Задачи на законы Ньютона

50

Задачи подобного типа часто даются на применных экзаменах вузь и поступающей полезно познакомиться с некоторыми методами их решения.

Неколько слов о самых законах Формулировать их можно по разному, и не в этом случае. Главное — понятие их физической содержание. Вспомним самое основное.

Первый закон Ньютона утверждает, что тело не имеет ускорения (стоит на месте или движется прямолинейно и равномерно), если на него не действуют силы или их суммарное действие равно нулю. Иными словами, ускорение $\vec{a}=0$ и скорость $\vec{v}$ постоянна, если $\Sigma F=0$.

Важен векторный смысл закона. Именно векторная сумма сил должны равнять нулю (рис. 1), именно вектор скорости остается в этом случае постоянным: скорость неизменна по величины и направлению.

Если же равнодействующая всех приложенных к телу сил $\vec{R}=\Sigma F$ отличана от нуля, то непреемно возникает ускорение пропорциональное этой равнодействующей и обратно пропорциональное массе тела $m$.

$$\vec{a} = \frac{\Sigma F}{m}$$

Это уже второй закон Ньютона. И опять-tаки очень существен его векторный характер: векторное равенство $\vec{a} = \frac{\Sigma F}{m}$ означает, что суммарное ускорение не только пропорционально равнодействующей сил приложенных к телу, но и совпадает с ней по направлению. Можно, конечно, считать и так: каждая сила вызывает свое, совпадающее с ней по направлению ускорение, а общее ускорение равно векторной сумме этих ускорений (рис. 2).

Следует помнить, что с силой по направлению совпадает ускорение, а не скорость, которая, вообще говоря, может быть направлена как углово, в зависимости от того, как движалось тело раныше. Так, например, при полете камня, брошенного под углом к горизонту, его скорость непрерывно изменяет свою величины и направление, тогда как вызывающая эти изменения

51

неня сила тяжести $\vec{P} = m\vec{g}$ и ускорение свободного padения $\vec{g}$ практическими неизменными (рис. 3).

Третий закон утверждает, что все силы в механике — это силы взаимодействия между телами, равные по величины, противоположные по направлению и приложенные к разным телам (рис. 4). Последнее иногда забывают утверждая, например, что тело, стоящее на земле, уравновешено согласно третьему закону Ньютона действующими на него силами: силой тяжести $\vec{P}$ и силой реакции опоры $\vec{N}$ (рис. 5). На самом деле равенство этих сил никакого отношения к третьему закону Ньютона не имеет и, как мы скороувидим, может вообше не выполняться.

Какдая из этих сил, однako, в соответствии с третьим законом Ньютона имеет свою «пару», равную по величины, противоположную по направлению и приложенную к другому телу, в нашем случае — к земле: сила реакции опоры $\vec{N}$ — силу давления тела на землю $\vec{N}'$ сила прятяжения тела к земле $\vec{P}$ — силу $\vec{P}'$, прятягивающий землю к телу (рис. 6).

Рассмотрим теперь, как же решать задачи Законы Ньютона обычно использовать при расчете сил и ускорении. Для решения этих задач (как, впрочем, и любых других) нет универсальных решетов, нужно лишь хорошего понимать применяемые законы, правильно разобраться в физической системе процессов, о которых идет речь в задаче, и знать самые общие пути подхода к ее решению. Можно, например, предложить следующее, разуметьсовсем не обязательную, последовательность действия:

первое — изобразить на схеме движущся тела и действующие на них силы;

второе — определить направление и характер движения (иногда это, правда, удается сделать лишь в конце);

третье — выбрать для каждой движения тела две оси (обычно по предполагаемому направлению движения и перпендикулярно кнему) и разложить по этим осям (спроектировать на них) действующие на тело силы;

четвертое — для каждой тела записать второй закон Ньютона, отделно для каждой оси. При этом проекции сил и ускорений

52

на оси считаот положительных, если их направления совпадают с положительным направлением оси, и отрицательными, если они направлены противоположно (рис. 7);

пятье — решив составленные уравнения, найти неизвестные.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Найти наяжение нитей и ускорение грузов в системе, показанной на рис. 8. Нить считаь нерастяжимой, силы сопротивления, массу блока и нити не учитывать.

