Шахматно-математические заметки

55

Шахматы и математика имеют довольно много общих точек соприкосовения. В наших заметках речь пойдёт в основном математическах задачах на шахматной доске.

Перелистьвая книжки с таким привлекательными названиями, как «Математический калейдоскоп», «В мире тайн и чудес», «Весельые и занимаемые числа и фигуры», вы наверняка обратили внимание на то, что в каждой из них содержится немало задач о фигурах на шахматной доске.

Иного это головоломки, с которым справится любой сообщательный человек, чаще для этого необходимы определенный математический опыт и знания. Такие задачи можно найти не только в популярных книжках, они регулярно представятся в математических кружках, на олимпiadах, нередко встречаются и в серbezной математической литературе. Короче говоря, существуют множество математических задач, как простых, так и сложных, с различным шахматным содержанием.

Цель настоящих матеток как раз и состоит в том, чтобы попытаться в какой-то степени систематизировать эти задачи и хотя бы кратко рассказыть о наиболее интересных из них.

Мы надемемся, что вы знакомы с ходами шахматных фигур, хотя заранее предупреждаем, что особого умения играть в шахматы не потребуется.

Возможно, неокоторые из вас решат, что математики совсем сошли с ума и вместе того, чтобы заниматься делом, развлекаются, расставляя фигуры на доске (уж лучше бы игralи просто в шахматы!).

Однако труд математков в этом направлении имеет свой смысл. Дело в том, что для решения ряда важных математических задач шахматную доску и фигуры очень удобно использовать в качестве модели.

Не случайно шахматные термины можно встречать в литературе по теории игр, кибернетике, теории графов, комбинаторике, теории чисел, программирования.

Приведем один пример. Что обещало международным понятием «ладья» и чисто математическим «многочлен»? Тем не менее

56

amериканский математик Д. Риордан в своей книге «Введение в комбинаторный анализ» (М., ИЛ, 1963) как раз применяет термин «ладейный многочлен!» Чем это вызвано?

Оказывается, большой класс комбинаторовных задач сводится к определению числа размещений на шахматной доске заданного числа ладей, не угрожающих друг другу (ни одна пара ладей не должна находиться на одной вертикали или горизонтали). А при рассмотрении еще более сложных задач существную роль играет многочлен

$$R(x) = r_0 + r_1x + \dots + r_kx^k + \dots + r_nx^n,$$

где $r_k$ — число размещений на доске размена $n \times n$ не угрожающих друг другу $k$ ладей ($k=0, 1, 2, \dots$). Этот многочлен и был назван Риорданом ладейным; как мы видим, такое название вполне оправдано.

Заметим, что бездонное море задач и проблемы возникнет тогда, когда речь заходит о создании машины, игрушей в шахматы (а точнее, программы для нее).

Этот модной в нашей дни теме посвязываны десяти и сотни специальных статей, книг, дискусий и даже диссертаций, и мы не станем подробно оставаться на ней.

От персидского шаха до наших дней

Наш разговор естественное всего начасть с рассмотрения свойств шахматной доски, пока не рассставляя на ней фигур.

Конечно, каждый из вас слышал знаменитую легенду о проискхденини шахмат. Мудрец, придумавший их, потребовал в нагруду от персидского шаха, которое игра очень понравилась, столко зрен пшеницы, сколько понадбится для покрытия всех клеток шахматной доски, если на ее первую клетку положить одно зерно, а на каждую следующее ввое больше, чем на предыдущего (рис. 1).

Рис. 1.

Оказалось, что для этого не хватит пшеницы, хранящейся только в ambарах персидского шаха, но и во всех ambарах мира. Мудрец скромно потребовал

$$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{63} = 2^{64} - 1$$

зерен. Это число записьается двацатью цифрами и превышает 18 квинтиллюнов ($2^{10} = 1024 \approx 10^3$). Конечно, с математкой здесь необольшая связь, скорее, полученный результат как бы символьские иллюстрирует градинозные математические возможности, скрывающийся в шахматной доске.

Пожалуйста, самое любимое свойство шахматной доски заключится в том, что кратчайшее расстояние на ней изменяется не обязательно по прямой. Например, геометрические расстояние от поля а1 до поля h8 больше, чем до a8, а королю на любой из этих переходов требуетсяровно 7 ходов. Для математков, которые приходимся с самыми разнообразными расстояниями (метриками), это общное дело.

Особенно эффективно указывающее свойство проявляется в значении этого Рети (рис. 2).

Кажется, совершенно невероятным, что в этом положении белый король в состоянии догнать черную пшеницу.

Рис. 2. Р. Рети, 1921 г.
Ничья.

