Задачи М81—М85; Ф93—Ф97

30

Задачи

М81. Внутри квадрата $A_1 A_2 A_3 A_4$ взята произвольная точка $P$. Из вершины $A_1$ опущен перепendlukуляр на прямую $A_2 P$, из вершины $A_2$ — на $A_3 P$, из $A_3$ — на $A_4 P$, из $A_4$ — на $A_1 P$. Докажите, что все четыре перепendlukуляра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

А. Н. Виленкин

М82. На колъевой автоматиблной дороге стоит несколько одинаковых автоматашин. Известно, что если бы весь бензин, имеющийся в этих автоматашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей колъевой дороге и вернуть на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из машин, стоящих на дороге, может обжать все колъю, забирая по пути бензин у остальных автоматашин.

М83. Докажите, что числа 1, 2, …, $n$ ни при каком $n$ нельзя разбит на две группы так, чтобы произведение чисел в одной группе равнялось произведение чисел в другой.

М84. Пусть $A$ — основание перепendlukуляра, опущенного из центра данной okружности на данную прямую $l$.

На этой прямой взяты еще две точки $B$ и $C$ так, что

$$AB = AC.$$

Через точки $B$ и $C$ проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает okружность в точках $P$ и $Q$, вторая — в точках $M$ и $N$. Пусть прямые $PM$ и $QN$ пересекают прямую $l$ в точках $R$ и $S$. Докажите, что

$$AR = AS.$$

Эту задачу (или некоторые ее варианты) называют иногда «задачей о бабочке»; произхождение такого названия ясно из рисунка 1.

М85. Докажите, что если $a_1, a_2, ..., a_m$ — попарно различные натуральные числа, ни одно из которых не делится на квадрат целого числа, больше его единицы, а $b_1, b_2, ..., b_m$ — целые числа, отличные от нуля, то

$$b_1 \sqrt{a_1} + b_2 \sqrt{a_2} + \ldots + b_m \sqrt{a_m} \neq 0.$$

Л. Н. Васерштейн

31

Ф93. В боковой стенке сосуда, наполненного жидкостью с показателем преломления $n$, продолжано отверстие небольшого радиуса $r$. По оси отверстия из сосуда направляют горизонтальное тонкий луч света. До какого уровня $h$ над отверстием должна вытечь жидкость, чтобы луч света вышел из струи, ни разу не испытовало внутреннего отражения?

Изменением поперечного сечения струи пренебречь, показатель преломления жидкости считать достагоно большим.

И. Ф. Гинзбург

Ф94. Над одной грамм-молекуляр идеального газа совершают цикл (замкнутый процесс, состоящий из двух изохор и двух изобар (рис. 2)). Температуры в точках 1 и 3 равны $T_1$ и $T_3$ соответственно. Определить работу, совершенную газом за цикл, если известно, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.

Ф95. Поверхность реки образует наклонную плоскость. Можно тело свободно плыть по реке со скоростью, превышающей скорость течения или максимальной скорость течения?

Ф96. Два одинаковых шарика связи нитью. Найти высоту подема этой системы, если один из шариков бросили вверх со скоростью $v$.

А. Дроздов

Ф97. Виток изолированного провода изогнут в виде восьмерки, колба которой имеет радиус $r_1 = 1$ см и $r_2 = 3$ см. Виток находится в магнитном поле с индукцией $B = 10^4$ ec, перpendикулярном плоскости витка.

Изоляция провода расчитана на напряжение 10 e. Произойдет ли пробой изоляции, если магнитное поле резко выключить? Время выключения поля $10^{-3}$ сек.

Л. Г. Асламаов

Рис. 2.