«Космические» задачи на вступительных экзаменах

60

«Космические» задачи на вступательных экзаменах
E. П. Кузнецов

В этой статье мы поговорим о закономерностях движения тел в поле тяготения и проплоистрируем их задачи, предлагавшимся на вступательных экзаменах в Московский физико-технический институт.

Так же, как вся электростатика описывается, по существу, законом Кулона, вся сложность, красота и пуляшная танистенность движения небесных тел заключана в простом и изящном законе всемирного тяготения Ньютона. В чем состоит этот закон? Каждый объект Вселенной прятягивает к любому другому объекту с силой, пропорциональной массам объектов и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

$$F = \gamma \frac{m_1 m_2}{R^2}.$$

Кроме того, нужно помнить, что сила, приложенная к телу, вызываетускорение в направлении этой силы, по величины обратно пропорциональной массе тела.

Сила взаимного прятяжения двух тел описывается формулой, совершенного аналогичной закону Кулона. Поэтому выражение для потенциальной энергии будет иметь тот же вид, что и в электростатике:

$$W = -\gamma \frac{m_1 m_2}{R}.$$

Мы поставли перед формулой знак минус. Посмотрим, что это означает.

Для разведения двух тел на некоторое расстояние (например, для подьемма какого-либо предмета над поверхностью Земли) требуется преодолеть силу их взаимного прятяжения (силу тяжести), то есть совершить работу. Следовательно, потенциальная энергия тела увеличивается. С другой стороны, если развести тела на бесконечно большое расстояние, сила их взаимодействия будет равна нулю. Разумно положить, что будет равна нулю и потенциальная энергия. Но увеличивается, стремясь в пределе к нулю, может только отрицательная величина.

Теперь мы исследуем движение планет по круговым орбитам вокруг Солнца, движение искусственных спутников Земли и вообще движение под действием сил взаимного прятяжения двух тел, масса $M$ одного из которых значительное больше массы $m$ другого. В этом случае можно считать большое тело неподвижным.

Движение таких тел описывается закономи Кеплера. Приведем формуларов законов Кеплера без вывода.

I. Все тела в Солнечной системе движутся по кривым, являющимся конечными сечениями (эллипсом, параболой, гиперболой), в одном из фокусов которых расположено Солнеч.

II. Радиус-вектор от Солнца до планеты заметаем равные площади в равные интервалы времени (рис. 1).

III. Квадраты времен обращения планет пропорциональны кубам больших полоусейнских орбитам.

Частным случаем эллипса является окружность. Для нее третий закон

61

Рис. 1.

Кеплера выглядит так:
$$T^2 = \frac{4\pi^2}{\gamma M} R^3,$$

где $T$ — период обращения. Эту формулу можно получить, использув выражение для скорости спутника при движении по круговой орбите:
$$v = \sqrt{\gamma \frac{M}{R}}.$$

Первый и второй законы Кеплера для движения по окружности очень видны.

Рассмотрим решение конкретных задач.

Задача 1. Искусственный спутник, использующий в системе метеосвязи, запущен в плоскости земного экватора так, что все время находимся в Zenome odной и мой же точки земного шара. Во сколько раз радиус орбиты спутника больше радиуса Земли $R_0 = 6370$ км? Ускорение свободного надения у поверхности Земли $g = 9,8 \text{ m/c}^2$.

Ускорение, вызываемое прияжением спутника к Земле, это центроэстремительное ускорение:
$$\frac{\gamma M}{R^2} = \omega^2 R = \frac{4\pi^2}{T^2} R.$$

В нашем случае спутник постоянно «висит» над одной и той же точкой Земли (так называемый Staционный спутник), и следовательно, период обращения равен периоду обращения Земли вокруг своей оси, то есть одним суткам. Преобразуем левую часть нашего равенства:
$$\frac{\gamma M}{R^2} = \frac{\gamma M}{R_0^2} \left( \frac{R_0}{R} \right)^2 = g \left( \frac{R_0}{R} \right)^2.$$

Таким образом,
$$\frac{4\pi^2}{T^2} R = g \left( \frac{R_0}{R} \right)^2.$$

Умножим обе части на $R_0/R$; тогда:
$$\left( \frac{R}{R_0} \right)^3 = \frac{g T^2}{4\pi^2 R_0}.$$

Подставляя численные значения, получаем
$$\frac{R}{R_0} = \sqrt[3]{\frac{9,8 (24 \cdot 3600)^2}{4\pi^2 6370 \cdot 10^3}} = \sqrt[3]{290} = 6,6.$$

