Нет ли другого решения?

75

НЕТ ЛИ ДРУГОГО РЕШЕНИЯ?
А.И. Мостовой

Многие школьные задачи допускают различные способы решения. Понские таких решения — занятие интересное и полезное. В этом может убедиться каждый.
В данной заметке говорится о том, как можно нахождение различные способы решения задач.

… полезнее одну задачу решить несколько способами, чем несколько задач одним способом.

Мы обсуждим разные способы решения следующей задачи.

Задача 1. Построить треугольник по двум его углам и периметру 2 р.

Объчное решение этой задачи выглядит так. Предположим, что задача решения, треугольник ABC — исключый (рис. 1). На продолжении AC от точки A и C отложим отрезки $[AA_1] \cong [AB]$, $[CC_1] \cong [BC]$ и соединим точку B с точками A$_1$ и C$_1$. Полученный треугольник $A_1BC_1$ можно построить по стороне $A_1C_1$, равной периметру 2 р исключого треугольника, и двум прилежащим углам $\hat{A}_1$ и $\hat{C}_1$, равным соответствию половинам углов $\hat{A}$ и $\hat{C}$. Остается построить вспомогательный треугольник $A_1BC_1$ и серединные перпендикуляры к сторонам $A_1B$ и $BC_1$ (или равные углы $\widehat{ABA}_1 = \hat{A}_1$ и $\widehat{CBC}_1 = \hat{C}_1$). В результате получим искомый треугольник ABC.

Но вот, решив задачу таким способом, вовь подумаем над него. Построим по двум заданным углам некоторый треугольник $A_1BC_1$ (рис. 2). Затем, как и в первом решении, спрямим перimeter построенного треугольника: $[A_1D_1] \cong [A_1B]$, $[C_1E_1] \cong [C_1B]$. После этого проведем лучи $[BD_1]$, $[BA_1]$, $[BC_1]$, $[BE_1]$ и отложим $|D_1F| = 2$ р. Далее проведем $[FE] \parallel [BD_1]$ и $(DE) \parallel [D_1F)$. Образовавшийся таким образом треугольник ABC (рис. 2) — исключый. Это легко доказать (здесь и в дальнейем)

Рис. 1.
Рис. 2.