Вынужденные механические колебания

2

Основное уравнение движения в механике — это второй закон Ньютона:

$$m a = F.$$

Чтобы найти положение тела и его скорость в любой момент времени, достаточно знать силу как функцию координат тела и проекций его скорости, а также начальные условия: координаты и проекции скорости тела в начальной момент времени.

Простейший случай — движения под действием постоянной силы $F = const$ (в частности, сила может равняться нулю). Тогда ускорение постоянно ($a = const$); координаты и скорость тела легко определяются с помощью известных kinematических уравнений.

При колебательном движении, весьма распространном в природе и широко использующом в технике, ускорение не постоянно. Это сильно усложняет решение механических задач. Только свободные гармонические колебания тела под действием силы, пропорциональной смесению тела из положения равновесия, можно исследовать полностью, не прибегая к вышей математике. Но уже учет силы тремя, пропорциональной скорости, требуется уменнять дифференциальные уравнения. Еще сложнее (математически) задача о вынужденных колебаниях, когда на системе действия дополнительно вешняя перiodическая сила. В этом случае в системе наблюдается любопытное и практическую важное явление — резонанс. При совпадении частоты внешней силы с частотой собственных колебаний системы амплитуда колебаний резко возрастает.

Можно, однако, не прибегая к решению сложного уравнения движения, проанализировать процесс вынужденных колебаний с помощью наглядных физических сообщений. В частности, можно понять, почему наблюдается резонанс. Этому и посвязывана данная статья.

No вначале напомним некоторые основные положения, касающиеся свободных гармонических колебаний.

Свободные гармонические колебания

Самой простой колебательной системы является система, в которой действует сила, пропорциональная смесению тела из положения равновесия, направленная противоположно смесению. Трение, конечно, есть всегда. Но если оно мало, то на протяжении не слишком интервала времени действием силы тремя можно пребесть. К подобным системам относятся: груз наружие, математический матник (при небольших углах отклонения), плавающее на поверхности воды тело с неизменным сечением и т.п. Для определения будем говорить только о грузе наружие. На груз действуют две силы: сила тяжесте и сила упругости пружины. Постоянная сила тяжесте $F_T = mg$ никак не влияет на процесс колебаний. Она лишь смешает положение равновесия груза. Ее легко исключить

3

из уравнения движения, если начало системы отсчета совместить с концом деформарованной грузом пружины, когда груз находится в покое (рис. 1). Координатную ось $OX$ направим вертикально вниз. Тогда колебания будут проинсходить только под действием силы упругости $F_y = -kx$, где $k$ — коэффициент упругости, а $x$ — смешение груза из положения равновесия. Уравнение движения запишется так:

$$ma_x = -kx. \tag{1}$$

Разделив это уравнение на $m$ и введя обозначение $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$, получим общепризнаную форму уравнения, описывающего гармоничическую колебания с циклической частотой $\omega_0$:

$$a_x = -\omega_0^2 x. \tag{2}$$

Решение этого уравнения, то есть нахождение функции $x = x(t)$, можно получить элементарно, но довольно длиным путем. Результат такой:

$$x = x_0 \cos(\omega_0 t + \varphi_0). \tag{3}$$

Здесь $x_0$ — амплитуда колебаний, а $\varphi_0$ — начальная фаза. Эти величины находятся из начальных условий.

Obviously мы возбуждаем колебания груза на пружине, оттянув его вниз и отпустив. При этом на начальной момент (при $t = 0$) $x = x_0$, а $v_x = 0$. Это соответствует тому, что $\varphi_0 = 0$. Тогда

$$x = x_0 \cos \omega_0 t. \tag{4}$$

Гармоничические колебания можно описывать, использую равноправие.

Рис. 1.

ные трионометрические функции косинус и синус. Вместо (3), конец, можно записать:

$$x = x_0 \sin(\omega_0 t + \varphi_0). \tag{5}$$

Но тогда при обычных начальных условиях $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$, а не нулю. Поэтому запись через косинус несколько предпочтительнее, хотя, конечно, можно использовать и синус.

