Луночки Гиппократа

17

ЛУНОЧКИ
ГИППОКРАТА

В пятом веке до нашей эры, то есть почти две с половиной тысячи лет назад, жил в Греции учены, зали его Гиппократ Хиосский. Именно Гиппократ принадлежит первая известная попытка создать «Начала» геометрии. К сожалению, книга эта до нас не дошла.

По одной из легенд неудачливый купец Гиппократ был ограничен прарам и направился желаваться на них в Афины. Здесь он встретился с мудрецами, которые проводили время, занимаясь в основном, решением геометрических задач. Не найдя управы на грабителей, Гиппократ утешился тем, что превозшел в геометрии самых искусных мудрецов . . .

Гиппократ пытался осуществить квадратуру круга, иначе говоря, построить с помощью циркуля и линейки круг, равновеликий данному квадрату. И хотя это ему, естественно, не удалось, он сумел построить несколько фигур, представляющих собой куски плоскости, ограниченные двумми окружностями, и тем не менее равновеликих квадрату.

С именем Гиппократа в истории геометрии связаны фигуры особого вида, так называемые луночки. Луночку (инначе говоря, полумесcii) можно определить так: на хорде произвольного круга строят внешним образом полуокружность, концы которого совпадают с концами хорды. Фигура, ограниченная меньшей дугой

окружности данного круга и проведенной полуокружностью, и есть луночка.

На рисунке 1 четыре также луночки окрашены в желатель цвет. Гиппократ заметил, что суммарная их площадь равна площади квадрата, окрашенного здесь в голубой цвет. Действительно, сумма площадей полукругов, построенных на сторонах этого квадрата, равна площади круга, в которой вписан квадрат. Если из полукругов удалить окрашенные в фиолетовый цвет сегменты, то остатус четыре луночки; если же удалить их из большого круга, то остатус квадрат.

Рис. 1.
17

18

Рис. 2.

Рисунок 2 иллюстрирует еще одну теорему Гиппократа. Оказывается, площадь трапеции, вписанной в округность с центром в точке O, равна сумме площадей оранжевых луночек и оранжевого полукруга (все три луночки равны по построению, полукруг равен тем полукругам, из которых образованы луночки). Доказывается эта теорема так же, как предыдущое утверждение.

На рисунке 3 приведена фигура, также составленная Гиппократом. Две боковые стороны и меньше основание трапеции равны 1, больше основание равно $\sqrt{3}$. Нижняя дуга фигуры, защищенной на рисунке черными линяями и которую естественно называть обобщенной луночной, касается диагонали трапеции. Оказывается, что площадь вписанной трапеции и луночки равны (доказать это площадей луночек. Доказательство этого факта легко получить, если воспользоваться теоремой Пифагора. Кстати, у этой фигуры есть еще одно удивительное свойство. Луночки имеют одинаковую ширину. Точнее говоря, диаметры наиболее вписанных в них окружностей равны каждый половине разности между суммой катетов и гипотенузой треугольника, показанного на том же рисунке.

20

метрии по-прежнему служат стороны треугольника $T$).

Поскольку симметричные сегменты равновелики, достаточно теперь доказать (см. рис. 6 е), что сумма площадей четырехугольников $R_1, R_2$ и $R_3$ без площади треугольника $L$ равна удвоенной площади треугольника $T$.

Треугольники $L$ и $L'$ симметрины относительно стороны $c$. Отразим теперь треугольники $P$ и $Q$ сначала относительно стороны $c$. Получаем треугольники $P'$ и $Q'$. Затем отразим треугольник $P'$ относительно стороны $b$, а треугольник $Q'$ — относительно стороны $a$. Образуется фигура из двух треугольников $T_1$ и $T_2$.

Оба эти треугольника симметрины

Рис. 62.

$$\frac{S}{S'} = \pi$$

Рис. 7

Рис. 8а, б, в.