Вычисления, ошибки, контроль

Квант 1973, №2 с. 11-16 Тег KYHH

Вычисления, ошибки, контроль
Н. Б. Демидович

Ошибки наблюдения
Считать точно не всегда означает считать правильно. Расстояние для примера следующего задачу.
Сторона квадратного участка земли равна 1,4 м. Чему равен его полуперimetр p и площадь S (рис. 1)?
Решение направляется само собой: $p = 1,4 + 1,4 = 2,8$ ( $m$ ), $S = 1,4 \times 1,4 = 1,96$ ( $m^2$ ). Но насколько точен этот ответ? Абсолютно точен, если длина стороны участка задана точно. А если она не задана, а, например, измерена дециметровой мерной лентой? Тогда естественно предположить, что 1,4 м — это деление ленты, близкий к истинной длине измеренной стороны участка. Отсюда ясно лишь, что точная длина отлачается от 1,4 м не более чем на 0,05 м, то есть абсолотная велична ошибки наблюдения (она называется абсолотом-

Рис. 1.

ной порезинострой измеряемой величины x и обозначается $\Delta_x$ ) не превыходит 0,05 м.

Возникает практический важный вопрос: с какой точностью при указанных предосыdkах можно определить площадь? Этим и подобными ему вопросами занимается специальный раздел математики — теория приближенных вычислений. Продемонстрируем на данной задаче ее методы.

Пусть истинная длина стороны (далее все длины измеряются в метрах) равна 1,4 + $\alpha$ , где $|\alpha| \leq 0,05$ , то есть $0,5 \leq \alpha \leq 0,05$ . Тогда полуперimetр участка равен $p = (1,4 + \alpha) + (1,4 + \alpha) = 2,8 + 2\alpha$ .

Абсолютная погрешность $\Delta_p$ значения полуперimetра 2,8 не превыходит $2 \times 0,05 = 0,1$ , то есть $2,7 = 2,8 - 0,1 \leq p \leq 2,8 + 0,1 = 2,9$ .

Легко проверяемая формула
$\left|(x_{\text{прибл.}} \pm y_{\text{прибл.}})\right| \leq \Delta_x + \Delta_y$

показывает, что при сложении и вычитании чисел их абсолотные погрешности складываются.

При умножении чисел удобнее дело с относительной погрешностью. Относимый погрешность $\Delta_x$ числа x называется относение абсолотной погрешности $\Delta_x$ к абсолотной величне числа x: $\varepsilon_x = \frac{\Delta_x}{x_{\text{точн}}}$ . Поскольку $x_{\text{точн}}$ мы

не знаем, можно $\varepsilon'_x$ заменить на $\varepsilon_x$ , где $\varepsilon_x = \frac{\Delta_x}{x_{\text{прибл}}}$ . В данном примере $\varepsilon_x = \frac{0,05}{1,4} \approx 0,036 = 3,6\%$ .

Заменяя значения $\varepsilon'_x = \frac{\Delta_x}{x_{\text{точн}}}$ на $\varepsilon_x = \frac{\Delta_x}{x_{\text{прибл}}}$ , мы, конечно, допускаем некоторую погрешность, но обычно она настолько мала, что его всегда пренебрегают.

При умножении и делении чисел произходит сложение их относительной погрешности. Доказательство этого утверждения мы оставляем читателю, затем только, что надо оценить числа

$\varepsilon_{xy} = \left| \frac{(x + \alpha)(y + \beta) - xy}{xy} \right|$

$\varepsilon_{\frac{x}{y}} = \left| \frac{\frac{x + \alpha}{y + \beta} - \frac{x}{y}}{\frac{x}{y}} \right|.$

Тепер вернемся к нашей задаче. Площадь участка получается как произведение длины сторонон, поэтому ее относительная погрешность имеет порядок 7,2%. Приемые вычисления дают

$S = (1,4 + \alpha)^2 = 1,96 + 2,8\alpha + \alpha^2.$

Здесь 1,96 — наш первоначальный ответ, а два других слагаемых — его отклонения от точного ответа. Оценим абсолотную погрешность результата:

$\Delta_S \leq |2,8\alpha + \alpha^2| \leq |2,8\alpha| + \alpha^2 \leq |2,8 \cdot 0,05| + |0,05|^2 = 0,1425 < 0,15.$

Значит, площадь $S$ лежит в пределах

$1,81 = 1,96 - 0,15 < S < 1,96 + 0,15 = 2,11.$

Посления формула наглядно показывает, что в первоначальном ответе 1,96, содержащем два знака последной, может не оказаться ни одной верной цифры.

Так теория приближенных вычислений избавляет нас от иллюзии, будто больше число точно вычисленных цифр всегда обеспечивает соответствующее точность самого результата. Более того, она дает ответ, как точность результата зависит от точности исходных данных, их количества и вида действия, производимых над ними.