Рассмотрим преждевое, какие силы действуют на каждой из грузов. Во-первых, это сила тяжестки $P=mg$. Если принять $g=10\text{ m}/\text{сек}^2$, то $P_1=20\text{ н}, P_2=5\text{ н}, P_3=25\text{ н}$.

Во-вторых, на каждый из грузов действует сила наяжения нитей: $T_1$ — на первой и второй грузы и $T_2$ — на второй и третий.

Заметим, кстати, что сила $T_1$ одинакова для первого и второго грузов только в том случае, когда массой блока и нити можно пренебреть. Если бы масса нити не была мала, то ускорение каждого участку нити сообщала бы разность сил наяжения нитей. Поэтому силы наяжения нитей, действующие на разные грузы, не могли бы быть одинаковыми.

Аналогично и для блока: привести его в движение можно, строго говоря, только в том случае, если с одной стороны нить будет тянут сильнее, чем с другой.

Изображив на схеме силы, действующие на грузы (рис. 9), попробуем определить направление и характер движения.

Правая часть системы тяжелее, поэтому грузы $m_2$ и $m_3$ станут опускаться, а груз $m_1$ — подниматься. Движение будет равноскореенным с одинаковым для всех грузов ускорением, либо преобладание веса правой части при отсутствии сил сопротивления и нерастяжимости нитей равносильно действию на систему в целом постоянной результирующей силы, что по второму закону Ньютона должно вызывать постоянное ускорение.

Мы можем оценить и относительно величины сил наяжения. Ясно, например, что $T_1>P_1$, либо для первого груза ускорение, а значит, и результатирующая сила должна быть направлены вверх. Аналогично $T_2<P_3$, а $P_2+T_2>T_1$ (рис. 9).

Выбор осей оценен: для первого груза одну ось удобно направить вверх, для второго и третьего — вниз (по движению). Что касается второй (перпendикулярной) оси, то в этой

53

задание она просто не нужна: ни одна из сил на нее не проектируется—все они направлены либо вверх, либо вниз и поэтому проектируется целиком только на первую ось.

Тепер уже можно легко написать уравнение движения (уравнение второго закона Ньютона) для каждой из трех групп:

$$T_1 - P_1 = m_1 a,$$
$$P_2 + T_2 - T_1 = m_2 a,$$
$$P_3 - T_2 = m_3 a.$$

Мы получили три уравнения, из которых без труда можно найти три неизвестных ($a, T_1$ и $T_2$).

Подставив, например, $T_1$ и $T_2$ из (1) и (3) в (2), получим

$$a \frac{P_2 + P_3 - P_1}{m_1 + m_2 + m_3} = 2 \pi / \text{сек}^2.$$

Подставив этот результат в уравнение (1) и (3), найдем

$$T_1 = P_1 + m_1 a = 24 \text{ н},$$
$$T_2 = P_3 - m_3 a = 20 \text{ н}.$$

Оси, разумеется, можно было бы направить и по-иному, например для первого груза не вверх, а вниз. Тогда вместо $T_1 - P_1 = m_1 a$ мы записали бы $P_1 - T_1 = -m_1 a$, чтоnickолько не повлияло бы на конечный результат.

2. Найти ускорение, давление тела на наклонную плоскость и силу треня (рис. 10). Коэффициент треня $k = 0,2$. Сила $F = 10 \text{ н}$ направлена вертикально вверх.

