m$ разрядах, но ни в одном разряде не совпали все пять чисел. Доказать, что

$$\frac{2}{5} \leq \frac{m}{n} \leq \frac{3}{5}.$$

(IX-X)

M48. В остругольном треугольнике $ABC$ bicсектриса $AD$, медиана $BM$, и высота $CH$ пересекаются в одной точке. Доказать, что угол $BAC$ больше 45°. (IX)

M49. На карточках написаны все пятизначные числа от 11111 до 99999 включительно. Затем эти карточки положены в одну целочкуву в произвольном порядке. Доказать, что получшеся 444 445-значное число не может быть степенью двойки. (X)

M50. Вершины правильного $n$-угольника покращены несколько красками (каждая — одной краской) так, что точки одного и того же цвета служат вершинами правильного многоугольника. Доказать, что среди этих многоугольников найдется два равных. (X)

Н. Васильев

Ф55. Оцените, на какую высоту поднимется стрелla, пущенная из лука вертикальное вверх. Масса стреллы 20 $e$, длина тетивы 1 $m$. Тетиву оттягают на 5 $cm$. Натяжение тетивы считать постоянным и равным 25 $ke$. (IX)

Ф56. Почему флаг «полошется» на ветру? (IX-X)

Ф57. Два одинаковых шарика, связанных невескомойружинкой, движутся по гладкому горизонтальном полу с одинаковой скоростью, перpendикулярной вертикальной стенке. Опишите, как проискодит соударение системы со стенкой. Как будут движаться шарики после удара? Удар шарика о стенку абсолотно упругий, время соударения пренебрежимо мало по сравнению с периодом колебаний шариков наружке. (IX).

Ф58. В магнитном поле с большой высоты падает колюцо, имеющее диаметр $d$ и сопротивление $r$. Плоскость колюца все время горизонтальная. Найти установившуюся скорость падения колюца, если индукция поля изменяется с высотой по закону $B=B_0(1+\alpha h)$. (X)

Ф59. Какое из ребер проводочного куба следует удалить, чтобы сопротивление между точками $A$ и $B$ (см. рисунок) изменилось как можно сильнее? Сопротивления всех ребер куба одинаковы. (VIII)

Б. Б. Буховцев

Ф60. В плоском зеркале видно изображение свечи. Что произдет с ним, если между зеркалом и свечой поставить плоскопаралельную стеклянную пластинку? (VIII)