Задачи М96—М100; Ф108—Ф112

33

ЗАДАЧИ

Решения задач из «Задачника Кванта» можно присылать не позже, чем через полтора места после выхода из печати соответствующего номера журнала. Решение каждой задачи должно быть написано на отдельном листе (листах); в конце каждой решения нужно указать фамилию, имя и отчество; шестизначный почтовый индекс, домашний адрес; класс и школа, в котором вы учитесь.

М96. Про пять положительных чисел известно, что если из суммы любых трех из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превыходит квадрата произведения данных пяты чисел.
С. Т. Берколайко

М97. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AB=a$ и $CD=b$ проведен отрезок $A_1B_1$, соединяющий середины диагоналей. В полученной трапеции $A_1B_1CD$ снова проведен отрезок $A_2B_2$, соединяющий середины диагоналей, и так далее (рис. 1). Можно ли в последовательности длин отрезков $AB, A_1B_1, A_2B_2, \dots$ какое-то число встретиться дважды? Будет ли эта последовательность монотонной (возрастющей или убывающей)? Стремится ли она к какому-нибудь пределу?
А. Л. Розенмаль

М98. Докажите, что в таблице

1
1 1 1
1 2 3 2 1
1 3 6 7 6 3 1

где каждое число равно сумме трех, стоящих над ним, в каждой строке (начиная с третьей) есть четное число. В каждой ли строке (кроме первых двух) встречается число, делящееся на три?

М99. В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ — наибольшая. Докажите, что для любой точки $M$ плоскости $AM+CM$ не меньше $BM$. В каких случаях возможно равенство?

Н. Б. Васильев

Рис. 1.

Рис. 2.

М100. Доказите, что сумма 45 чисел $tg 1^\circ + tg 5^\circ + tg 9^\circ + \dots + tg 173^\circ + tg 177^\circ$ равна 45.
В. П. Бешкарев

Ф108. Десять муравьев решили уташить со стола лежащую на нем соломинку. Как им нужно построить, если сила, с которой может уташить соломинку каждой из муравьев, несколько меньше $1/10$ силы трения, действующей на соломинку, когда она перемешается по столу? Поднять соломинку муравьем тоже не под силу.
Г. Л. Комкин

Ф109. В опьте было установлено, что температура 142 °C ледяной воды в легком состоянии, подвешенным посредине комнаты, поднялась на 4°С за полчаса. Когда же в сосуде находится льда, то на его тяние потребовалось 10 часов. Какова, исходя из этого эксперимента, удельная теплота плавления льда? Удельная тепломкость воды равна 1 кал/е.

Ф101. Если волтметр подключит паралельно верхнему сопротивлению $r_1$ (рис. 2), то он показет 6 $\theta$, если паралельно нижнему сопротивлению $r_2$, то 4 $\theta$, а если его подключит к точкам $A$ и $B$, то он показет 12 $\theta$. Каковы в действительности padения напряжения на сопротивлениях?

Ф111. Имеется однородный шнур со взрывчатым веществом. Скорость распространения реакции взрыва вдоль шнура равна $v$, скорость распространения взрывной волны по воздуху $c$. Найти форму линии, по которой нужно расположить шнур, чтобы волны от всех точек шнура пришли в заданную точку одновременно.

Можно ли сделать то же самое с поверхностью со взрывчатой и получить сходящую сферическую волну с большой плотностью энергии?

Ф112. Имеется стопка из $k$ плоскопаралельных пластинок, показатели преломления которых равны $n_1, n_2, \dots, n_k$. Толщина каждой пластинки $d$. Насколько сместится после прохождения стопки пластинок луч, падающий на пластинку с показателем преломления $n_1$ под углом $\alpha$ к поверхности пластинки?