Электростатическое поле

41

Электростатическое поле

Задчи раздела «Электростатика» имеет много общего с задачами на развовесе тел в механике, но есть между ними и принципальные различия. Отличие электростатических задач от механических состоит, прежде всего, в том, что для описания взаимодействия электростатических зарядов вводится особое понятие — электростатское поле, а также новые величины для количественной характеристики этого поля — напряженность и потенциал. Если электростатское поле создается неподвижными зарядами, то говорят об электростатическом поле и соответствению о напряжности и потенциале электростатического поля.

Цель данной статьи — обратить внимание читателей на наиболее трудные вопросы, связанные с понятием электростатического поля, и предоставить от возможных ошибок.

Напряжность поля

Прежде всего, нужно прививку к обращению с этой величины, научиться ее вычислять в различных случаях. В этом очередь помогает принцип суперпозицини полей *). Достаточно знать формулу для напряжности поля точного заряда, для того чтобы вычислить напряжность поля заряженного тела с произвольной распределением в про-
*) См., например, статью Л. П. Баканной и С. М. Козела «Прицип суперпозицини в электростатике», «Квант», 1973, № 3.

странстве зарядом. Заряжение тела можно рассматривать как совокупность точных зарядов. Суммируя геометрические поля отдельных зарядов, можно найти напряжность поля в любой точке. Правда, вычисление этой суммы иногда оказывается весма сложной математической задачей.

Не менее важно уменьшить свойства понятным силовых линей, дающих качественный картину распределения поля в пространстве. На многое вопросы можно ответить, отчетливо представляя себе, как идут силовые линей.

Интересно заметить, что значение размерностей напряжности поля и электростатого заряда позволяет в ряде случаев с точностью до числового коэффициента зависимости напряжности поля от расстояния.

Часто при решении задач на электростатике используется тот факт, что напряжность поля внутри проводника равна нулю, и электростатическое поле не проникает сквозь проводник. Это означает, что геометрическая сумма полей всех зарядов в любой точке внутри проводника обращается в нуль. Отсюда можно делать выводы и о соответствии распределения зарядов в пространстве.

Основной закон электростатики — закон Кулона — очень похож на закон всемирного тяготения. Это, конечно, облегчает решение ряда электростатических задач. Однако, нужно помнить и о различных этих

42

законов: наряду с прияженем разноименных зарядов существует и отталкивание одноменных зарядов. Поэтому при вычислении напряжности поля надо обозначать учтывать знаки зарядов.

Следует избегать также часто повторяемого неверного утверждения от том, что электрические нейтральная в целом системе не создает вовсе электрического поля. Напряженность поля нейтральной системы, состоящей из положительных и отрицательных зарядов, вне системы не равна нулю. Правда, она убивает с расстоянием города быстрее, чем напряженность поля заряженного тела.

Рассмотрим несколько конкретных задач.

Задание 1. Может ли мощный электрический заряд, помещенный в электросетчатское поле, находиться в состоянии устойчивого равновесия, необходимо, чтобы при смешении заряд в любом направлении на него действовать сила, возвращающая заряд в положение равновесия. Следовательно, силовые линии поля должны сходиться в точке, где расположен заряд. Но силовые линии электросетчатского поля начинаются на положительных зарядах и оказываются на отрицательных. В точке же, где расположен распматриваемый заряд, отрицательных зарядов нет, и, следовательно, силовые линии внешнего по отношению к заряду поля не могут сходиться в точке, где он расположен.

Задание 2. Зная размерность напряжности электрического поля, найти (с мощностью до числового коэффициента) напряженность поля бесконечной плоскости, находящаяся в вакууме и имеющей плотность поверхности заряда σ.

Напряженность электрического поля в точке, отстоящей на расстоянии R от пластны, может стать только от σ и R. Согласно принципу суперпозицини зависимости от должана быть линейной, то есть E = |σ| f(R), где f(R) — неизвестная функция. Размерности напряжности E и плотности заряда σ соответственно

$$[E] = \frac{[q]}{[\varepsilon_0] [R^2]} \text{ и } [\sigma] = \frac{[q]}{[R^2]}.$$

Позному E = \frac{k |\sigma|}{\varepsilon_0}, где k — безразмерный коэффициент. От расстояния напряжности поля не зависит. Точные расчеты дают для коэффициента k значение $1/2$.

Задание 3. На рассмотрении d от большой проводящей пластины максимальной мощный электрический заряд + q. С какой силой действует на него пластина?

Под влиянием заряда + q на пластине появляется наведенные отрицательные заряды. Они распределяются по поверхности пластины таким образом, что результатующая напряжение электрического поля, созданного этим зарядами и зарядом + q, внутри пластины равна нулю (индивидуальные положительные заряды уходят на удаленные края пластины, и их влиянием можно претензить). Поскольку пластина большая, величина суммарного наведенного заряда практически равна модulo заряду + q. Справа от пластины (рис. 1) электрическое поле создается точным зарядом + q и распределенным по поверхности пластины наведенным отрицательным зарядом — q. Слева электрическое поле отсутствует (эффект электросетчатской защиты).

