Несколько задач по тригонометрии

65

6. При каких значениях $a$ система уравнения
   $$\begin{cases} x^2 - 4y^2 = 1 \\ ax + y = b \end{cases}$$
   имеет вещественные решения при любых значениях $b$?

7. В международном турире в Пальма де Мальорка участвовал 24 шахматиста. Для выполнения гроссейстерской нормы нужно было набрать не менее $14\frac{1}{2}$ очков. Сколько шахматистов могли бы выполнить эту норму? (В шахматных турирах выигравший получает одно очко; если партия заканчивается вничью, каждый из играших получает $\frac{1}{2}$ очка).

8. Решить уравнение
   $$\sqrt{45x^2 - 30x + 1} = 7 + 6x - 9x^2.$$
   (Рассматривают только неотрицательные значения радикала).

9. Все плоские углы трехгранного угла равны $\alpha$. Точка $M$ находится внутри угла на одном и том же расстоянии от всех его граней. Найти это расстояние, если расстояние от точки $M$ до вершины угла равно $d$.

10. Найти наименьшее значение выражения
    $$\frac{1 + x^4}{1 + x^2}.$$

ОТВЕТЫ НА КРОССВОРД (см. стр. 31)
По вертикали: 1. Вампир.
2. Нюанс. 3. Опера. 4. Углерод. 5. Кобер.
9. Сосна. 10. Весом. 12. Шкалище.
15. Крулье. 16. Потоп. 18. Тетка. 19. Нинни.

Неколько задач по тригонометрии

1. Дан треугольник $ABC$ со стороны $a, b, c$. Доказать, что

1. если $C = \frac{\sqrt{ab}}{a - \sqrt{ab} + b}$, то
   $$\frac{tg A}{tg B} = -\frac{a}{b} \sqrt{\frac{a}{b}}$$;
2. если $tg C, tg A, tg B$ образуют геометрическую прогрессию, то ее значение равно $b^2/c^2$, причем $A \leqslant \frac{\pi}{3}$;
3. если $tg \frac{C}{2}, tg \frac{A}{2}, tg \frac{B}{2}$ образуют геометрическую прогрессию, то ее значение равно $b/c$, причем $A \leqslant \frac{\pi}{3}$.

2. Пусть $tg \alpha, tg \beta, tg \gamma$ — корни уравнения $ax^3 + 3bx^2 + 3cx + d = 0$. Написать уравнение, имеющее корни $tg \alpha$ тg $(\beta + \gamma), tg \beta$ тg $(\alpha + \gamma), tg \gamma$ тg $(\alpha + \beta)$.
3. Пусть $\alpha + \beta + \gamma$ кратно $\pi$ и $x^2\sin r\alpha + y^2\sin r\beta + z^2\sin r\gamma$ образуется в нуль при $r = 1$ и $r = 2$. Доказать, что это выражение равно нуль при всех натуральных значениях $r$.
4. На сторонах $BC, CA, AB$ сферического треугольника $ABC$ откладывают равные длины $BA_1, CB_1, AC_1$. Доказать, что геометрическое место точек пересечения медиан треугольника $A_1B_1C_1$ является большим кругом.
   5 *. Пусть точки $A, B, C, D$ лежат на сфере, $P$ — отличная от них точка этой сферы и $\pi$ — плоскость, касающаяся сферы в точке $P$. Обозначим через $\alpha$ угол, образованный пересечением плоскостей $PAC$ и $PBC$ с плоскостью $\pi$, а через $\beta$ угол, образованный пересечением с плоскостью $PAD, PBD$. Доказать, что $|\alpha - \beta|$ не зависит от выбора точки $P$.

*) Это задача известного шахматства Э. Ласкера.