Новосибирский государственный университет

48

Новосибирский государственный университет

Мы уже писали о Новосибирском государственном университете (см. «Квант», 1973, № 5). Расскажем теперь более подробно о механико-математическом факультете НГУ.

Выпускники этого факультета имеют глубокие знания в таких фундаментальных областях математики, как математический анализ, алгебра и логика, дифференциальные уравнения. Они могут принять активное участие в разработке новых направлений в технике и научных методов, необходимых для решения важных народнохозяйственных задач.

Механико-математический факультет НГУ имеет два отделения: отделение математики и отделение прикладной математики и механики.

Отделение математики готовит специалистов по следующим разделам: дифференциальные уравнения и уравнения математической физики, теория функций и функциональный анализ, математическая логика, программирование, алгебра, геометрия и топология, теория вероятностей, математическая экономика, вычислительная математика.

Специализация студентов отделения математики концентрируется вокруг основных направлений современной математики.

Отделение прикладной математики и механики готовит специалистов по следующим разделам: гидродинамика, газовая динамика, теория упругости и пластичности, динамическая метеорология, математическая геофизика, вычислительная математика, теоретическая кибернетика.

Студенты отделения прикладной математики и механики получают широкое математическое образование и овладевают основами ряда прикладных дисциплин; они приобретают навыки в постановке и решении задач, возникающих в различных областях техники.

Ниже приводятся варианты письменного вступительного экзамена 1974 года по математике и физике на факультетах НГУ.

Математика

Механико-математический, физический и экономический факультеты

Вариант 1

1. Решить неравенство

$$2^{4x+2}\cdot4^{-x^2}-3\cdot2^{-x^2+2x+2}+5\geqslant0.$$

2. Из точки вне окружности проведены касательные и секущая, причем точки касания и точки пересечения секущей с окружностью являются вершинами некоторой трапеции. Найти отношение оснований трапеции, если известно, что угол между касательными равен $60°$.

3. Решить уравнение

$$\sqrt{\cos2x-\sin4x}=\sin x-\cos x.$$

4. При каких вещественных $a$ система

$$\begin{cases}x^2=y^2=z^2,\\x+y+z=3a,\\xy=z-\dfrac{4}{9}\end{cases}$$

имеет вещественные решения, удовлетворяющие условию $xyz\geqslant0$? Найти эти решения.

5. В треугольной пирамиде $SABC$ ребро $SA$ перпендикулярно к плоскости треугольника $ABC$, $AC=CB=a$, $AS=AB=\,=a\sqrt2$. Через середину ребра $AC$ проведена плоскость, перпендикулярная к ребру $SB$. Найти расстояние от вершины $A$ до этой плоскости.

Вариант 2

1. Решить неравенство

$$5\cdot9^{2x+2}\cdot3^{x^2-1}-2^4\cdot3^{\frac{x^2}{2}+1}\cdot9^x+1\leqslant0.$$

2. В трапеции $ABCD$ боковая сторона $CD$ перпендикулярна к основанию $AD$, $BC=a$, $AD=b$, $a<b$. На основании $AD$ существует такая точка $M$, что $MB$ перпендикулярно к $AC$, а $MC$ перпендикулярно к $BD$. Найти высоту трапеции.

3. Решить уравнение

$$\dfrac{\sin x-\cos3x}{1+\sin3x}=\dfrac{1}{2}.$$

4. Для каких вещественных $m$ оба корня уравнения

$$2y^2-(3m+1)y+m^2+m=0$$

удовлетворяют неравенству

$$y^2-my-3m-1\geqslant0?$$

5. В основании пирамиды $SABC$ лежит прямоугольный треугольник $ABC$. Ребро $SB$ перпендикулярно к плоскости основания, $SB=AB=AC=a$. Через середину $AB$ перпендикулярно к $SC$ проведена плоскость. Найти площадь сечения.

49

Факультет естественных наук (специальности: химия, биология) и геологический факультет

Вариант 3

1. Решить неравенство $(0,05)^{-\log(x-0,25)}x \geq (2\sqrt{5})^{\log(x-0,25)}(4x-1)$.

