Решения задач М77—М83; Ф89—Ф91

39

Решения

В этом номере мы публикуем решения задач М77—М83

М77

Длины двух сторон треугольника равны 10 и 15. Доказите, что биссектриса угла между ними не больше 12.

Мы получили очень много разных решений этой задачи от читателей. Приведем только три.

I. Проведем $DE \parallel BC$ (рис. 1). Тогда треугольник $CDE$ — равноведенный, поэтому $CE=ED=x$, причем $x$ можно найти подобия треугольников $ABC$ и $ADE$:

$$\frac{15-x}{15} = \frac{x}{10}, \text{ поэтому } x=6 \text{ и } CD < CE + ED = 2x=12.$$

II. По свойству биссектрисы $BD/DA = BC/CA = \frac{2}{3}$. Проведем $BK \perp CD$ и $DL \perp CD$ до пересечения со стороной $AC$ (рис. 2). Тогда $AK=AC - KC=AC - BC=5$, а $KL/LA=BD/DA = \frac{2}{3}$, поэтому $KL=2$, и $CD < CL=12.$

III. (В двух статы «Метод плошадей» «Квант» №12, 1971, стр. 41). Пусть $\Rightarrow BCD = \Rightarrow ACD = \alpha$, тогда (рис. 3) $S_{\triangle ACD} + S_{\triangle BCD} = S_{\triangle ABC} \langle = \rangle al \sin \alpha + bl \sin \alpha = ab \sin 2\alpha,$

рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

40

позтому

$$l = \frac{2ab}{a+b} \cos \alpha = \frac{2 \cdot 10 \cdot 15}{25} \cos \alpha = 12 \cos \alpha < 12.$$

(Mногие пользовались и другими формулами для биссектрисы:

$$l^2 = ab - mn = ab - \frac{abc^2}{(a+b)^2} = \frac{4abp(p-c)}{(a+b)^2}.$$

Любим из этих способов можно доказать, что биссектриса $l$ треугольника, заключенная между сторонами $a$ и $b$, не превыходит $\frac{2ab}{a+b}$ (среднего гармоничского чисел $a$ и $b$). Эта оценка неулучшаема: для любого $l < \frac{2ab}{a+b}$ можно построить треугольник с сторонами $a$ и $b$ и биссектрисой $l$ между ними (убедитесь в этом!).

Попробуйте доказать следующее два утверждения, обобщшие задачу:

1. Если в треугольнике $ABC$, где $BC = a, AC = b$, точка $D$ делит сторону $AB$ в отношении $BD : DA = m : n$, то $\frac{|mb - na|}{m + n} < CD < \frac{mb + na}{m + n}$. (В нашей задаче $m : n = a : b$).

2. Если отрезок $CD$ делит угол $BCA$ в отношении $\Rightarrow BCD : \Rightarrow DCA = p : q$, то $CD < \frac{(p+q)ab}{pa + qb}$. (В нашей задаче $p : q = 1$; здесь для доказательства можно воспользоваться такой lemma: если $0 < \alpha < \beta < \pi$, то $\frac{\sin \alpha}{\alpha} > \frac{\sin \beta}{\beta}$).

M78

Докажите, что каждое целое неотрицательное число можно представить в виде $\frac{(x+y)^2 + 3x + y}{2}$, где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа, и что такое представление единственного.

Обозначим сумму $x+y$ через $s$ и перепишем данную формулу так:

$$n = \frac{(x+y)^2 + 3x + y}{2} = \frac{s^2 + s}{2} + s.$$ (1)