Скорость при гармоничическах колебаниях тоже меняется по гармоничческому закону. Ее амплитуда равна $v_0 = \omega_0 x_0$, а сдвиг по фазе относительно координаты равен $\frac{\pi}{2}$:

$$v_x = \omega_0 x_0 \cos\left(\omega_0 t + \frac{\pi}{2}\right) = -\omega_0 x_0 \sin \omega_0 t. \tag{6}$$

Ускорение колебляется в противофазе с координатом (смешено по фазе на $\pi$) и имеет амплитуду $a_0 = \omega_0^2 x_0$, то есть

$$a_x = \omega_0^2 x_0 \cos(\omega_0 t + \pi) = -\omega_0^2 x_0 \cos \omega_0 t. \tag{7}$$

Вот и все, что нужно знать для дальнейшего относительной свободных гармоничских колебаний.

Уравнение движения для вынужденных колебаний

Пусть на колебательную систему (груз на пружине в нашем примере) действует внешняя периодическая сила $F_x = F_0 \cos \omega t$. Кроме того, на тело действуют силы упругости $F_y = -kx$ и сила треня, пропорциональная скорости $F_{\tau p} = -\mu v_x^*$), где $\mu$ — коэффициент треня. Тогда уравнение движения запишется так:

$$ma_x = -kx - \mu v_x + F_0 \cos \omega t. \tag{8}$$

Пересечя влевую часть уравнения все силы, кроме внешней, получим:

$$ma_x + \mu v_x + kx = F_0 \cos \omega t.$$

*) При малых скоростях движения тела действительно можно считать, что сила треня (или, по-другому, сила сопротивления) прямо пропорциональна скорости.

4

Рис. 2.

Удобнее записать это уравнение в несколько другом виде, разделив правую и левую его части на $m$ и введя обозначение $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$:

$$a_x + \frac{\mu}{m} v_x + \omega_0 x = \frac{F_0}{m} \cos \omega t.$$ (9)

Движение тела, подчиняющегося этому уравнению, достаточно сложно, особенно вначале, когда оно не является гармоничским.

Установление колебаний

Механизм установления вынужденных гармоничских колебаний можно пройти так. Под действием внешней силы система получает «толчок», в результате чего в ней возникают свободные колебания частоты $\omega_0$. С течение времени свободные колебания будут затухать тем быстрее, чем больше коэффициент трения $\mu$. Но одновременно с этим в системе действия внешняя периодическая сила, которая вызывает в ней колебания с частотой $\omega$. Таким образом, в течение некоторого промежутка времени в системе произходят и свободные, и вынужденные колебания одновременно, то есть к колебательным движениям применим принцип суперпозицини.

Амплитуда вынужденных колебаний с течение времени нарастает (рис. 2), пока не установится некоторое Staционарное значение. Это произойдет тогда, когда работа внешней силы станет равна работе сил трения, то есть когда энергия, поступающая в системе извне, станет равна потерям механической энергии внутри системы.

Таким образом, лишь спустя время установления колебаний в системе затухут свободные колебания и остаются только вынужденные гармоничские колебания с частотой $\omega$ и амплитудой $x_0$:

$$x = x_0 \cos (\omega t + \varphi_0).$$ (10)

Внешне уравнения для свободных и вынужденных колебаний совпадают. Но если при свободных колебаниях $x_0$ и $\varphi_0$ определялись только начальные условиями, то при вынужденных колебаниях они определяются (как мы видим в дальнейшем) параметрами как самой системы, так и внешней силы. Прежде всего, играет существенную роль соответствие частот собственных и вынужденных колебаний. Заметим, кстати, что величины $\varphi_0$ в случае вынужденных колебаний называют сдигром по фазе между колебаниями смесения и внешней силы.