Округление чисел

В исходном примере мы решили, что число 1,4 м получилось при изменении дециметровой мерной лентой и потому погрешность изменения не превышает 7,2%. Приемые вычисления дают

$S = (1,4 + \alpha)^2 = 1,96 + 2,8\alpha + \alpha^2.$

$\Delta_S \leq |2,8\alpha + \alpha^2| \leq |2,8\alpha| + \alpha^2 \leq |2,8 \cdot 0,05| + |0,05|^2 = 0,1425 < 0,15.$

Значит, площадь $S$ лежит в пределах

$1,81 = 1,96 - 0,15 < S < 1,96 + 0,15 = 2,11.$

Посления формула наглядно показывает, что в первоначальном ответе 1,96, содержащим два знака последной, может не оказаться ни одной верной цифры.

Один пример

В теории приближенных вычислений, в частности, разработывается также примеры счета, которые, гарантируя достинение необходимой точности результата, сводят число операций к минимуму.

Рассмотрим, например, умножение положительных $n$ -разрядных правилных десятичных дробей, то есть чисел вида

$A = 0, a_1 a_2 \dots a_n,$

где $0 \leq a_i \leq 9$ ( $i = 1, 2, \dots, n$ ). Известно, что десятичная дробь (1) является сокращенной записью числа

$A = \frac{a_1}{10} + \dots + \frac{a_i}{10^i} + \dots + \frac{a_n}{10^n}.$

Будем считать дробь (1) приближенным, грамотно округленным числом. Тогда она имеет абсолотную погрешность, не превыходящую $\frac{5}{10^{n+1}}$ .

Пусть

$A = 0, a_1 a_2 \dots a_n,$
$B = 0, b_1 b_2 \dots b_n$

— два приближенных числа, а $\alpha$ и $\beta$ — их соответствующие отклонения от точных чисел, причем одинаково: $|\alpha| \leq 0,5 \cdot 10^{-n}, |\beta| \leq 0,5 \cdot 10^{-n}$ . Вычислим абсолотную ошибку произведения:

$\Delta_{AB} = (A + \alpha) \cdot (B + \beta) - AB = \alpha \cdot B + \beta \cdot A + \alpha \cdot \beta.$

Здесь $|\alpha \cdot \beta| = |\alpha| \cdot |\beta| \leq 0,5 \times 10^{-n} \cdot 0,5 \cdot 10^{-n} = 0,25 \cdot 10^{-2n}$ , то есть этот член по модулю не превыходит четырти последней возможной цифры результатата и потому может не принадлежать во внимание. Оценим сумму двух средних слагаемых, учитывая, что $A < 1$ и $B < 1$ . Получим $|\alpha \cdot B + \beta \cdot A| < |0,5 \cdot 10^{-n} \cdot 1| + 0,5 \cdot 10^{-n} \cdot 1| = 10^{-n}$ .

Значит, из $2n$ цифр произведения гарантируется верность лишь первых $n-1$ цифр, $n$ -я цифра в силу (2) уже оказывается комнентальной (она может отличаться от верной на $\pm 1$ ). Верность цифр $(n+1)$ -й и далее формула (2) совершенно не гарантирует. Поэтому эти цифры не哉чем включать в окончательный ответ.

Отсюда следует, что при умножении приближенных чисел школьным способом — «лескенкой влево» — мы половину работы делаем впустую. Спрашиваем, а можно ли эту половину работы вообше не делать? Оказывается, можно. Для этого надо использовать сокращенный способ умножения — «лескенкой вправо». Далее в целых наглядности изложения мы ограничимся примером умножения приближенных чисел $0,587 \times 0,736$ .

Как известно, умножение десятичных дробей выполняется аналогично умножению целых чисел. Ниже приведится три способа умножения

$\times 0,587 \times 0,587 \times 0,587$
$\times 0,736 \times 0,736 \times 0,736$
$\times 4109 \times 4109 \times 4109$
$1761 + 1761 + 1761 + 1761$
$4109 \times 3522 \times 3522 \times 3522$
$0,4320 \times 0,4320 \times 0,4320$

(a) — «лескенкой влево» (школьный);

При способе (6), в отличие от способа (a), умножение начинается с старших цифр множимого и множителя; учет единиц переноса от соседней правой цифры множимого (реже — от двух соседних) производится сразу. После небольшой тринировки этот способ становится не труднее способа (a).

Способ (в) представляет собой сокращенную модификацию способа (6), в котором частные произведения не вычисляются до конца, а сразу округляются. Место округления обеспечивает в окончательном ответе одну лишню цифру, которая необходима для правильного округления последней, комнентальной, цифры.

