Математические игры на шахматной доске

54

Е.Я. ГИК

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ НА ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

Шахматная игра создавалась на про­тяжении многих веков, и ее правила неоднократно менялись. Однако с точ­ки зрения математики движение шах­матных фигур и форма доски имеют весьма условный характер. Сущест­вует множество самых разнообраз­ных игр на прямоугольных досках, теория которых занимает значитель­ное место в математической литера­туре. Одних только шашечных игр известно больше десятка: русские, стоклеточные, шашки Ласкера (см. «Квант», 1970, № 4), поддавки, уголки и другие. Даже современные шах­маты имеют много разновидностей. Например, М. Гарднер в книге «Ма­тематические головоломки и развле­чения» (М., «Мир», 1971) рассказы­вает о японских шахматах (соги), китайских (цюнь ки) и корейских (тьян кеуи). Сейчас мы остановимся на некоторых играх и задачах (со­держащих математические элементы), в которых доска или правила игры отличаются от обычных.

До первого шаха

В этой игре все как в настоящих шахматах, только побеждает не тот, кто «первым» дает мат, а тот, кто пер­вым объявляет шах. При обычной начальной позиции белые форсиро­ванно побеждают, причем не позднее пятого хода:

1. Кb1—c3. Грозит выпад конем на e4, d5 или b5 с неизбежным ша­хом, у черных единственный ответ: 1 … e7—e6. Теперь после 2. Kc3—e4

Кре8—e7 второй конь с решающим эффектом вступает в игру: 3.Kg1—f3 Фd8—e8 4. Kf3—e5 и шах следую­щим ходом.

Чтобы «оживить» игру, следует каким-либо образом изменить на­чальную позицию, например, пере­двинув белую пешку с c2 на c3, а черную с c7 на c6. Теперь невозмож­но 1. Kc3, а значит, и весь указан­ный вариант. Форсированного вы­игрыша уже не видно, например: 1. Фb3 d5! 2. Фb4 Фd6! 3. Фa4 Cd7 4. Фh4 Kf6, и черный король надеж­но защищен.

Двухходовые шахматы

В этой игре каждый ход белых и черных состоит из двух обычных. По-видимому, она ничуть не проще настоящих шахмат. Тем удивитель­нее, что удается доказать следующий неочевидный факт: при правильной игре в двухходовые шахматы белым, по меньшей мере, гарантирована ничья.

Вот доказательство, приведенное в не­которых источниках. Предположим против­ное: пусть при наилучшей игре обеих сторон белые проигрывают. После 1. Кb1—c3—b1 сохраняется начальная позиция, а первый ход уже принадлежит черным. Фактически теперь черные играют белыми и, по предпо­ложению, проигрывают. Противоречие.

Это доказательство не совсем точно. После первого хода белых позиция действитель­но повторяется, но ситуация иная! Так, после 1…Кg8 — f6 — g8 2. Кb1 — c3 — b1 бе­лые еще не могут требовать ничью, а черные могут, поскольку 2…Кg8 — f6 — g8 приво­дит к троекратному повторению исходной по­зиции при ходе белых. Таким образом, нельзя

55

считать, что после 1.K b1 — c3 — b1 «черные играют белыми» — возможно сторонные зоны. Кстати, аналогичный пример можно привести и на правило 50 ходов.

Приведем теперь строгое доказательство. По-прежнему считаем, что черные при безукоризненной игре обеих сторон выигрывают. Будем играть одновременно на двух досках. На первой подdem 1.K b1 — c3 — b1, а ответный ход черных воспроизведем на второй доске со стороны белых. Затем ответ черных на второй доске повторим на первой за белых, ход черных на первой — за белых на второй и т. д. По нашему предположению, черные выигрывают и, значит, наступит момент, когда на первой доске своим очередным ходом они обьявят мат белому королю. Но тогда на второй доске при повторении этого хода за белых возникнет позиция, в которой mat получает черный король! Но ведь черные и на второй доске играли безшибочно — противоречие.

Приведенное доказательство, как говоря математики, неконструтивно. Мы доказали, что белые могут не проиграть в двухходовые шахматы, но не выяснили, как им нужно играть. Более того, если будет найден форсированный выигрыш за белых (как, например, в игре «до первого шаха»), то тогда, оченьindo, первый ход 1. Кb1 — c3 — b1 проигравает. Таким образом, не исключено, что нашей доказательство безпроигрывности белых проведено с помощью проигрывшего хода!