2. Около окружности радиуса $R$ описана равновесная трапеция. Найти ее площадь, если известно, что расстояние между точками касания окружности с боковыми сторонами равно $R\sqrt{3}$.

3. Решить уравнение
   $$\sin x - \cos x = \sqrt{4-3(\sin x + \cos x)}$$.

4. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y+z} = \frac{1}{a}, \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{x+z} = \frac{1}{b}, \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{x+y} = \frac{1}{c}. \end{cases}$$

5. Дан куб $ABCDA'B'C'D'$. Точка $M$ — середина ребра $AA'$, а точка $N$ — середина ребра $A'B'$. Плоскость, проведенная через точки $M$, $N$ и $C$, разбивает куб на две части. Найти отношение объемов этих частей.

Вариант 4

1. Решить неравенство
   $$\left(\frac{1}{8}\right)^{\log(x+2)|x-2|} \leq (2\sqrt{2})^{-\log(x+2)}(11-2x)$$.

2. Угол $ABC$ равен $60^\circ$, причем $AB = BC = a$. Окружность $O_1$ касается $AB$ в точке $A$, а окружность $O_2$ касается $BC$ в точке $C$, кроме того, эти окружности касаются друг друга внешним образом. Найти радиус окружности, если известно, что их отношение равно двум.

3. Решить уравнение
   $$tg x + ctg x = 2(\sin 2x + \cos 2x).$$

Рис. 1

Рис. 2. Рис. 3.

50

Пис. 4.

Пис. 5.

Пис. 6.

Пис. 7.

Пис. 8.

Пис. 9.

ния определенной частоты с помощью динамика $D_1$, установленного на одном из ее концов. Длина трубы изменяется при перемещении поршня $P$. На боковой стенке трубы находится микрофон $M$, сигнал с которой через успilitель $Y$ подается на диамик $D_2$. Объяснить, почему при перемещении поршня изменяется сила звукового сигнала диамик $D_2$. Можно ли этот эксперимент использовать для определения параметров колбаательного процесса в трубе? Возможно ли определение свойств среды, в которой распространяется звуковые волны (скорость звука, плотность,…)? (5)

2. Катяшийся без просkalывания по горизонтальной плоскости обруч массы $m$ сталкивается с вертикальной стенкой и приплпает к ней. Найти количество телла, которое выделилось при стolkновении, если центр обруча двигаля со скоростью $v$. (4)

3. Цилиндр радиуса $R$, лежащий на подставке, разрезан пополам по вертикальной плоскости, проходящей через его ось (рис. 2). Все каждой половины цилиндра $P$, а центры тяжестеих находятся на расстоянии $a$ от оси цилиндра. Чтобы цилиндр не распался, через него перекинули нить с одинаковыми группами на концах. Тренние пренебрежимо мало. Найти минимальный вес грузов, не допускающий распада. (4)

4. Под водой находится полая двояковогнутая линза, имеющая в воде фокусное расстояние $F$ (рис. 3). На нее сизу падает паралельный пучок света. Показатель преломления воды $n$. Линза расположена на расстоянии $l (l < F)$ от поверхности воды паралельно этой поверхности. Найти, на каком расстоянии от линзы соберутся лучи. Считать, что для любых лучей угол между лучом и оптической осью мал, то есть таков, что $tg\alpha \approx \sin\alpha$. (5)

5. В цилиндрическом сосуде под невесомым поршнем находится насыщенный пар при температуре $T$. Определить, какая масса пара сконденсировалась, если при вдвигании поршня совершена работа $A$. Молекулярный вес пара $μ$, газовая постоянная $R$. (6)

6. В четырехлектронной лампе с плоскими паралельными электродами заданы одинаковая площадь электродов $S$ и расстояния от κατάда $K$ до: анода $A - l$, сетки $G_2 - a$, сетки $G_1 - b$. Анодное напряжение $u_1$, между сеткой $G_2$ и катодом $K$ напряжение $u_2$ (рис. 4). Найти заряд на сетке $G_1$, когда ток через лампу прекратиется. (8)

Вариант 2

1. См. задачу 1 из варианта 1.
2. Сосуд заполнен двумя несмещивающими жидкими с плотностями $\rho_1$ и $\rho_2$ (рис. 5). На границе раздела жидкости плавает куб с длиной ребра $l$. Найти глубину погружения куба в жидкость с плотностью $\rho_2$. Плотность куба $\rho (\rho_2 > \rho > \rho_1)$. (3)
3. Найти сопротивление между соседними вершинами проволочного куба (рис. 6).