Okончательный ответ нашло применяю по всем тем способам его вычисления будет 0,432. Для его получения по способу (в) потребовалось вдвое меньше работы и времени, чем по способам (a) и (6). Указанный примем особенно пропагандировал выделшийся советский математик, инженер и кораблестритель, академик А. Н. Крылов, чью книгу *) мы рекомендуем нашему читателю.

Последовательные приближения и контроль вычислений

Приближенныесть исходных данных (ошибка наблюдания и изменения) является не единственной причиной ошибки результатата. Другим источником ошибки результатата служит приближенность самого процесса вычисления. Причны такого явления коре-

*) А. Н. Крылов, Лекции о приближенных вычислениях, М., ФМ, 1954.

наяся или в принципиальной необходимости проверки точное вычисление (например, $\sqrt{2}$ , sin $20^\circ$ ), или в неудобстве использования точной формулы результатата (так, точная простая дробь $1/7$ , как правило, заменяется на приближенную десятичную дробь 0,143). Разработка способов вычисления с наперед заданной скольго большой степени точности представляется собой важное прикладное направление классического вычислений математики. Понятие об этих способах читатель получит, взглянув на последнюю страницу таблицы Брадиса. Там приводятся формулы — так называемые бесконечные ряды,— по которым вычисляются значения синуса, тангенса, логарифма и других табличных функций. Анализ этих формулы вывляется основной методической прием — замену вычисления исходной функции вычислением многочлена, то есть другой, более простой функции, значения которой с заданной степенью точности равны значениям исходной функции.

Другим способом проверения вычисления с заданной степенью точности является метод последовательных приближений. Продемонстрируем его на вычислении квадратного корня из числа $A$ .

В качестве нулевого приближения $\sqrt{A}$ возьмем произвольное положительное число $x_0$ .

Рассмотрим на числовой прямой (рис. 2) отрезок, ограниченный точками $x_0$ и $\frac{A}{x_0}$ . Построим второе приближение $x_1$ как среднее арифметическое $x_0$ и $\frac{A}{x_0}$ :

$x_1 = \frac{1}{2} \left( x_0 + \frac{A}{x_0} \right) :$

Имеем по свойству среднего арифметического $x_0 \leqslant x_1 \leqslant \frac{A}{x_0}$ и по свойству обратных величины $\frac{A}{x_0} \geqslant \frac{A}{x_1} \geqslant x_0$ . Иными словами, отрезок

$\left| \frac{A - x^2}{A + x^2} \right| < 1.$

Эти отрезки стягиваются к единственной точке $x$ , принадлежащей всем отрезкам. Для вычисления $x$ подставим его в формулу (3): $x = \frac{1}{2} \cdot \left( x + \frac{A}{x} \right), x = \frac{A}{x}, x = \sqrt{A}$ .

Точка $x = \sqrt{A}$ принадлежит всем отрезкам, поэтому $x_n$ стремится к $x = \sqrt{A}$ , то есть метод последовательных приближений решает по-

ставленную задачу. Остается заметить, что вычисление следует прекращать после того, как $x_{n+1}$ становится равным $x_n$ с заданным количеством десятичных знаков.

Метод последовательных приближений обладает одним большим достоинством: случайная ошибка в промежуточных действиях не повлияет на величины результата, а лишь увеличит время на его получения.

Вобщее при проведении вычисления контроллю должно быть удалено самое сердезное внимание. Конечно, процесс вычисления можно повторить заново, но это вдвое увеличит общее время работы. В особо ответственных случаях приходится идти и на этот шаг, но возможности и другие методы контроля, учитывающие специфику конкретного расчета. Например, если от одного аргумента $x$ вычисляется sin $x$ и cos $x$ , то естественно затем подсчитать $\sin^2 x + \cos^2 x$ и сравнить с единицей.

Еще один пример

Особый интерес представляет методика, позволяющая контролировать каждый этап вычисления. Продемонстрируем ее на примере решения системы линейных алгебраических уравнений.

Пусть нам задана система двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{align*} 5x + 2y &= 19, \\ 3x + 7y &= 23. \end{align*}$

Запишем ее коэффициенты и свободные члены в виде таблицы:

$\begin{align*} \frac{5}{3} &\frac{2}{7} \frac{19}{23} \\ \end{align*}$

Пополним эту таблицу контролировать сумме элементов соответствующей строки. Получим расчетную таблицу:

$\begin{align*} \frac{5}{3} &\frac{2}{7} \frac{19}{23} \frac{26}{33} \\ \end{align*}$

В дальнейшем будем рассматривать таблицу (5) как изображение двух систем с одинаковыми коэффициентами и разными свободными членами: системы (4) и системы

$\begin{align*} \frac{5\tilde{x} + 2\tilde{y}}{3\tilde{x} + 7\tilde{y}} &= 26 \\ \frac{1}{3} \left| \frac{0,4}{7} \right| \frac{3,8}{23} \left| \frac{5,2}{33} \right| \\ \end{align*}$

Решая системы (4) и (6) методом Гаусса, подelimм все элементы первого строки на ее первый член. Получим таблицу

$\left| \frac{1}{3} \right| \frac{0,4}{7} \frac{3,8}{23} \left| \frac{5,2}{33} \right|$

Контроль состоит в том, что на любом этапе сумма трех чисел любой строки должна равнять четвертому числу; здесь это выполняется.