Скорость и ускорение тела, совершающего вынужденные колебания, определяются равенствами, аналогичными (6) и (7) для свободных колебаний:

$$v_x = \omega x_0 \cos \left(\omega t + \varphi_0 + \frac{\pi}{2}\right),$$ (11)

$$a_x = -\omega^2 x_0 \cos (\omega t + \varphi_0).$$ (12)

Поскольку скорость всегда характеризует быстрое изменение координаты со временем, а ускорение характеризует быстрое изменение скорости со временем, то, зная зависимость координаты от времени $x(t)$, можно однозначно определить функцию $v_x(t)$ и $a_x(t)$.

Теперь приступим к решению основных задачи. Выясним, от чего и как зависит амплитуда $x_0$ вынужденных колебаний и сдигром по фазе $\varphi_0$. Для этого рассмотрим три предельных случая.

5

Первый случай: $\omega \ll \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$, то есть часть внешней периодической силы много меньше частоты собственных колебаний системы $^*$).

Второй случай: $\omega \gg \omega_0$; выполняется противоположное условие.

И, наконец, самый важный случай: $\omega \approx \omega_0$. Это случай резонанса.

Вынужденные колебания малой частоты

Перепишем еще раз уравнение (9)—уравнение движения для вынужденных колебаний:

$$a_x + \frac{\mu}{m} v_x + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m} \cos \omega t.$$

Если $\omega \ll \omega_0$, то из трех членов левой части этого уравнения самим большим будет последний член $\omega_0^2 x$. Действительно, амплитуда первого слагаемого пропорциональна $\omega^2 x_0$, второго — $\omega x_0$, а последнего — $\omega_0^2 x_0$. Поэтому приближение (учитывая, что $\omega \rightarrow 0$)

$$\omega_0^2 x = \frac{F_0}{m} \cos \omega t,$$

откуда

$$x = \frac{F_0}{m \omega_0^2} \cos \omega t = \frac{F_0}{k} \cos \omega t.$$ (13)

Колебания координаты пропорциональны, а фаза колебаний совпадает с фазой внешней силы.

*) Необходима для точности одна огорочка. При наличии треящего собственная частота $\omega_c$ свободных колебаний не равна $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$. На самом деле она несколько меньше: $\omega_c = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\mu^2}{4m^2}}$. Но при малом коэффициенте треяния ($\mu \rightarrow 0$) $\omega_c \approx \omega_0$. Практические наиболее интересные случаи именно малого треяния. Поэтому мы с полным основанием может считать собственную частоту колебаний системы равной $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Заметим, что амплитуда колебаний тем меньше, чем больше жесткость пружины. Качественно этот случай можно описать так. При малой частоте внешней силы происходит почти то же самое, что и при действии на пружину постоянной силы. В соответствии с законом Гука смещение увеличивается пропорционально внешней силы, и в любой момент внешняя сила почти точно уравновешается силой упругости пружины.

С энергетической точки зрения условия для перекачки энергии в колебательную систему от внешних тел, действующих на систему с периодической силой, очень неблагоприятны. В самом деле: четырьмя перiodиа, когда тело смещается от положения равновесия, внешняя сила совершает положительную работу, так как сила и скорость тела, а значит, и перемещение направлены в одну сторону (рис. 3). Но в следующую четырьмя перiodиа, когда тело возврашает к положению равновесия, сила и скорость (а значит, и перемещение) направлены в противоположные стороны (рис. 4). Работа внешней силы будет при этом отрицательной. Так же картина будет наблюдаться во вторую половину перiodиа. В целом за период работы внешней силы почти точно равна нулю. Лишь малая часть работы внешней силы идет на компенсацию работы силы треяния, так как скорость движения тела при $\omega \ll \omega_0$ очень мала, и поэтому малая величина силы треяния.

6

Здесь имеет неокоторая тонкость, иногда затрудняющая понимание сути дела. Если смение от положения равновесия прямо пропорционально силе в любой момент времени, то, казалось бы на первый взгляд, работа должна быть все время положительная. Однако, надо иметь в виду, что знак работы зависит от совпадения направления силы и направления перемещения, то есть скорости, а не знака координаты. Для того чтобы работа была положительной, необходимо не совпадение знаков $F_x$ и $x$, а необходимо, чтобы $F_x$ и $\Delta x$ (или $\frac{\Delta x}{\Delta t} = v_x$) имели одинаковые значки.