На тело действуют четыре силы: сила $F$ — вверх, сила тяжести $P$ — вниз, реакция опоры $N$ — перpendикулярно к наклонной плоскости и сила треня $f_{\text{тр}}$, направление которого можно узнать, лишь определив направление движения тела. В подобных случаях обычно прикидывают, куда бы дивигалось тело без треня под действием всех остальных сил, в нашем случае — под действием сил $F, P$ и $N$ (рис. 11а). Сила треня, очень видно, не в состоянии изменить направление движения, а может лишь уменьшить его скорость или даже полностью затормозить тело.

Можно предложить, что тело будет скольнить вдоль наклонной плоскости вверх или вниз. Чтобы направление движения, выберем две оси: ось $x$ направим вдоль наклонной плоскости, ось $y$ — перpendикулярно к ней (рис. 11б). Разложив по этим осам силы $F, P$ и $N^*$), уви-

*) Заметим кстати, что, разложив силу по осям, необходимо помнить, что она уже заменена другими, и поэтому ее можно либо перечеркнуть на рисунке, чтобы снова не рассматривать как действующую. Либо составить новый рисунок с одним «разложенными» силами

54

дим, что по плоскости тело может перемещаться только вниз, так как из двух действующих вдоль нее сил $P\sin\alpha$ больше $F\sin\alpha$. Сила трения, следовательно, может быть направлена только вверх по наклонной плоскости.

В нашем примере мы должны, правда, допустить еще одну возможность сила $F$ может быть настолько велика, что тело вообще не будет скольить по плоскости, а отверяет от нее. Однако, сравнив «прижимающую» сила $P\cos\alpha=17,4$ и силий $F\cos\alpha=8,7$ и увидим, что первая больше второй, и поэтому тело не может оторвать от плоскости.

Надо сказать, что разность этих сил $P\cos\alpha-F\cos\alpha=8,7\pi$ дает искомуую сила давления тела на плоскость и равную ей по величины реакцию опоры $N$.

Напишем теперь второй закон Ньютона, помня о том, что силы, направленные противоположно положительным направлением оси, считаются отрицательными. Для оси $y$ получим.

$$F\cos\alpha+N-P\cos\alpha=0$$

(1)

(ускорения в этом направлении нет, поэтому и сумма сил равна нулю). А для оси $x$ получим:

$$P\sin\alpha-F\sin\alpha-f_{\text{тр}}=ma.$$

(2)

В задачах подобного типа иногда делают ошибки при определении величины силия трения. Привыкнуть к задачам с горизонтальной двигающимся телами, нередко, недолго думая, вычислют силия трения как произведение коэффициента трения на вес тела.

На самом же деле $f_{\text{тр}}=k\cdot N$, где $N$ — сила нормального давления (реакция опоры), то есть сила, действующая на тело перpendикулярно плоскости скольжения (или равная ей по величины и противоположная по направлению сила давления тела на плоскость).

В нашей задаче нужно учеть и угол наклона плоскости, и силиу $F$, несколько уменьшающее силу нормального давления:

$$f_{\text{тр}}=k(P\cos\alpha-F\cos\alpha)=k(P-F)\cos\alpha=0,2(20-10)0,87=1,74\pi$$

Теперь из уравнения (2) легко найти ускорение тела:

$$a=\frac{(P-F)\sin\alpha-f_{\text{тр}}}{m}=\frac{(20-10)0,5-1,74}{2}=1,63\pi/cek^2.$$

3. В ракете установленыружинные весы, на которых лежит брусок. До вылета весы показывают 10 $N$. В полете весы вначале показывают 30 $N$, затем 10 $N$, 5 $N$, 0 $N$. Что можно сказать об ускорении и направлении движения ракеты в эти моменты времени?

Разберемся прежде всего в силах.

На брусок действуют две силы: сила тяжести $P$ и реакция опоры $N$ (рис. 12). Когда ракета не имеет вертикального ускорения (например, до вылета), эти силы равны. В нашем случае $P=N=10$ $N$.

Если ракета (а значит, и брусок) движется ускоренно, направер, вверх, то равнойствующая эти силы должны быть направлена вверх ($N>P$). Если ускорение направлено вниз, то $P>N$.