Условия, что $x$ и $y$ — целые числа, $x \geq 0$ и $y \geq 0$, эквивалентны таким: $x$ и $s$ — целые числа, $x \geq 0$, $s \geq x$. При заданном $s$ величина $x$ может принимать значения: $0, 1, \ldots, s$; соответствующего величина $n$, определяемая формулой (1), принимает значения: $\frac{s^2 + s}{2}$, $\frac{s^2 + s}{2} + 1$, $\ldots$, $\frac{s^2 + s}{2} + s$. Итак, каждому $s = 0, 1, 2, \ldots$, соответствует отрезок из $s+1$ целых неотрицательных чисел $n$. Заметим, что последнее число отрезка, соответствующего $s$, как раз на единицу меньше первого числа отрезка, соответствующего $s+1$:

$$\left( \frac{s^2 + s}{2} + s + 1 \right) = \frac{(s+1)^2 + (s+1)}{2}.$$

Позто му также отрезки будут содержать все целые неотрицательные числа $n$, причем каждое $n$ попадает только в один отрезок, то есть ему будет соответствоватьровно одна пара значений $s$ и $x$ (рис. 4).

Задча решения. Мы доказали, что формула (1) позволяет «занутеровать» все точки $(x, y)$ с целыми неотрицательными координатами числами $n=0, 1, 2, \ldots$. На рисунке 5 показано, как расположены эти номера по порядку.

Правильное решение прислада А. Абдулаев, М. Буханов, А. Грицорян, А. Заславский, М. Илларионов, Н. Корценко,

41

Л. Книжнерман, В. Лозинов, В. Кривицкий, Г. Макаров, А. Мартынов, М. Прегер, М. Перельмутер, М. Розов, В. Сервах, А. Слинкин, Э. Туркевич, А. Удальцов, В. Файтелевич, Г. Фильковский, А. Черняк, К. Шилов, И. Шарлинский. Некоторые из тех, кто доказывает утверждение задачи по индукции, заблики, что не всегда можно переходить от точки $(x, y)$ к $(x+1, y-1)$: если $y=0$, то нужно в качестве следующего за $(x, 0)$ точки брать $(0, x+1)$.

Э. Туркевич приводит в своей решении формулу, аналогичную (1), которая позволяет занумеровать наборы не из двух, а из $k$ целых неотрицательных чисел $(x_1, x_2, \dots, x_k)$:

$$n = C_{s_k}^{k+k-1} + C_{s_{k-1}}^{k-1} + k-2 + \dots + + C_{s_1}^{1},$$

где $s_i = x_1 + x_2 + \dots + x_i$,

$$C_p^q = \frac{p(p-1)\dots(p-q+1)}{1\cdot2\cdot\dots\cdot q}.$$

Например, для $k=3$ получается формула

$$n = \frac{s_3(s_3+1)(s_3+2)}{6} + \frac{s_2(s_2+1)}{2} + s_1 = \frac{1}{6}[(x_1+x_2+x_3)^3 + 3(x_1+x_2+x_3)^2 + 3(x_1+x_2)^2 + 11x_1 + 5x_2 + 2x_3].$$

Попробуйте обобщить задачу в другом направлении: найти формулу, которая устанавливает соответствие между всеми точками $(x, y)$ на плоскости с целочисленными координатами и всеми целыми (или целыми неотрицательными) числам $n$. Можно ли также формула записывать многочлен второй степени $n=f(x, y)$, как формула (1)?

M79

Две точки $P$ и $Q$ движутся по двум пересекающим прямым с одинаковой постоянной скоростью $v$. Докажите, что на плоскости существует такая неподвижная точка $A$, расстояния от которой до точки $P$ и $Q$ в любой момент времени равны.

Пусть $O$ — точка пересечения данных прямых; $P_0$ и $Q_0$ — положения точки в тот момент времени $t_0$, когда они находятся на одинаковом расстоянии от точки $O$ ($t_0$ находитсяровно посередине между моментами времени, когда одна и другая точки проходят через точку $O$); $A$ — точка пересечения перpendикularов к данным прямым, восставленных соответственно в точках $P_0$ и $Q_0$.

Рис. 6.

Докажем, что точка $A$ — та самая неподвижная точка, существование которой утверждается в условия.

