Задачи М316—М320; Ф328—Ф332

Квант 1975, №4 с. 25-26 Тег 3I9A

Задачик кванта

Решения задач из этого номера можно посылать не позднее 1 июня 1975 г. по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Квант». После адреса на конверте написите, решения каких задач вы посылаете, например: «Задачик «Кванта», М316, М317» или «… Ф328». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просылаются в отдельных конвертах. Задчи из разных номеров журнала присылте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки ваших решений). Условия оригинальных задач, предложенных для публикации, присылите в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте пометьте: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»). После формирования задачи мы обчанию указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Наболее трудные задачи отмечены звездочкой.

Задачи

M316—M320; Ф328—Ф332

M316. a) Докажите, что сумма квадратов $k$ последовательных натуральных чисел не может быть квадратом целого числа, если $k$ равно 3, 5, 7 или 9.

Придумайте 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых есть квадрат целого числа.

Э. Г. Готман

M317*. На некоторых планете каждой страна граничит не более чем с 7 другими. В каждой стране имеется запас золота. Требуется распределить золото так, чтобы каждый две страны, граничшие друг с другом, отличались по количеству золота не более чем в 13 раз. Докажите, что распределение золота можно организовать так, чтобы каждой страна лишлась не более половины имеющегося у нее золота.

Г. В. Егоров

M318. В треугольнике $ABC$ проведены биссертрисы $[AD]$ и $[CE]$ . Докажите, что $|CE| \cdot |AB| = |AD| \cdot |BC|$ тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из двух условий: 1) $|AB| = |BC|$ ; 2) $\widehat{ABC} = 60^\circ$ .

А. П. Сабин

M319. На плоскости заданы окружность $\gamma$ и точка $P$ внутри нее. Рассмотрим множество тетраэдров $ABCD$ , у которых все четыре грани конгрузить, причем треугольник $ABC$ виссан в окружность $\gamma$ так, что его медианы пересекаются в точке $P$ .

a) При каком положении точки $P$ внутри $\gamma$ также тетраэдры существуют?

Докажите, что вершины $D$ таких тетраэдров расположены в одной из двух фиксированных точек пространства (симметричных относительной плоскости).

И. Ф. Шарыzin

М320*. Какие выпуклы $n$ -угольники можно разбить на треугольники так, чтобы никакие два из треугольников разбиения не имели общих (полностью совпадающих) сторон? (На рисунке 1 показано, что треугольник так разбит можно.)

А. Печковский

Ф328. Жесткие стержни длины $l_1$ и $l_2$ соединены шарнирно в точке $A$ . Их свободные концы удаляются друг от друга равномерно со скоростями соответствующего $v_1$ и $v_2$ , направленных вдоль одной прямой (рис. 2). Найти ускорение точки $A$ в тот момент; когда стержни составляют друг с другом угол $90^\circ$ . Движение стержней проискот в одной плоскости.

Б. Б. Буховцево

Ф329*. Многие из вас, по-видимому, замечали, что в тот момент, когда вы ступаете на мокрый песок, он светлелет. Это связано с тем, что песок становится суше. Но как только вы забираете ногу, след, оставленный ногой, немедленно заполняется водой. Объясните это явление.

Ф330. В цилиндре под невесомым поршнем площади $S$ находится воздух при atmosферном давлении $p_0$ и температуре $T_0$ . Внутренний объем цилиндра разделен на две равные части неподвижной горизонтальной перегородкой с маленьким ответием. На поршень кладут груз массой $M$ , под действием которого поршень доходит до перегородки. Найти температуру воздуха внутри цилиндра, если стенки цилиндра и поршень не проводят тепло.

Б. А. Луговцово

Ф331. Плоская спираль с очень большим числом витков $n$ и наружным радиусом $R$ (рис. 3) находится в однородном магнитном поле, перpendикулярном к плоскости спирали и изменяющимся по закону $B = B_0 \cos \omega t$ . Найти э. д. с. индук-

цини, наводному в спирали. Расстояние между витками спирали постояно.

Г. Л. Комкин

Ф332. Найти расстояние между источником света $S$ и его изображением в оптической системе, приведенной на рисунке 4. Фокусные расстояния линии $A$ и $B$ одинаковы и равны $F$ .

В. Г. Сербо