Что же показывают весы? Конечно, не силу тяжести, как иногда думают. Весь регистраруют силу, с которой на них давит брусок. Эта сила приложена к весам и в соответствии с третьим законом Ньютона равна по величины и противоположно по направлению реакции опоры $N$, приложенной к бруску

55

Из условия задачи видно, что сила реакции опоры $N$ и равна ей по величины сила давления на опору, или вес, затем меняются в процессе полета и, вообще говоря, не равны силе тяжесте $P=mg$, которое практическим можно считать постоянной (если претенбреть ее изменением с высотой). Запишем второй закон Ньютона для движения вдоль оси, направленной, направленной, вверх:

$$N-P=ma$$

Подставив сюда $N_1=30$ $\kappa$, $P=10$ $\kappa$, $m=1$ $\kappa \left( m=\frac{P}{g}=\frac{10}{10}=1 \kappa \right)$, получим: $a_1=\frac{N_1-P}{m}-\frac{30-10}{1}=20 \, m/cek^2$. Ускорение положительное и направлено, следовательно, вверх.

При $N_2=10$ $\kappa$ получим $a_2=0$, при $N_3=5$ $\kappa$ $a_3=-5 \, m/cek^2$, при $N_4=0$ $a_4=-g$. В последних двух случаях ускорение отрицательно, значит, оно направлено вниз, либо в нашем уравнении мы считали $N$ и $a$ направленными одинаково (оба положительных).

Что касается направления движения, то тут следует предостеречь от последных выводов. Ошибочно, например, утверждать, что ракета движлась вначале вверх ($a_1>0$), затем остановилась ($a_2=0$), стала движться ускоренно вниз ($a_3<0$) и, наконец, перешла в свободное падение ($a_4=-g$). На самом деле ракета могла двигаться и иначе, например все время вверх: ускоренно ($a_1>0$), с постоянной скоростью ($a_2=0$), замедленно ($a_3,4<0$). Ускорение, равное ускорению свободного падения, означает лишь, что равнодействующая всех действующих на ракету сил равна силы тяжесте; движется же она при этом может и вверх — с выключенным двигателем, если не учитывать сил сопротивления, или при такой его работе, когда эти силы полисъювывают силы тяжги. Все тела, находящиеся в ракете, в этом случае будут в состоянии невероятности, то есть их давление на опору и реакция последней будет равны нулю.

Все дело в том, что мы нашли лишь ускорение, а не скорость и не направление движения, о которых в условиях нашей задачи сказать, к сожалению, ничего неелья.

4. Шарик массы $m$, висящий на нити длиной $R$, obtодят в сторону до горизонтального положения и отпускают (рис. 13). Определить натяжение нити и ускорение шарика, когда нить оказывается под углом $\alpha$ к горизонту. Найти закон изменения сил натяжения нити, скорости и ускорения шарика в зависимости от угла $\alpha$. Силами сопротивления претенбреть.

Для решения воспользовемся тем же методом, что и раньше: расставим на рисунке силы, прикинем, какими могут быть направление и характер движения, выберем оси и, разложив по ним силы, запишем уравнение движения.

На шарик действуют две силы: сила тяжесте $P$ и сила натяжения нити $T$ (рис. 14). Движется он будет, оченьindo, по дуге радиуса $R$.

Одну из осей $(x)$ направим по касательной к траектории, вторую $(y)$ перепendlukулярно к ней — по радиусу. Разложив по ним силы, увидим, что вдоль оси $x$ действует сила $Pcos\alpha$, вдоль оси $y$ — сили $T$ и $Psin\alpha$.

Сила $Pcos\alpha$ вызывает так называемое тангенциальное, или касательное, ускорение $a_t$, измениющее скорость по величины.

56

$a_t$ является вектором, направленным как и $P \cos \alpha$ по касательной к траектории движения шарика (рис. 15).

