20
Г. Д. Балк, М. Б. Балк
И специальностью математике, и школьнику приходит встреча с математическим предложениями, в истинности которых он сомневается. Иного требуется «доказать или опровергнуть» какое-либо утверждение или из нескольких предложений ответов к задаче выбрать единственный правильный.
Если доказательство утверждения упрается в громоздкие выкладки, то часто бывают полезно не начинать с попыток доказательства, а постановясь отдельное отчет, насолько данная гипотеза праводополна, не приводит ли она к явно ошибным или комнентельным выводам.
Остановимся на некоторых примах такого рода «проверки на праводополнение»*).
Так говорил Брамагупта …
Обобщая известную формулу Герона для площин треугольника, индиейский математик и астроном Брамагупта (VII век н. э.) высказал утверждение, которое можно в принятиях сейчас обозначения формулировать так:
*) В основу статьи положена степограмма занятия математico-механического кружка IX класса шклы № 7 г. Смоленска (17 января 1971 г.).
площадь S любого четырехугольника (рис. 1) выражается через его стороны a, b, c, d по формуле
здеся p, как обычно, — получиметр четырехугольника:
Верно ли утверждение Брамагупты?
Прежде чем ринутся доказывать это утверждение (если оно верно, то доказательство будет, верятно, веса громоздким), имеет смысл использовать его на праводополнение. Применим простейший примем: проверку на частих случаев.
Рассмотрим случай, когда данные четырехугольник — квадрат; произвольный прямогольник; ромб, отличный от квадрата.
В первых двух случаях формула (1) приводит к правильному результату, в третьем — приводит к ошибке: по формуле , хотя ясно, что в этом случае .
Следовательно, утверждение Брамагупты ошибочно.
Заметим, попутно, что эта неудача не должна заставить нас найти отказаться от