Частный случай, когда точки $P_0, Q_0$ (и $A$) совпадают с $O$, оченьлен. В общем случае (рис. 6) ясно, что треугольники $AP_0O$ и $AQ_0O$ равны, поэтому $AP_0=AQ_0$. Пусть $P$ и $Q$ — положения точки в произвольный момент времени $t$ (отличный от $t_0$). Тогда $PP_0=QQ_0$ (точки движутся с одинаковой скоростью), треугольники $PP_0A$ и $QQ_0A$ равны по двум катетам, следовательно, $AP=AQ$.

Из нашей решения видно, что на самом деле верно более сильное утверждение, чем равенство расстояний от точки $A$ до соответствующих друг друга точек $P$ и $Q$: если повернуть одну из данных прямых вокруг точки $A$ (на угол $P_0AQ_0$) так, чтобы она совпала с другой, то в любой момент времени точка $P$ совпадает с соответствующей точкой $Q$.

M80

В таблице $m \times n$ рассматривается произвольные числа. Разрешается одновременное изменение знак у всех чисел какого-то одного столбца или у всех чисел какой-то одной строки. Докажите, что, повторив такую операцию несколько раз, можно получить таблицу, у которой чисел в любом столбце и сумма чисел в любой строке будут неотрицательны.

Будем менять знаки у строк или столбцов, в которых изменении знаков общая сумма чисел в таблице увеличивается. Следовательно, одна и другой точки проходят через точку $O$; $A$ — точка пересечения перpendикularов к данным прямым, восставленных соответственно в точках $P_0$ и $Q_0$.

42

чисел в каждой строке и в каждой стольце неотрицательна.

Можно доказать, что на самом деле для таблицы $m \times n$ всегда можно обойти не более чем $\frac{m+n}{2}$ операциями.

Правильные решения присланы: В. Копылов, Е. Родионов, И. Иванове, М. Иларионов, В. Кривицкий, А. Жумадильдаев, А. Черняк, А. Волберег, Н. Корниенко, Э. Туркевич.

M81

Внутри квадрата $A_1A_2A_3A_4$ взята произвольная точка $P$. Из вершины $A_1$ опущен перепendlukуляр на прямую $A_2P$, а из вершины $A_2$—на $A_3P$, из $A_3$—на $A_4$—на $A_1P$. Доказите, что все четыре перепendlukуляра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Повернем квадрат (рис. 7) вокруг его центра на $90^\circ$ так, чтобы вершина $A_2$ перешла в $A_1$, $A_3$—в $A_2$, $A_4$—в $A_3$ и $A_4$. Тогда каждая из прямых $A_2P$, $A_3P$, $A_4P$, $A_1P$ перейдет в соответствующий перепendlukуляр (ведь она повернется на $90^\circ$!), поэтому, что все четыре перепendlukулярарой будет через одну точку $P'$, в которой переходит при повороте точка $P$.

M82

На колъевой автоматический дороге стоит несколько одинаковых автоматических. Известно что если бы весь бензин, имеющийся в этих автоматических, слили в одну, то эта машина

Diagram

Рис. 7.

M83

Докажите, что числа 1, 2,…, $n$ ни при каком $n$ нельзя разить на две группы так, чтобы произведение чисел в одной группе равнаяность произведение чисел в другой.

Как заметили многое читатели, утверждение задачи следует из такой теоремы: для $n$

) Е. Б. Дынкин, С. А. Молчанов, А. Л. Розенталь., Математические современники. Арифметика и алгебра, «Наука», дополнительная серия «Библиотечки физико-математической школи» вып. 3, 1970.

43

Любого $x > 1$ между $x$ и $2x$ содержится хотя бы одно простое число. О первом доказательстве этой теоремы («поступата Бертрана»), полученным П. Л. Чебышевым, рассказывалось в «Кванте» № 5, 1970.

Возьемем простое $p$ такое, что $\frac{n}{2} < p < n$. Оно может войти лишь в одну группу чисел, а «уравновесить» его нечем, поскольку $2p > n$. Теперubyтвердение задачи следует из теоремы об единственности разложения на простые множители.

Решений, не использующих простат Бертрана, мы не получили.

