Коротко об экспоненте

КОРОТКО ОБ ЭКСПОНЕНТЕ

Очень часто мы встречаемся с величины, изменения которых пропорциональны самим этим величинам. Например, изменение числа бактерии в колонии (в постоянных условиях) пропорционально их численности. Изменение атмосферного давления с высотой пропорционально величины давления. Число распадающихся в единицу времени atomов радиоактивного вещества пропорционально числу atomов в образце. Прирост населения на земле пропорционален численности населения и т. д. Математически все величины, которые изменяются подобным образом, выражаются функцией, которая обладает следующим важным свойством: тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс в каждой точке пропорционален значению функции в этой точке (см. рисунок).

Таким свойством обладает показательная функция $y=a^x$.

Важное значение имеет частный случай этой функции, когда $a=e$:

$$y=e^x.$$

Эта функция носит специальное название — экспонента.

Число $e$ — irrationalное число, равное 2,718…

Из всех показательных функций ее выделяет то, что тангенс угла наклона касательной к графику экспоненты в любой точке не пропорционален, а равен значению функции в этой точке. Для тех, кто знает, что такое произвольная, скажем еще и так: произвольная функция $e^x$ равна $e^x$. С экспонентой читательм нашего журнала придется встречаться очень часто.

Вот некоторые ее свойства:

1. $e^{x_1}+x_2=e^{x_1}e^{x_2}$.
2. Если $x_1<x_2$, то $e^{x_1}<e^{x_2}$.
3. При $x\ll1$ можно пользоваться приближенной формулой $e^x\approx1+x$.