Представим себе, что мы помещили слева от пластины на расстоянии d точный отрицательный заряд — q (заряд-изображение). Он наведет налевой поверхности пластины положительные заряды, которые распределятся по ней точно так же, как отрицательные заряды на правой поверхности. При этом электрическое поле справа от пластины не

43

изменится (опять действует электростатическая зашита).
Можно сказать, что справа от пластины поле создается двумя точными зарядами +q и —q и зарядами (отрицательными и положительными), индуцированными на обеих сторонах пластины. (В самом деле суммарная направность электрического поля от точного отрицательного заряда и наведенных положительных зарядов равна нулю.) Если пластина тонкая (ее толщина мала по сравнению с расстоянием d), то направность поля наведенных зарядов вне пластины равна нулю.

Таким образом, оказывается, что справа от пластины электрическое поле, создаемое зарядом +q и наведенных отрицательными зарядами, совпадает с полем, созданым двумя точными зарядами +q и —q, находящимся на расстоянии 2d друг от друга (рис. 2). Это означает, что направность поля индуцированных зарядов в точке, где находится заряд +q, равна направности поля точного заряда —q.

Рис. 2. Синним цветом показаны эквивалентные поверхности.

44

Рис. 3.

равна

$$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{4d^2} = \frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0 d^2}.$$

Задача 4. Свойства электрическо-динамия (системы из двух мощных зарядов +q и -q, находящая на расстоянии l друе от друга) характеризуются его электрическим моментом p = ql.

Найти направность поля электрическо-динамия с моментом p в мощке, отстояющей от центра оси динамия R >> l, в двух случаях:

1. мощка лежит на прямой, проходящей через ось динамия;
2. мощка лежит на прямой, перпендикулярной к оси динамия.

В первом случае, как это видно из рисунка 3, направность в точке A равна

$$E_A = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left\{ \frac{1}{(R-l/2)^2} - \frac{1}{(R+l/2)^2} \right\}.$$

Так как R >> l, то

$$\frac{1}{(R-l/2)^2} - \frac{1}{(R+l/2)^2} \approx \frac{2l}{R^3}.$$

Следовательно,

$$E_A \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2q l}{R^3} = \frac{2p}{4\pi\varepsilon_0 R^3}.$$

Во втором случае (см. рис. 3) направность поля, создаанного как

$$E_1 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{1}{R^2 + l^2/4}.$$

Суммарный вектор направности $E_B$ направлен по оси диполя. Его величины равна

$$E_B = 2E_1 \sin \alpha = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \times \frac{q l}{(R^2 + l^2/4)^3} \approx \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 R^3}.$$

Заметим, что в обих случаях направность убивает как $\frac{1}{R^3}$, то есть быстрее, чем направность точного заряда (пропорциональная $\frac{1}{R^2}$).

Потенциаль и потенциальная энергия

Смыть больше трудности при решении электростатических задач обычно возникают при использовании понятия потенциальа. Потенциаль — энергетическая характеристика поля, и задачи с использованием понятия потенциальа — это премиущественное задачи на закон сохранения энергии.

Применение закона сохранения энергии в механике вызывает значительные затруднения главным образом из-за сложности понятия потенциальной энергии взаимодействия тел *). В электростатике мы встречаемся с новым видом потенциальной энергии. Причем из-за наличия зарядов противоположных знаков потенциальная энергия П и , следовательно, потенциаль $\varphi = \frac{\Pi}{q}$ могут быть как положительными, так и отрицательными.

Наряду с взаимодействием заряженных тел какое заряжение тело обладает собственной энергейой, которая представляет собой энергию взаимодействия

*) См. статью Г. Я. Мя к и ш в а «О законе сохранения энергии в механике», «Квант», 1974, № 3. (Прим. ред.)

45

частей заряженного тела друг с другом. Например, собственная энергия заряженного шара радиуса $R$ равна
$$\Pi=\frac{q^2}{2C}=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} \quad (q — \text{заряд шара}).$$
При взаимодействии заряженных тел может изменяться не только их взаимная потенциальная энергия, но и собственная энергия каждого тела.

Необходимо иметь в виду, что потенциальная энергия и потенциал определяются с точностью до постоянной. Значение этой постоянной зависит от выбора нулевого уровня потенциальной энергии. Обычно начало отсчета потенциальной энергии выбирают таким, чтобы постоянная была равна нулю. Выбирать можно произвольно, но, выбрав нулевой уровень для данной задачи, в дальнейшем при решении задачи его уже менять нельзя.