Н. В. Васильев

В этом номере мы публикуем решения задач Ф89—Ф91

Ф89

Напряженное электрическое поля в электромагнитной волне частоты $\omega = 2 \cdot 10^{16} \text{сек}^{-1}$, модированной по амплитуде с частотой $\Omega = 2 \cdot 10^{15} \text{сек}^{-1}$, меняется со временем по закону $E = a (1 + \cos \Omega t)$ cos $\omega t$, где $a$ — постоянная. Определить энергию электровов, выбиваемых этой волной из атомов газообразного водорода с энергейнойонизацией $W = 13,5 \text{яб}$.

Атом поглощает монохроматический свет частоты $\omega$ порциями (квантами) энергии, равными $\hbar \omega$, где $\hbar = 1,05 \cdot 10^{-27} \text{эрэ} \cdot \text{сек}$ — постоянная Планка, деленная на $2\pi$.

Так как $E = a (1 + \cos \Omega t)$ cos $\omega t = a \cos \omega t + \frac{1}{2} a \cos [(\omega - \Omega) t] + \frac{1}{2} a \cos [(\omega + \Omega) t]$, то наша модированная по амплитуде волна представляется собой сумму трех monохроматических волн с частотами $\omega$, $\omega_1 = \omega - \Omega$ и $\omega_2 = \omega + \Omega$. Кванты энергии, соответствующие этим волнам, соответствуют равны

$$W_1 = \hbar \omega = 1,05 \cdot 10^{-27} \cdot 2 \cdot 10^{16} = 2,1 \cdot 10^{-11} \text{эрэ},$$
$$W_2 = \hbar \omega_1 = 1,05 \cdot 10^{-27} \cdot 1,8 \cdot 10^{16} = 1,89 \times 10^{-11} \text{эрэ},$$
$$W_3 = \hbar \omega_2 = 1,05 \cdot 10^{-27} \cdot 2,2 \cdot 10^{16} = 2,31 \cdot 10^{-11} \text{эрэ}.$$

В то же время энергия номизации атома водорода составляет

$$W = 13,5 \text{яб} = 13,5 \cdot 1,6 \cdot 10^{-12} \text{эрэ} = 2,16 \times 10^{-11} \text{эрэ}.$$

Эта энергия больше $W_1$ и $W_2$. Поэтому первая и вторая волны не могут изменять атом водорода. Это может сделать только третья волна. Энергия выбитых его из атомов водорода электровов $W_9$ будет равна значении $W_9 - W = 1,5 \times 10^{-12} \text{эрэ}.$

Правильное решение прислала $T$. Рос-мозуева (Коканд Узбескской СССР).

Ф90

Idealный газ массы $m$, находящийся при температуре $T$, охлаждается изохорическая так, что давление падает в $n$ раз. Затем газ расширяется при постоянном давлении. В конечном состоянии его температура равна первоначальной. Определить произведенную газом работу. Молекулярный вес газа $\mu$.

Диаграмма процесса показана на рисунке 8. Работа, произведенная газом, равна $A = p_2 (V_2 - V_1)$. Так как точки 1 и 3 лежат на одной изотерме, то $p_1 V_1 = p_2 V_2$ и $V_2 = V_1 \frac{p_1}{p_2}$.

Позному

$$A = p_2 V_1 \left( \frac{p_2}{p_1} - 1 \right) = \frac{1}{n} p_1 V_1 (n - 1).$$

Но $p_1 V_1 = \frac{m}{\mu} RT$, следовательно,

$$A = \frac{m}{\mu} RT \left( \frac{n - 1}{n} \right).$$

Эта задача оказывается легкой и ее правильное решение прислала более 70 читателей нашего журнала.

Рис. 8.

Для питания прибора напряжение на его входе нужно установливать как можно точнее. Для этого используются два реостата, соединенных так, как показано на рисунке 9. Длины реостатов одинаковы, а сопротивление одного из них в 10 раз больше сопротивления другого. Как поступить, чтобы установить напряжение как можно точнее? Во сколько раз точность установки напряжения будет больше, чем в том случае, когда используется лишь одиночест?