Шахматы без цугшанга

Если в обычной партии возникает такая позиция, что любой наш ход проигравает, то мы говорим о цгушанге (если проигравает и любой ход партера, то цугшанг взaimный). Шахматы без цугшанга отличаются от обычных добавлением одного ход — хода на месте. В них цугшанга не былает, так как всегда можно передать очередь хода партера.

Приведенное выше доказательство того, что при правильно игре белым гарантированна ничья, полностью проходит и для шахмат без цугшанга. Однако, в отличие от двухходовых шахмат, поиск непредставленного мата здесь безнадежен! Напомним, что в настоящих шахматах, где шансы белых, судя по статистике, заметно выше, вовсе не доказано, что даже при наилучшей игре им обеспечена хотя бы ничья.

Средние студентов mexmata МГУ популяристую пользоваться следующая игра в крестики и полники. На клетчатой бумаге произвольной формы (хоть «бесконечной») две по очереди ставят крестики и полники.

Рис. 1. Эндшпиль в поддавки.

Побеждает тот, кто первым ставит пять своих значков подряд (по вертикали, горизонтали или диагонали). Аналогично двойным шахматам и шахматам без цугшанга, можно доказать, что и здесь начинающий при безупречной игре не проигравает. Правда, доказательство в данном случае сложнее, чем в шахматных играх.

Поддавки

Эта игра более популярина в шашках, однако и ее шахматный вариант весма интересен. Победителем в ней становится тот, кому удается отдель все свои фигуры. Взятие в этой игре обязательно (в том числе и короля, которое можно ставить под бой), а если возможно несколько взятый, то выбор произвольен. Кстати, гроссейстер Д. Бронштейн в шахматные поддавки играет не менее охотно, чем в настоящие шахматы.

Теория поддавков довольно ориентиальная и совершенно не похожа на законны обычных шахмат. Расстояние простейший эндшпиль (рис. 1). На доске всего две пешки, но посмотрите сколько тонкостей содержит позиция. 1. a2—a3! Но не 1. a4, так как белая пешка должна превращаться позже черной. 1…h6—h5 2. a3—a4 h5—h4. 3. a4—a5 h4—h3 4. a5—a6 h3—h2 5. a6—a7 h2—h1Л! Именно ладья, при других превращениях черной пешки (в ферзя, слона или коня) белые ставят ферзя, которое отделит сразу или на следующем ходу. 6. a7—a8C!! Только так, иначе черные легко отделут свою ладью. Тепер на любой ход черной

56

Рис. 2. Маршрут коня по всем полям объемной доски 4×4×4.

лады следует 7. Ca8—h1!, и белые избавляются от слона.

Предлагаем вам самостоятельное оценить одно окончание в игре в поддавки и решить один этап.

У пряженение 1. У белых пешка на d7, а у черных конь на f5 (других фигур на доске нет). Чем закончится игра в поддавки:
a) при ходе белых;
b) при ходе черных?
У пряженение 2 (X. Клювер и К. Фабель). Белый король на f3, у черных две фигуры — король на d7 и ферзь на c8. Белые начнают и проигрывают (то есть выигрывают в поддавки).

Шахматы на прямогольной доске
Многочисленные игры и задачи возникают при перехождение к прямогольным доском $m \times n$ при различных значениях $m$ и $n$. Большинство известных шахматно-mатематических задачи и головоломок о движении фигур, маршрутах, расстановках, силе фигур нетрудно перевести и на такие доски (см. «Квант», 1971, № 9; 10; 1973, № 1; 1974, № 6). Можно играть также на бесконечной и проективной шахматной доске (см. «Квант», 1974, № 3). Все эти доски, как и привчная шахматная доска, — плоские.

Объемные шахматы
В них играют на трехмерной доске, представляющей собой параллелепид $m \times n \times k$, единичные кубики которого образуют поля доски.

Хорошо известна задача, который занимается Эйлер: обойти конем все поля доски $8 \times 8$, посетив каждое из них по одному разу (см. «Квант», 1971, № 9). Расмотрим аналогичную задачу на объемной доске, состоящей, как и обычная, из 64 полей (кубков): обойти конем все поля объемной шахматной доски $4 \times 4 \times 4$, повышав на каждом из них по одному разу.