Далее умножим все элементы первого строки на первый член второй строки. Получим

$\left| \frac{3}{3} \right| \frac{1,2}{7} \left| \frac{11,4}{23} \right| \left| \frac{15,6}{33} \right|$

Вычтем почленно из 2-й строки 1-ю:

$\left| \frac{3}{0} \right| \frac{1,2}{5,8} \left| \frac{11,4}{11,6} \right| \left| \frac{15,6}{17,4} \right|$

Из второй строки (8) получаем

$y = \frac{11,6}{5,8} = 2, \quad \tilde{y} = \frac{17,4}{5,8} = 3.$

Наконец, из 1-й строки таблицы (7) находится

$x = 3,8 - 2 \cdot 0,4 = 3, \\ \tilde{x} = 5,2 - 3 \cdot 0,4 = 4.$

Искомое решение: $x = 3, y = 2$ ; решение системы (6): $\tilde{x} = 4, \tilde{y} = 3$ . Имеют место равенства

$\tilde{x} = x + 1, \quad \tilde{y} = y + 1,$

значит, система решения верно. Отметим, что если в окончательном ответе равенства (9) не выполнются, то или при сочетании местом слишком грубые округления, или была где-

то допущена ошибка. Наличие контROLного столбца на каждом этапе вычисленной позволяет быстро найти место ошибки или неточности.

Равенства (9) является обоснованием способа контроля. Если мы возьмем систему (6), решениями которой является решение системы (4), увеличенные на единицу, $x = x + 1$ , $y = y + 1$ , то свободные члены системы (6) будут равны сумме коэффициентов строк системы (4). Например, для первой строки системы (4)

$5(\tilde{x} - 1) + 2(\tilde{y} - 1) = 19,$
$5\tilde{x} - 5 + 2\tilde{y} - 2 = 19,$
$5\tilde{x} + 2\tilde{y} = 19 + 5 + 2 = 26.$

Указанное свойство легко проверяется в обшем случае. А поскольку при решении мы переходим к эквивалентным системам, то и в них суммы коэффициентов должны равны числам в контрольном столбце.

Ошибки метода

Существует еще одна группа причины, приводящая к ошибке результата. Она носит название «ошибка метода». Проверяется она, например, в том случае, когда вместо точной системы уравнения рассматривается система более простых уравнений, приближенно описывающих тот же процесс. Причины такой замены бывают самые разнообразные: отсутствие точной системы уравнения, невозможность подготовить исходные данные для точной системы, невозможность или большешая сложность точно решить имеющийся точную систему и другие. В качестве примера рассмотрим задачу из учебника физики.

Самолем лемит горизонтального на высome $H$ со скоростью $v$ . На каком горизонтальном расстоянии от объекта он должен сбросить bomбу для прямого попадания в этом объект?

При упрощении предположения — отсутствии сопротивления воздействия воздействия.

Искомое рассмотрение $S$ получается из формулы $S = v \cdot t$ при $\frac{gt^2}{2} = H$ , отсюда $S = v \cdot \sqrt{\frac{2H}{g}}$ .

Согласно этому предположению траектория bomбы представляет собой парабoly (синяя кривая на рис. 3).

Но в действительности сопротивление воздействия должна быть траекторию более крупной. Она носит название «баллистической кривой» (красная кривая на рисунке 3) и строится на основе опытных данных и дополнительных теоретических предложений. Баллистическая кривая заметно уменьшает «ошибку метода», но в силу своего экспериментального характеристика несколько увеличивает «ошибку наблюдания» и «ошибку округления».

Теперь можно подвести некоторые итоги. Приведенные примеры и расчёжения показывают, что процесс численного расчета любой практической задачи должен быть тщательно спланирован.

Этапами на этом пути служат:

выбор метода решения с оценкой ошибки, которое он дает;
оценка точности исходных данных;
выбор схемы с оценкой точности округления промежуточных величины и разумной организации контроля.

Существование влияние на дальнейшее развитие методов вычисления оказывает вычислительная техника, особенно электронные цифровые вычислительные машины (ЭЦВМ), которые позволяют выполнять расчеты, состоящие из миллиардов арифметических действия. Это остоятельство требует повышенного внимания к накоплению ошибок и выбору схем учета, менее «чувствительных» к ним.