Как следует включить реостаты, если для питания прибора нужно установливать как можно точнее не напряжение, а ток?

Реостат $R_1$ слабо влияет на напряжение на приборе. Поэтому ясно, что сначала надо установить напряжение на приборе с помощью сопротивления $R_2$ и затем подправить его реостатом $R_1$.

Действительно, если длина реостата равна $l$, а нечность при установки реостата составляет $\Delta l$, то нечность в сопротивлении реостата $R_2$ равна $\Delta l \frac{R_2}{l} = \frac{\Delta l}{l} R_2$, а нечность

Рис. 9.

Рис. 10.

ность в установленке сопротивления реостата $R_1$ равна $\frac{\Delta l}{l} R_1 = \frac{1}{10} \frac{\Delta l}{l} R_2$, то есть в 10 раз меньше нечности установки сопротивления реостата $R_2$. Поэтому при той тактике, о которой мы говорили, сопротивление реостатов удасся подобрать в 10 раз точнее, чем при использовании только одного сопротивления $R_2$. Во столько же раз точнее будет установлено и padение напряжения на реостатах, и padение напряжения на приборе.

Так как заранее не оченьindo, в какую сторону мы ошибемся, установливая сопротивление $R_2$, то есть что нам придется делать с помощью реостата $R_1$ — увеличивать или уменьшать сопротивление, то перед установкой реостата $R_2$ движок реостата $R_1$ нужно установить последние реостата.

Если нам нужно установить как можно точнее не напряжение на приборе, а ток, идущий через него, то в этом случае реостаты должны быть включены параллельно прибору как шунт, причем основным в этом случае будет реостат с меньшим сопротивлением: именно через него будет идти наиболее точок.

Второй реостат с большим сопротивлением нужно включить параллельно персиму (рис. 10) и ток установки так: вначала установить движок реостата $R_2$ посление, затем установить ток с помощью реостата $R_1$ и подправить его с помощью реостата $R_2$.

Так как ток, идущий через реостат, равен $I = \frac{U}{R}$, то при нечности установки сопротивления реостата $\Delta R$ нечность в установленке точки равна $\Delta I = \frac{U}{R} - \frac{U}{R + \Delta R} = \frac{U}{R(R + \Delta R)} \approx \frac{U}{R^2} \Delta R$.

Используя сопротивление $R_1$, мы получим нечность установки точки станет равной $\frac{U}{R_2} \frac{\Delta l}{l} = \frac{1}{10} \frac{U}{R_1} \frac{\Delta l}{l}$, то есть будет в 10 раз меньше, чем при использовании только реостата $R_1$.

Правильное решение прислали А. Александров (Глазов, УАССР), В. Ковалев (Коммунарск Ворошиловградской обл.), А. Демидов (Москва), Н. Федин (Омск).

И. Ш. Словодечкий

В 1972 году на страницах «Кванта» будет продолжена публикация материалов под руководой «Практику абитриента». Поступление в редакцию письма показывает, что этот раздел вызывает живой интерес у многих читателей журнала. Мы благодарны всем, кто высказал нам свои замечания и предложения.

Конечно, нет никакой возможности осветь все вопросы, входящие в программу вступительных экзаменов по математике и физике. Да в этом и нет необходимости — эти вопросы изучаются в школе и подробно рассмотрены в школьных учебниках. Поэтому редакция нашего лышь также темы, которые в том или ином виде наболее часто используются при решении конкурсных задач и вызывают затруднения у поступающих.

Мы предложаем, например, расссказать о задачах на комбинации пространственных тел, о требованиях, предъявляемых к математическому определению, о решении задачи по стереометрии и разумном использовании чертежа в геометрических задачах. По физике будет опубликованы статьи, касающиеся таких вопросов, как закон сохранения импульса, решение задачи на телловые процессы, законы тока и другие.