Часто при решении задач используется тот факт, что все точки проводника имеют один и тот же потенциал. Действительно, напряженность поля внутри проводника равна нулю, и при перемещении заряда внутри проводника работа не совершается. Типичная ошибка, которую довольно часто допускают, такова: выбирают постоянный потенциал внутри проводника равным нулю и забывают, что тогда уже нельзя считать потенциал заряженного тела на бесконечности нулевым (именно в бесконечности чаще всего выбирается нулевой уровень потенциальной энергии, а значит, и потенциала).

Теперь продолжим рассмотрение конкретных задач.

З а д а ч а 5. Чему равен потенциал в центре проводящей сферы радиуса $R$, несущей заряд $q$?

Напряженность электрического поля внутри сферы равна нулю. Следовательно, разность потенциалов между любыми двумя точками внутри сферы или на ее поверхности равна нулю. Другими словами, потенциал в произвольной точке внутри сферы, а значит, и в центре сферы равен потенциалу поверхности сферы,

то есть
$$\varphi_0=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R},$$
если потенциал на бесконечности считать равным нулю.

З а д а ч а 6. Положительный заряд $+q_0$ равномерно распределен по тонкому проволочному кольцу радиуса $R$. В центре кольца находится точечный заряд $-q$, масса которого $m$.

Заряду сообщается начальная скорость $v_0$ вдоль оси кольца. Определить характер движения заряда в зависимости от величины начальной скорости. Кольцо неподвижно.

Полная энергия заряда в начальный момент равна сумме кинетической энергии и потенциальной энергии в электростатическом поле кольца:
$$E_{\text{пол}}=\frac{mv_0^2}{2}-\varphi_0 q=\frac{mv_0^2}{2}-\frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0 R},$$
так как потенциал в центре кольца
$$\varphi_0=\frac{q_0}{4\pi\varepsilon_0 R}$$
(это непосредственно следует из принципа суперпозиции).

При $E_{\text{пол}}\geqslant 0$ заряд уйдет в бесконечность. Причем его скорость на бесконечно большом расстоянии будет равна нулю, если $E_{\text{пол}}=0$. Если $E_{\text{пол}}>0$, скорость заряда на бесконечно большом расстоянии от кольца равна
$$v=\sqrt{v_0^2-\frac{qq_0}{2\pi\varepsilon_0 Rm}}.$$

Если же $E_{\text{пол}}<0$, то заряд будет совершать периодическое движение вдоль оси кольца. Наибольшее расстояние $r$, на которое при этом удалится заряд от центра кольца, можно найти из закона сохранения энергии:
$$\frac{mv_0^2}{2}-\frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0 R}=-\frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0 \sqrt{R^2+r^2}}.$$
Отсюда
$$r=R\sqrt{\dfrac{1}{\left(\dfrac{2\pi\varepsilon_0 mv_0^2 R}{qq_0}-1\right)^{2}}-1}.$$

45

47

ИЗ научного юмора, или электричесво и жизнь

(Начало см. с. 18, 24)

Какую работу против сил поля должны совершить босоногие участники эксперимента, чтобы против 5 м в противоположных направлениях? Для числовых расчетов можно взять площадь поверхности дисков, равную 5 $\partial m^2$, а первоначальное расстояние между ними — 0,5 см.

Следует сделать еще несколько замечаний. Если мальчики босые, то есть у них хороший контакт с землей, и если из-за джедра у них хороший контакт и с медными дисками, то конденсатор просто не удестся зарядить плоскольку независяimo от расстояния между дисками заряд будет сразу же стекать в Землю через мальчиков. При этом вероятность поражения электричесим током зависит от многих факторов, например от состояния кожи (из всех частей организации она обладает наиболее направленный соединиот внешнюю и внутреннюю сферы. Определить заряд $q_1$ внешней сферы после соединения.

Два одноменных точных заряда $q_1$ и $q_2$ с массами $m_1$ и $m_2$ движутся навстречу друг другу. В момент, когда расстояние между зарядами равно $r_1$, они имеют скорости $v_1$ и $v_2$. До какого минимального расстояния $r_2$ близятся заряды?

Маленький пластмассовый шарик массой $m=3 \cdot 10^{-15}$ кг падает в воздухе с постоянной скоростью $v_1=10^{-4}$ м/с. Чему равен заряд шарика, если в электричесном поле с направлением $E=2,8 \cdot 10^5$ в/м, направленной вверх, он поднимается с установленшей скоростью $v_2=2 \cdot 10^{-4}$ м/с? Сила сопротивления воздуха примо пропорциональна скорости шарика.

Две проводящие электричесные сферы заряжены так, что внутренняя имеет потенциаль $\phi_1$, а внешняя $\phi_2$. Какой потенциаль будет иметь внутренняя сфера, если обе сферы соединить проводником?