О постулате Бертрана

4

О ПОСТУЛАТЕ БЕРТРАНА

М. И. Башмаков

Среди 69 работ Пафнутья Львовича Чебышева две работы сыграли особенно важную роль в развитию теории чисел. Эти работы: «Об определении числа простых чисел, не преосходящих данной величины» и «О простых числах», написанные им в молодые годы, посвязываны труднейшему в теории чисел вопросу о распределении простых чисел.

Во второй из названных работ указыны неравенства, позволяющие достаточно точно оценить количество простых чисел в данном отрезке натурального ряда и, в частности, доказан такой факт: между $x$ и $2x$ (где $x>1$) всегда есть хотя бы одно простое число. Это утверждение высказал известный французский математик Бертран, который проверил его в пределах имеющихся таблиц простых чисел, но доказать не сумел и принял в качестве построата.

Мы проследим основные идеи Чебышева, приведшие его к этим оценкам, а затем предложим ряд задач, решения которых позволяют читательам (достаточно хорошо знакомым со свойствами логарифмов) восстановить указывское доказательство построата Бертрана и получить неравенства для количества простых чисел, не преосходящих заданной величины.

Читатель может удивиться, каксе отношение имеет логарифмы к простым числам? В том-то и состоит заслуга Чебышева, что он указал, как можно использовать общные функции анализа — корни, логарифмы — при изучении задач о целых числах. Если мы хотим обнаружить, есть ли хотя бы одно простое число на отрезке от $n$ до $2n$, то можно поступить следующим образом:

1. придумать какую-нибудь функцию $y=f(x)$ вещественного аргумента $x$, которая не меняла бы своего значения, пока $x$ пробегает отрезок между соседними простыми числами, и принимала бы большее значение при переходе через простое число;

2. доказать неравенства относительной функции $f$, которые помогли бы достаточно точно оценить скорость роста.

Для так подобранной функции разность $f(2n) - f(n)$ будет положительным числом в том и только том случае, если функция $f$ возвраща при переходе от $n$ к $2n$, то есть если между $n$ и $2n$ имеется хотя бы одно простое число.

Первому условию удовлетворить легко. Можно рассмотреть такую функцию: обозначим через $\pi(x)$ число простых чисел, не преосходящих $x$.

Например, $\pi(1) = 0$ (единица не считается простым числом), $\pi(3) = 2$, $\pi(9) = 4$, $\pi(9,5) = 4$, $\pi(10,9) = 4$, $\pi(11) = 5$ и т. д.

Конечно, если мы могли доказать, что

$$\pi(2x) - \pi(x) > 0,$$

мы и доказали бы поступать Бертрана, так как

$$\pi(2x) - \pi(x)$$

как раз и обозначет число простых чисел, заключенных между $x$ и $2x$.