Задачу можно решить другим путем, используя третий закон Кеплера:
$$\left( \frac{R}{R_0} \right)^3 = \left( \frac{T}{T_0} \right)^2.$$

Величина $T$ нам известна, а $T_0$ — период обращения спутника в непосредственной близости от поверхности Земли. Он, очень/no, равен
$$T_0 = \frac{2\pi R_0}{v_1} = \frac{2\pi R_0}{\sqrt{g R_0}} = 2\pi \sqrt{\frac{R_0}{g}},$$

где $v_1$ — первая космическая скорость. Тогда
$$\left( \frac{R}{R_0} \right)^3 = \frac{T^2 g}{4\pi^2 R_0}.$$

Задача 2. Спутник врачается вокруг Земли по круговой орбите радиуса $R$. В результате кратко-временного действия морозного устроится скорость спутника уменьшалась так, что он начинает движаться по эллиптической орбите, касающейся поверхности Земли (рис. 2). Через какое время после эмодо спутник приземится? Радиус Земли $R_0$. Тренец в атмосфере претенбрец.

Оргина изменяется из-за мгновенного действия тормозной установки, и дальнейшее движение спутника снова проискодит по законам небесной механики. После торможения спутник начинает движаться по

62

Рис. 2.

эллиптической орбите, большая полуос которой $a = (R + R_0)/2$. По третьсяму закону Кеплера

$$\left(\frac{T_3}{T_K}\right)^2 = \left(\frac{a}{R}\right)^3,$$

где $T_3$ — период обращения спутника на эллиптической орбите, а $T_K$ — на круговой. Период обращения спутника на круговой орбите равен

$$T_K = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi R}{\sqrt{\gamma M}/R} = 2\pi R \sqrt{\frac{R}{\gamma M}}.$$

Тогда период обращения его на эллиптической орбите равен

$$T_3 = 2\pi R \sqrt{\frac{R}{\gamma M}} \left(\frac{R + R_0}{2R}\right)^{3/2}.$$

С моментта торможения до посадки спутник пройдет как раз половину орбиты (см. рис. 2). Поэтому

$$t = \frac{T_3}{2} = \pi R \sqrt{\frac{R}{\gamma M}} \left(\frac{R + R_0}{2R}\right)^{3/2} = \frac{\pi}{\sqrt{\gamma M}} \left(\frac{R + R_0}{2}\right)^{3/2}.$$

Если расстояние от спутника до поверхности Земли не велико, то есть $R \approx R_0$, формулу можно пройти:

$$t = \frac{\pi}{R_0 \sqrt{g}} \left(\frac{R_0 + R}{2}\right)^{3/2}.$$

До сих пор мы пренебрегали трением в атмосфере. Расмотрим теперь торможение спутника в верхних слоях атмосферы. Будем считать первоначальную орбиту спутника круговой, а торможение стол не

большим, что любой конкретный виток с достаточно степенью точности можно считать окружностью.

Полная энергия спутника равна сумме его кинетической и потенциальной энергии. Потенциальная энергия спутника равна $-Mm\gamma/R$, а кинетическая $mv^2/2$. Но скорость движения спутника по орбите $v = \sqrt{\gamma M/R}$. Тогда кинетическая энергия спутника

$$W_{\text{кин}} = \gamma \frac{mM}{2R},$$

то есть определяется только радиусом орбиты и всегда вдвое меньше (по абсолотной величины) энергии потенциальной. Полная энергия спутника отрицательна:

$$W_{\text{пол}} = -\frac{\gamma}{2} \frac{mM}{R}.$$

Пусть до торможения спутник летел по орбите радиуса $R_1$ и имел скорость

$$v_1 = \sqrt{\frac{\gamma M}{R_1}}.$$

После торможения в верхних слоях атмосферы спутник перешел на орбиту с радиусом $R_2$, меньше чем $R_1$ (не лететь же ему в результате торможения выше), и его кинетическая энергия стала равна $W_2 = \gamma mM/2R_2$; следовательно, его скорость определяется выражением

$$v_2 = \sqrt{\frac{2W_2}{m}} = \sqrt{\frac{\gamma M}{R_2}}.$$

Если сравнить выражения (3) и (2), то видно, что в результате торможения скорость спутника увеличилась ($R_2 < R_1$!) Но уже такое закономерность орбitalного движения, обусловленная указанным выше пропорциональным распределением полной энергии между кинетической и потенциальной. Полная энергия, как это следует из формулы (1), при уменьшении радиуса орбиты уменьшается (она ведь отрицательна), так что закон сохранения энергии ни в коей мере

63

не нарушается. Справедливо и обратно: если мы хотим перевести спутник на более высокую орбиту, нужно его разогнать; в результате разгона спутник будет движаться выше, но медленнее. Попробуйте показать это самостоятельно.