Рассмотренные теоретических вопросов в этих статьях сопровождается разбором конкретных примеров, взятых, как правило, из вариантов вступительных экзаменовных работ. В конце каждой статьи будет помещены задачи для самостоятельного решения, помогающие читателям проверить, насколько они успешили прочитанное. Эти задачи, в основном, также берутся из вариантов вступительных экзаменов последних лет.

Учитывая многочисленные пожелания читателей, в порядке информиции мы будем продолжать помещать также варианты задач, предлагавших на письменных экзаменах в различныхузах страны в 1971 году. Знакомство с этим материалами позволяет будут абитриентам конкретно представить себе, что такое письменный примерный экзамен, заранее попробовать свои силы в решении набора задач за ограниченное время (обычно 4 часа). Например, можно рекомендовать будут абитриентам страницы себе самостоятельную «экзамен», решая за 4 часа весь вариант и записьвая его. Такая тренировка, максимальное приближение к условиям экзамена, оказывается особенно результативной. Отметим только, что присутствать к ней надо, достаточно хорошо изучив теоретические разделы.

47

2. Решить уравнение
   $$\sqrt{5x-6} = x.$$
   ОДЗ: $x \geqslant \frac{6}{5}$. При таких значениях $x$ обе части уравнения неотрицательны. Поэтому по теореме 2 (в качестве множества $M$ возьмем ОДЗ) решениями данного уравнения служат лишь те корни уравнения $5x-6 = x^2$, которые лежат в ОДЗ. Так как корни $x_1=2, x_2=3$ этого квадратного уравнения удовлетворяют неравенству $x \geqslant \frac{6}{5}$, то оба они являются корнями исходного уравнения. И в данной случае проверка полученных значений подстановкой в исходное уравнение не нужна.

3. Решить уравнение
   $$\sqrt{x^2-3} = \sqrt{x-1}.$$
   ОДЗ определяется системой неравенств
   $$\begin{cases} x^2-3 \geqslant 0, \\ x-1 \geqslant 0, \end{cases}$$
   откуда $x \geqslant \sqrt{3}$. Возвода обе части уравнения в квадрат и полузусь формулими преобразования радикалов, приходим к квадратному уравнению $x^2-x-2=0$, откуда $x_1=2, x_2=-1$. Одз определяет лишь значение $x_1=2$; оно и является единственным корнем исходного уравнения.

4. Решить уравнение
   $$\sqrt{x+1} = 8-\sqrt{3x+1}.$$ (1)
   ОДЗ: $x \geqslant -\frac{1}{3}$. Левая часть этого уравнения положительная (в ОДЗ), но права часть может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому не стоит торопиться возводить обе части уравнения в квадрат — в результате могут появиться построение корни.

Это легко избежать — достаточно переписать уравнение (1) в виде
$$\sqrt{x+1}+\sqrt{3x+1} = 8.$$
Здесь обе части уже неотрицательны, и возведение в квадрат не приведет к появлению построенных решений. Задча, таким образом, совпадая к нахождению принадлежих ОДЗ корней уравнения
$$\sqrt{3x^2+4x+1} = 31-2x.$$ (2)

Нам снова предстоит возвести обе части этого уравнения в квадрат, и снова перед нами та же опасность — могут появиться построение решения (правая часть уравнения (2) принимает в ОДЗ значения разных значков).

Одно заметим, что ни одно значение $x$, при котором $31-2x < 0$, не может служить корнем уравнения (2) (начие положительное число оказывается бы равным отрицательному!). Иначе говоря, все корни уравнения (2) удовлетворяют неравенству $x \leqslant 31/2$; нас же интересуют лишь те корни, для которых выполнен условие $x \geqslant -1/3$.

Следовательно, надо искать решения уравнения (2), принадлежшие промежутку $-\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant 31/2$. На основании теоремы 2 мы можем быть уверены, что на этом промежутке уравнение (2) равносильно уравнению
$$3x^2+4x+1 = (31-2x)^2.$$
Лишь один корень $x=8$ получшего квадратного уравнения удовлетворяет условию $-\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant 31/2$; он и служит решения уравнения (1). Проверка подстановкой, очевидно, не нужна.