Вынужденные колебания большой части

В случае $\omega \gg \omega_0$ в левой части уравнения (9) в любой момент времени наиболее будет первый член, амплитуда которого пропорциональная квадрату частоты. Он будет игrate основную роль, поэтому можно записать:

$$a_x = \frac{F_0}{m} \cos \omega t.$$

По фазе с силой совпадает теперь не координата, а ускорение, а колебания координаты проискодят в противофазе с колебаниями внешней силы. Амплитуда координаты равна

$$x_0 = \frac{a_0}{\omega^2} = \frac{F_0}{m\omega^2}.$$

Таким образом, колебания тела пропускают по закону

$$x = -\frac{F_0}{m\omega^2} \cos \omega t.$$ (14)

При $\omega \to \infty$ (это эквивалентно условию $\omega \gg \omega_0$) $x_0 \to 0$, то есть амплитуда колебаний мала. Этот результат вполне естественен. Сила столбцовяет направление, что тело, обладающее инертностью, не успевает заметно сdvигаться относительно положения равновесия.

Как и в предыдущем случае, когда $\omega \ll \omega_0$, половину перiodа внешняя сила совершает положительное работу, а другую половину — отрицательную. половину перiodа сила и перемещение направлены одинаково, а другую половину перiodа они направлены в противоположные стороны. Энергия опять почти не поступает в системе.

Резонанс

Самый интересный часть случай вынужденных колебаний — это случай совпадения частоты внешней перiodической силы с собственной частотой колебаний системы ($\omega \approx \omega_0$).

В этом случае первый уравнение (9), который можно записать так:

$$a_x = -\omega_0^2 x,$$

взамимо уничтожается с третьим членом, равным $\omega_0^2 x$. Эти два члена в любой момент времени одинаковы по величины, но имеют противоположные знаки, так как ускорение и координата при любом гармоническом колебании сdvинуты по фазе на π.

В результате уравнение (9) принимает вид:

$$\mu v_x = F_0 \cos \omega_0 t.$$ (15)

Это простое уравнение и содержит всю суть резонанса. При $\omega \approx \omega_0$ в любой момент времени (еще раз подчеркинем, что ребь идет об установившихся вынужденных колебаниях) внешняя сила как бы выключает из игры слугу треня. В результате ускорение только слий упругости приходы. В сущести реализуется очень небольшая ситуация: гармонические колебания существуют в системе сколь угодно длитьное время, несмотря на действие слий треня.

Из (15) видно, что при резонансе фаза колебаний скорости совпадает с фазой внешней сили. Работ внешней сили при этих условиях положительная на всем протяжении пе-

7

риода. Создаются оптимальные условия для перекачки энергии от внешних тел к колебательной системе.

Положительная работа внешней силы в точности равна по величины отрицательной работе силы треня. Из-за этого механическая энергия системы не меняется. Поступающая извне энергия за счет работы силы треня переходит в тепло (пружина с грузом и окружающей воздуш нагреваются).

Амплитуда колебаний при резонансе равна

$$x_0 = \frac{v_0}{\omega_0} = \frac{F_0}{\mu\omega_0}.$$

Она тем больше, чем меньше коэффициент треня. При $\mu \rightarrow 0$ $x_0 \rightarrow \infty$, то есть очень/no, что при $\omega \approx \omega_0$ амплитуда максимальная. Если $\mu$ имеет достаточно большое значение, то резонансная амплитуда колебаний не велика.

Уравнение колебаний при резонансе имеет вид

$$x = \frac{F_0}{\mu\omega_0} \cos \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right),$$

так как смешение отстает от скорости на четверть периода. Тепер можно изобразить примерный вид зависимости амплитуды $x_0$ и сdwга фаз $\varphi_0$ вынужденных колебаний от частоты. Мы знаем, что при малых частотах ($\omega = 0$) амплитуда колебаний равна $\frac{F_0}{k}$, а сdwг по фазе равен нулю.

При больших частотах ($\omega \rightarrow \infty$)