Однако это становится возможным, если он

58

потому необходимо по-kрытия не существует!
В некоторых задачах требуется так разрезать шахматную доску, чтобы при этом выполнялись определенные условия. Сейчас на таких задач мы не будем останавливаться.
Иногда вместе общих шахмат расматриются их различные видимизменения, связанные с преобразованием шахматной доски,

а)
b)
б)
в)

Прис. 5.
a) Цилиндрическая шахматная доска без вертикали с.
b) Торондальная шахматная доска.
в) Конусидальная шахматная доска получается приклеиванияем вертикали а к восмой горизонтали.

причем эти преобразования носят в полне математической характеристике. Чаще всего этим занимаются шахматные проблемы. В «Кванте» (см. № 5, 1970) уже расссказывалось о цилиндрических и торондальных шахматах. Любопытно рассмотреть цилиндрический доску, у которой вырезана одна вертикаль (рис. 5a). На такой доске слон ставится хамелеоном: превращается из белопольного в чернополльного и наоборот!
Разумеется, цилиндр и тор (рис. 5б) — далеко не единственные по-

верхности, которые можно склить из шахматной доски. Много хитростией имеются и конусидальные шахmatы (рис. 5в).

Легко привести примеры шахматных задач, которые решаются

Рис. 6. Мат в один ход.

на одной из упомянутых доскок и не решаются на других. Например, задание «мат в один ход» на рисунке 6 выгляит нелепым. Одноко на цилиндрической доске, получающей скленвание вертикальной а и h, оно выполимо: 1. h3—h4 мат! Поля b4 и b6 здесь держит конь, a6 и b5 — слон, на линию h черного короля не пускает его белый оппонент. Заметим, что при белой пешке на h2 мата уже нет, так как после 1. h2—h4 черные берут на проходе *): 1…a4:h3.

Одноко и на цилиндрической доске уда-

*) Взятие на прохождение — взятие непрятельской (скажем, черной) пешки, продвинувшейся из начального положения на два поля и ставшей рядом по горизонтали с белой пешкой. При этом пешка противника (черная) снимается так, как если бы она продвинулась на одно поле.

59

ется не все, что возможно на обычной. Например, чтобы заматовать королем и ладьей одинокого короля противника, его недостаочно прижать на линию a или h, требуется еще загнать его на первую или восьмуго горизонталь, а на цилиндрической доске это невозможно. На тороидальной доске, как нетрудно убедиться, с «гольым» королем противника не может справиться даже ферзь.

А вот еще один забавный пример (рис. 7). Здесь mat в два хода дается как на обычной, так и на цилиндрической доске, но на каждой из них по-своему.

Рис. 7. Мат в два хода.

На обычной доске все очень просто:

1. Ла5 : a6 Кpb1 — c1
2. Ла6—a1 мат.

На цилиндрической же после хода 1. Ла5 : a6 проигрывается ладьей виду ответа 1… h7 : a6! С другой стороны, если ладьей уйдет с a5, то черные продвинут вперед пешку a6, и мата нет. Решет 1. Ла5—a5!! — ладья проходит по окружности и возврашается на исходное поле!

Дальнейшее извесно: 1…Кpb1—c1—2. Ла5—a1 мат.

Предлагаем вам самим придумать аналогичные примеры на тороидальных и конусидальных досках.

Среди югославских шахматных проблем распространения так называемые проектные шахматы на бесконечной шахматной

Рис. 8. Сферическая шахматная доска. С дополнительного внешнего поля (красного), окружающего всего доску, можно войти на доску в любом месте и в любом направлении (по вертикали, горизонтали или диагонали). Например, ладья на пустой доске может одним ходом противника по всем полям (проход 7 раз через внешнее поле).

Доске с четырьмя дополнительными полями. На съынной доске с одним дополнительным полем получаются сферические шахматы (рис. 8). Однако подробное изучение шахматной игры на полученных досках не входит в наши планы.

В заключение этого раздела предлагаем вам несколько задач для самостоятельного решения, ответы к ним появляется в следующем номере.

1. Доказать, что стоклетоную доску размером 10×10 нельзя целиком и без наложений покрыть фигурами, образец которых приведен на рисунке 9.

Рис. 9. Рис. 10.

2. Объчная костяшка домино состоит из двух квадратов. Наозем «тримино» фигуру, составленную из трех квадратов (рис. 10). Если шахматную доску покрыть двацатью одним «тримино», то одно поле остается свободным. Каким оно может быть?

3. Из доски размером 8×9 вырезаны 12 полей (рис. 11). Доказать, что оставшуюся часть нельзя покрыть «тримино».

Рис. 11.

4. Пусть доска имеет нечетное число полей (например, ее размер 7×9). Поля с общей стороны наовем смежными. Поставим на каждое поле доски по пешке, затем соберем эти пешки и снова расставим их на доске.

a) Может ли теперь каждая пешка оказаться на поле, смежном с тем, которое она занимала при первой расставовке?

6. Пусть при вторичной расстановке пешки, занимающие равные левые углы, остались на месте, а пешки, стоявшие при первой расстановке рядом друг с другом, по-прежнему стоятят рядом. Могла ли какая-нибуд пешка изменить свое положение?