5. Решить уравнение
   $$\sqrt{x^2+x-5}+\sqrt{x^2+8x-4} = 5.$$ (3)
   ОДЗ определяется как решение системы неравенств
   $$\begin{cases} x^2+x-5 \geqslant 0, \\ x^2+8x-4 \geqslant 0. \end{cases}$$
   Мы, одnakо, можем не решать эту систему, но запомним, что любой корень уравнения (3) должен удовлетворять общим неравенствам (4).

Конечно, все условия теоремы 2 выполнены — можно возводить уравнение (3) в квадрат, не опасясь появления построенных решений. Но увы! В данной стране эта операция

48

нецелесообразна. Возведите обе части уравнения (3) в квадрат — и вы увидите, какое сложное уравнение получится.

Гораздо удобнее поступить так: перепишем уравнение (3) в виде

$$\sqrt{x^2+x-5} = 5 - \sqrt{x^2+8x-4}$$

и обе его части возведем в квадрат. Конечно, теперь теорема 2 не применима, и это преобразование может привести к появлению построенных корней. Поэтому необходимо будем сделать проверку — она отсеет построение решения (если они появятся).

Итак, возведем обе части уравнения (5) в квадрат; получим

$$10\sqrt{x^2+8x-4} = 7x + 26.$$

К этому уравнению применим еще раз те же операции. Но предварительно отметим, что все его корни должны удовлетворять условию $7x+26 \geq 0$, то есть $x \geq -26/7$.

В результате мы приходим к уравнению

$$51x^2+436x-1076 = 0,$$

откуда $x_1=2, x_2=-\frac{538}{51}$. Заметим, что $x_2 < -\frac{26}{7}$, остается проверить значение $x_1=2$ прямой подстановкой в исходное уравнение (3). Оказывается, что оно является корнем уравнения (3).

Обратите внимание: в ходе решения нам так и не потребовалось решать систему неравенств (4), описывающего ОДЗ исходного уравнения.

Введение вспомогательных неизвестных

Удачно введенные вспомогательные неизвестные иогда позволяют получить решение быстрее и проще.

6. Решить уравнение

$$(x+5)(x-2)+3\sqrt{x(x+3)}=0.$$

Перепишем уравнение так:

$$x^2+3x-10+3\sqrt{x^2+3x}=0.$$

Видно, что если вспомогательное неизвестное $y=\sqrt{x^2+3x}$, то уравнение примет вид $y^2+3y-10=0$, откуда $y_1=-5, y_2=2$.

Теперь задача сводится к решению уравнения $\sqrt{x^2+3} = -5$ и уравнения $\sqrt{x^2+3x} = 2$. Первое из этих уравнений решений не имеет, а из второго получаем $x_1=-4, x_2=1$.

7. Решить уравнение

$$\sqrt{47-2x}+\sqrt{35+2x}=4.$$

Возведение обеих частей этого уравнения вчетвертую степень не обещает ничего хорошего. Если же положить

$$y=\sqrt{47-2x}, z=\sqrt{35+2x},$$

то уравнение (6) переписывается так:

$$y+z=4.$$

Поскольку мы ввели две новые неизвестные функции, надо найти еще одно уравнение, связывающее $y$ и $z$. Для этого возведем равенства (7) вчетвертую степень и заметим, что $y^4+z^4=82$.

Итак, надо решить систему уравнений

$$\begin{cases} y+z=4, \\ y^4+z^4=82; \end{cases}$$

она имеет два (действительных) решения: $y_1=1, z_1=3; y_2=3, z_2=1$. Остается решить систему (двух уравнений с одним неизвестным!)

$$\begin{cases} \sqrt{47-2x}=3, \\ \sqrt{35+2x}=1 \end{cases}$$

и системы

$$\begin{cases} \sqrt{47-2x}=1, \\ \sqrt{35+2x}=3; \end{cases}$$

первая из них дает $x_1=-17$, вторая дает $x_2=23$.

