Коэффициент полезного действия ракеты

35

Козффициент полезного действия ракеты

А. В. Бялко

Начнем с небольшой задачи. За какое время электрический утог потребляется столько энергии, сколько необходимо для его запуска на орбиту спутника Земли? (Мощность утого $P = 1 \text{ квт}$, масса $m = 1 \text{ ккэ.}$)

Кинетическая энергия спутника, движущаяся по круговой орбите, $\frac{mv^2}{2} = \frac{mgR}{2}$, где $v$ — первая космическая скорость, $R$ — радиус Земли. Потенциальной энергией $mgh$ для несликом высоких орбит можно пренебречь по сравнению с Kinetic Energy of a Sputtering Kite $P_t$, найдем что

$$t = \frac{mgR}{2P} = 3,2 \cdot 10^4 c \approx 9 \text{ u.}$$

Всего 9 часов! 9 киловатт-часов, 36 копеек необходимы для выведения на орбиту спутника Земли каждого килограмма массы. Почему же для осуществления космических программы требуются затраты, созмерные с национальными бюджетами необходимых стран?

Потому, что эта энергия, 9 квт-ч, необходима, но недостачана. Потому, что ракетка как телловая машина имеет очень низкий коэффициент полезного действия. Попробем его найти.

Сначала выведем формулу, связывающего массу и скорость ракеты, то есть решим «задачу Циолковского». Сложность здесь состоит в том, что масса ракеты при разгоне все время уменшается — выгорает топливо. Такие процессы изучают, решая дифференциальные уравнения, чтобы этого избежать, представим себе, что сгорание происходит не непрерывно, а некими малыми порциями. Скажем, каждый раз ракета выбрасывает $\frac{1}{N}$-ю часть своей массы, как бы выстреливает снарядом, масса которого в $N$ раз меньше массы ракеты в этот момент (рис. 1).

Скорость такого «снаряда» относительно ракеты будем считать постоянной и называть скоростью истечения $V$. При каждом таком «выстреле» выполняется закон сохранения количества движения. Пусть вначале масса ракеты была $M_0$, а скорость равна нулю. Тогда $\frac{M_0}{N} V$ — количество движения массы, выбореенной после первого толчка и $(1 - \frac{1}{N}) M_0 v_1$ — равное ему коли-