51

Сопротивление каждого из ребер равно $R$. (4)

4. Острие конуса с углом $2\alpha$ расматривают через лупу с фокусным расстоянием $F$, расположенную на расстоянии $a$ от вершины конуса ($a < F$) (рис. 7). Каким виден угол конуса через лупу? Ось линзы проходит через ось симметрики конуса. (6)

5. В прямогольном сосуде длиной $2l$ с непроницаемыми стenkами нахождения слева тяжелая жидкость (например, рутуб), отделенная подвижным тонким поршнем от воздуха в правой части сосуда (рис. 8). В начальной момент поршень нахождения в равновесии и делит объем сосуда пополам. На сколько смещается поршень вправа, если абсцилтная температура системы уменшается в три раза? Тепловым расшиRENем руту и стенок соуда, а также тренем пренебречь. (7)

6. Две частицы с массами $m$ и $M$ и противоположными зарядами под влиянием взаимного электрического прияжения движения по окружности. Скорость частицы с массой $m$ мгновенно увеличивается, не изменяя ее направления. В какое минимальное число раз нужно увеличить скорость, чтобы частицы после этого разлетлись неограниченно дальше друг от друга? (8)

Вариант 3

1. Собрана экспериментальная установка, схема которой приведена на рисунке 9. От генератора $\exists\Gamma$ звуковых частот синусоидальное направление подается на диамикк Д и на горизонтальное отклоняющее пластны электронологической трубки $\exists\Lambda\Gamma$. На вертикальное отклонящее пластны $\exists\Lambda\Gamma$ подается сигнал с микрофона $M$, который является приемником звуковых колебаний, возбуждаемых диамикком Д. Объяснить причину изменений, наблюдаемых на экран $\exists\Lambda\Gamma$ при перемещении микрофона $M$ относительно диамикка Д. Нельзя ли использовать этот эксперимент для определения скорости звука? (5)

2. Светящаяся лампочка висит на высоте $h$ над точкой стола $O$. На каком расстоянии от точки $O$ освещность стола в $n$ раза меньше, чем в точке $O$? (3)

3. Два электроноводящих веществ поршня плошади $S$ образуют плоский конденсатор, заполненый воздуха при атмосферном давлении $p_a$ (рис. 10). Во сколько раз изменится расстояние между поршнями, если их зарядить разноменными зарядами $Q$? Система хорошего провода тепло. Треннем можно пренебречь. (5)

4. На горизонтальной поверхности расположены закрепленный заряд $Q$ и на расстояния $r_0$ от него масса $m$ с одномименным зарядом $q$, которая может перемещаться вдоль поверхности с коэффициентом трения $k$. В начальной момент масса $m$ покопалась, а затем начала движаться под действием закрепленного заряда. На каком расстоянии от заряда $Q$ она оставится? Ускорение силы тяжестки $g$. (6)

5. Половник с тяжелой жидкостью аккуратно подвесился за конец ручки. Черпалка половника — полусфера радиуса $R$, а ручка, касательная к полусфере, имеет длину $l$ (рис. 11). Пренебрегая весом половника, найти объект жидкости останется в половнике. (6)

6. В вертикальной трубке радиуса $R$, заполненной жидкостью плотности $\rho_0$, нахождение цилиндра радиуса $r$ и длины $l$, причем $l \gg R$ (рис. 12). Плотность цилиндра $p$. Пренебрегая влиянием концов цилиндра, определять скорость и ускорение в зависимости от проиденго цилиндром расстояния $h$, если в начальной момент цилиндр покопился. Ускорение силы тяжестки $g$. Тепловыми потерями пренебречь. (9)

Г. В. Меледин,
А. И. Ширцов