Умножение обеих частей уравнения на функцию

Иогда irrationalное уравнение удается решить довольно быстро, если обе его части умножить на удално подбранную функцию. Конечно, при умножении обеих частей уравнения на некоторую функцию могут появиться построение решения, или могут оказаться нулей этой

49

функции*). Поэтому предлагаем метод требует обязательного исследования получающихся значений.

8. Решить уравнение
   $$\frac{1}{4} x = (\sqrt{1+x} - 1)(\sqrt{1-x} + 1).$$
   (8)

Умножим обе части уравнения на одну и ту же функцию $h(x) = \sqrt{1+x} + 1$. Выражение $\sqrt{1+x} + 1$ называется сопряженным для выражения $\sqrt{1+x} - 1$. Цель такого умножения, думается, ясна: использувать тот факт, что произведение двух сопряженных выражений уже не содержит радикалов.

В результате этого умножения и оченьных преобразований приходим к уравнению

$$x(\sqrt{1+x} - 4\sqrt{1-x} - 3) = 0.$$

Оно имеет единственный корень $x=0$, так как уравнение $\sqrt{1+x} - 4\sqrt{1-x} - 3 = 0$ решений не имеет (проверьте это!).

Подстановка в уравнение (8) показывает, что $x=0$—корень. В прочеем, можно обойтись и без подстановки: уравнение $h(x)$игде в нуль не обращается, и поэтому умножение обихачея уравнения (8) на эту функцию не приводит к появлению построенных решений.

9. Решить уравнение
   $$\sqrt{2x^2+3x+5} + \sqrt{2x^2-3x+5} = 3x.$$ (9)

Умножим обе части уравнения на выражение
$$\sqrt{2x^2+3x+5} - \sqrt{2x^2-3x+5},$$
сопряжение для выражения, стоящего в левой части. После оценных преобразований получим

$$x(\sqrt{2x^2+3x+5} - \sqrt{2x^2-3x+5}) = 2x.$$

*) См. «Квант» № 5, 1970, стр. 49—50.

Это уравнение имеет корень $x=0$, однако исходному уравнению (9) это значение не удовлетворяет. Поэтому можно считать, что $x \neq 0$, и сокращить обе части последнего уравнения на $x$:

$$\sqrt{2x^2+3x+5} - \sqrt{2x^2-3x+5} = 2.$$ (10)

Складывая уравнение (9) и (10), получим уравнение.

$$2\sqrt{2x^2+3x+5} = 2 + 3x,$$

решение которого не представляется затрудней. Она имеет корень $x=4$ (убедитесь в этом!).

Проверка, обязательная в данном случае, показывает, что это значение удовлетворяет уравнению (9).

Упражнения

Решить уравнения:

1. $$\sqrt{25-x} = 2 - \sqrt{9+x}.$$
2. $$\sqrt{x+2} - \sqrt{3x+2} = 0.$$
3. $$\frac{\sqrt{12+x}}{x} + \frac{\sqrt{12+x}}{12} = \frac{64}{3}\sqrt{x}.$$
4. $$\frac{(5-x)\sqrt{5-x} + (x-3)\sqrt{x-3}}{\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3}} = 2.$$
5. $$\sqrt{x-2} + \sqrt{x+2} = 2.$$
6. $$\frac{\sqrt{x+4} + \sqrt{x-4}}{2} = x + \sqrt{x^2-16} - 6.$$
7. $$\sqrt{3\sqrt{4-4x+x^2}} + \sqrt{3\sqrt{49+14x+x^2}} = 3 + \sqrt{3\sqrt{14-5x-x^2}}.$$
8. (МГУ, физик, 1968.) Для каждой деятельностиного числа $a$ найти все действительные решения уравнения $x + \sqrt{x} = a$.
9. (МГУ, физик, 1968.) Для каждой деятельностиного числа $a$ найти все действительные решения уравнения $a\sqrt{1+x} + \frac{a}{x}\sqrt{1+x} = \sqrt{x}$.