Задачи о шахматном турнире

25

Рис. 10.

С волчком Томсона можно провести интересный опыт. Если волчок запустить по поверхности, покрытой тонким слоем пудры, то пудра оставит на поверхности волчка след — траекторию точки касания волчка с плоскостью. Этот след показан на рисунке 10. Линия на волчке закручивается спиралью, но на экваторе шарика волчка она начинает раскручивать в обратную сторону. Почему это происходит? Закон сохранения момента количества движения требует, чтобы волчок врашался в одну и ту же сторону, как в исходном положении, так и в перевернутом. Пусть мы запустили волчок по часовой стрелке (если смотреть на него сверху). Если бы волчок перевернулся, не переставая врашаться вокруг своей оси, то в перевернутом состоянии он врашался бы уже против часовой стрелки. Поэтому, для того чтобы выполнялся закон сохранения момента количества движения, волчок в какой-то момент времени должен прекратить врашаться вокруг оси, прохождение через его ножку, а затем начать врашаться в обратную сторону. Судя по рисунку 10, это и происходит в тот момент, когда волчок лежит на боку.

Что касается расчетов размеров волчка, то он может быть любым, но таким, чтобы центр его масс не совпадал с геометрическим центром сферы, из которого он изготовлен.

ЗАДАЧИ
О ШАХМАТНОМ
ТУРНИРЕ

1. В турнире*) участвовало 8 шахматистов. Все они набрали разное число очков, причем второй призер набрали столкою же, сколько набрали все шахматисты, занявшие места с 5-го по 8-e. Как сыграми между собой шахматисты, занявшие 3-e и 5-e места?

2. В турнире играли два ученика 7-го класса и несколько учеников 8-го. Семиклассики набрали вместе 8 очков, а все восемиклассики набрали поровну. Сколько восемиклассиков могло участвовать в турнире?

3. В турнире участвовало n шахматистов — гроссейстеры и мастер. После окончания турнира оказалось, что каждый ученик набралировно половину своих очков в партии против мастеров. Доказать, что $\sqrt{n}$ — целое число.

4. Шахматист играет для тренировки не менее одной партии в день и, чтобы не переутомиться, не более 12 — в неделю. Доказать, что можно найти несколько последовательных дней, в течение которых он сыгаетровно 20 партий.

5. Каждый шахматист в турнире половину своих очков набрали во встречах с участниками, занявшими три последних места. Сколько человек участвовало в турнире?

6. Доказать, что по окончании турнира его участников можно переумеровать так, что окажется, что ни один участник не проигral следующего ему непредределенно за ним.

*) Мы предполагаем, что шахматисты играют друг с другом по одной партии, то есть турнир проводится в один круг.