Задача 3. Спутник, запущенный на крутовую орбиту высоты $H = 500$ км над поверхностью Земли, морозится в верхних слоях атмосферы. Улевое ускорение спутника $\beta = 3 \cdot 10^{-13}$ рад/c$^2$. На какой высome окажется спутник через месяц?

Величина углового ускорения низкого нацужна, и поэтому можно считать каждой виток спутника окружностью. Тогда на каждой конкретной орбите мы можем пренебречь тренем и применять к спутнику законы небесной механики. Если обозначить радиус и период обращения для первого аналогной орбиты через $R_1$ и $T_1$, а для орбиты, на которой спутник оказывается через месяц, через $R_2$ и $T_2$, то, согласно третьему закону Кеплера, мы можем написать

$$\frac{T_1^2}{R_1^3} = \frac{T_2^2}{R_2^3} = \frac{(T_1 + \Delta T)^2}{(R_1 + \Delta R)^3} = \frac{T_1^2 + 2T_1\Delta T + (\Delta T)^2}{R_1^3 + 3R_1^2(\Delta R) + 3R_1(\Delta R)^2 + (\Delta R)^3}.$$

Очевидно, что $\Delta R \ll R$ и $\Delta T \ll T$ ($\Delta R$ в принципе не может быть больше высоты орбиты, тогда как радиус Земли 6370 км, а максимальное значение $\Delta T$ вы теперь уже может оценить самостояльно, пользоваться третьим законом Кеплера).

Но тогда без всякого ущерба для точности можно пренебречь членами $(\Delta R)^2, (\Delta R)^3, (\Delta T)^2$:

$$\frac{T_1^2}{R_1^3} = \frac{T_1^2 + 2T_1\Delta T}{R_1^3 + 3R_1^2\Delta R}.$$

Отсюда

$$\frac{R_1^3 + 3R_1^2\Delta R}{R_1^3} = \frac{T_1^2 + 2T_1\Delta T}{T_1^2}.$$

Следовательно,

$$\frac{\Delta R}{R_1} = \frac{2}{3} \frac{\Delta T}{T_1}.$$

Но $\Delta T/T_1 = \Delta \omega/\omega_1$, где $\omega_1$ — угловая скорость спутника. По аналогии с прямолинейным равноускоренным движением определям угловое ускорение равенством

$$\beta = \frac{\Delta \omega}{t},$$

где $t$ — время (в нашем случае — один месяц). Таким образом, мы получаем

$$\Delta R = \frac{2}{3} R_1 \frac{\beta t}{\omega_1} = \frac{2}{3} (R_0 + H)\beta t = \frac{2}{3} (R_0 + H)^2 \frac{\beta t}{v}.$$

Здесь, как обычно,

$$v = \sqrt{\frac{\gamma M}{(R_0 + H)}}.$$

Но, поскольку $H \ll R_0$, можно положить скорость $v$ равной первой космической. Подставив численные значения, получим

$$\Delta R = \frac{2}{3} (6370 + 500)^2 \times \frac{3 \cdot 10^{13} \cdot 30 \cdot 24 \cdot 3600}{8} = 3 (\text{km}),$$

$$H' = H - \Delta R = 497 \text{ km}.$$

Как видим, прибретенных в школе значений достагоно для расстояния разнообразных задач прикладной астрономии и космонавтики.

Уражнения

1. С поверхности планеты радиуса $R$ вертикально вверх стартует пакета с первой космической скоростью. Планета не имеет атмосферы. На какую высоту поднимется пакета?

2. В 1986 году ожидается появление кометы Галлея. Последний раз она появляется в 1910 году, и минимальное расстояние ее от Солнца составляет тогда 0,6 расстояния от Земли до Солнца (0,6 астрономической единицы — а. e.). Как далее уходит она от Солнца?

3. Известно, что в настоящие время Луна удаляется от Земли со скоростью $v = 3,3 \text{ cm/second}$. Найти угловое ускорение Луны. Среднее расстояние Луны от Земли $R = 3,84 \cdot 10^5 \text{ km}$, угловая скорость вращения Луны вокруг Земли $\omega = 2,56 \cdot 10^{-6} \text{ rad/c}$.