Равнодействующая сил $T$, $P \sin \alpha$ сообщает шарику центростремительное (нормальное) ускорение, изменяющее скорость по направлению (рис. 16.).

Записав второй закон Ньютона, для движения вдоль осей $x$ и $y$ получим:

$$P \cos \alpha = m a_t,$$

$$T - P \sin \alpha = m a_n.$$

Из уравнения (1) сразу найдем тангенциальное ускорение $a_t$ и закон его изменения:

$$a_t = \frac{P \cos \alpha}{m} = \frac{mg \cos \alpha}{m} = g \cos \alpha.$$

Центростремительное ускорение, возникающее при всяком кривиленом движении, так же является вектором. Оно всегда направлено внутри траектории вдоль радиуса и вызывается алгебраической суммой радиальных проекций всех действующих на тело сил. Величина центростреминого ускорения, как известно, расчитывается по формуле $a_n = v^2 R$. $R$ известно, а скорость найдем, записав закон сохранения энергии:

$$m g h = \frac{m v^2}{2},$$

где $h = R \sin \alpha$ (рис. 17). Отсюда $v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 g R \sin \alpha}$ и $a_n = 2 g R \sin \alpha$. Скорость $v$ и центростремительное ускорение $a_n$ равны нулю в верхнем положении ($\sin \alpha = 0$) и максимальным в нижнем ($\alpha = 90^\circ$, $\sin \alpha = 1$).

Тангенциальное ускорение $a_t$, наоборот, имеет наиболее значение в начале движения вверху ($\cos \alpha = 1$) и равно нулю, когда нить вертикальная

57

(со $\alpha = 0$). После прохождения шариком самой нижней точки траектории $a_t$ становится отрицательным (со $\alpha < 0$). Она направлено против скорости (рис. 18) и уменьшает ее (это, кстати сказать,ясно и из закона сохранения энергии — $h$ в формуле (3) убивает).

Мы нашли величины скорости, тангенциального и центростремительного ускорения для произвольного угла $\alpha$, а также закон их изменения в зависимости от изменения этого угла. Известны и их направления для любого момента времени ($a_t$ и $v$ — по касательной, $a_n$ — по радиусу). Террь можно определить еще полное ускорение, равное векторной сумме тангенциального и центростремительного ускорения ($a_t + a_n$) (рис. 19).

Силу натяжения нити и закон ее изменения в зависимости от угла не трудно найти из уравнения (2): $T = P\sin\alpha + ma_n$.

Подставив сюда вместо $a_n$ найденное значение $2g \sin\alpha$, получим $T = P\sin\alpha + 2mg\sin\alpha$, или $T = 3P\sin\alpha$.

Натяжение нити максимальное, когда шарик проходит нижнее положение (sin$\alpha$ имеет наиболее значение, равное 1).

Попробуйте самостоятельно решить следующие задачи.

1. Расмотрите пример 2 для случая, когда сила $F$ направлена не вверх, а под углом $\beta = 45^\circ$ к наклонной плоскости (рис. 20) и равна: $15\, \text{к}$, $20\, \text{к}$, $30\, \text{к}$ (расчет проводится для всех трех случая).

2. Продолжить решение примера 4, определив, как при движении шарика меняются направления равноведействующей сил, приложенных к шарику, и полного ускорения.

3. Найти натяжение нити, ускорение и силу треня груза $m_2$ о наклонную плоскость (рис. 21) при коэффициенте треня $k_1 = 0,1$ и при $k_2 = 0,2$. Нить считать нерастражимой, массу блока и нити не учитывать.

4. Решить задачу, аналогичную третьей, но со следующими изменениями: вместо груза $m_2$ — два груза $m_2 = 2\, \text{к}$ и $m_3 = 5\, \text{к}$, связанные нитью (рис. 22); коэффициент треня для второго груза $k_2 = 0,1$, для третьего $k_3 = 0,05$. Дополнительно требуется определить натяжение нити между вторым и третьим грузами.

Рис. 20
Рис. 21
Рис. 22