Доску удобно представить в виде четырех горизонтальных слоев, лежащих один на другом. На рисунке 2 изображены поверхности этих слоев, а сами слои занимаются. Для нахождения искомого маршрута достаточно указать такую нумерацию, при которой кубики с соседними номерами отстояют друг от друга на один ход коня. Такая нумерация возможна, она приведена на рисунке 2.

У пряженение 3. Найдите маршрут коня на поверхности объемной доски $8 \times 8 \times 8$. Здесь конь фактически перемещается по шести плоским доском. Основная трудность задачи состоит в сопряжении шести объектных маршрутов, для решения удобно воспользоваться разверткой куба.

Цилиндрические шахматы
Из общийной доски можно сделать, вообще говоря, две цилиндрические (см. также «Квант», 1970, № 5; 1971, № 8). Вертикальная цилиндрическая доска получается приклеиванием вертикали «a» к «h», а горизонтальная — приклеиванием вертикали к восемой.

57

4

Рис. 3. Мат в 1 ход.

Рис. 4. Мат в 4 хода.

При переходе к цилиндрической доске не удается решить некоторые задачи, имеющие решение на обычной доске. Например, известная задача о расстановке восьми ферзей, которой занимался Гаусс, имеет 92 решения на обыкновенной доске и ни одного на цилиндрической!

У п р а ж н е н и е 4. Доказать, что на цилиндрической доске нельзя расставить восемь ферзей так, чтобы никакие два из них не угрожали друг другу.

На рисунке 3 изображена начальная позиция сразу трех задач: и на обычной, и на двух цилиндрических досках имеется свое решение:

а) на обычной доске 1.Фе2—е8 мат;

б) на вертикальном цилиндре 1. Фе8 — лишь шах из-за ответа 1… Кра8—h7!, а к цели ведет 1. Фе2—g8 мат (белый ферзь прошел по маршруту е2—а6—h7—g8);

в) на горизонтальном цилиндре 1. Фе8+также ничего не дает из-за 1… Кра8—а1!, а решает 1. Фе2—а2 мат!

Тороидальные шахматы

Тороидальная доска получается в результате двойного приклеивания противоположных краев обычной доски.

Решим задачу, приведенную на рисунке 4. После 1. Фf5—h7! в распоряжении черных два ответа:

а) 1… Кре8—f8 (поля d1, e1 и f1 контролирует белый король с е2 — на торе действуют правила горизон-

тального цилиндра!) 2. Фh7—g6 Kpf8—e7 3. Kpe2—e1 Kpe7—d7 (теперь белый король с е1 держит поля d8 и f8) 4. Фg6—e8 мат!

б) 1… Кре8—d8 2. Фh7—с7+ Kpd3—e8 3. Kb5—h6! (конь идет по тору, как по вертикальному цилиндру!) 3…Кре8—f8 4. Фс7—е1 мат! (поля f7 и g8 держит белый конь, а остальные — ферзь).

Шахматы на необычных досках

Перечень шахматных игр на различных досках, получающихся из обычной при помощи геометрических преобразований, можно продолжить. Существуют многомерные доски, доска для игры двое на двое (на этой доске играют в так называемые «четверные шахматы») и «на троих» (здесь победителем становится тот, кто съедает обоих королей противников).

Можно играть на двух параллельных досках — на каждой из них правила обычные и, кроме того, фигурам разрешается перемещаться с одной доски на другую как в лифте. Если при склеивании доску перекрутить на пол-оборота, то вместо цилиндрической доски мы получим лист Мёбиуса! На нем фигура за один ход может очутиться на том же поле, но только с другой стороны!

Забавная доска изображена на рисунке 5, она экспонировалась на выставке французских авангардистов!

58

Сказки

В шахматной композиции задачи и игры с необычными правилами, на нестандартных досках и с необычными фигурами относят к жанру сказочных (или фантастических) шахмат. Мы уже рассказали о нескольких сказочных играх на необычных досках. Остановимся теперь на некоторых сказочных фигурах, имеющих наибольшую популярность.

Ряд сказочных персонажей получается при комбинировании обычных ходов ладьи, слона и коня. Возможны четыре комбинации: ладья+слон, (в этом случае получается ферзь), ладья+конь (канцлер), слон+конь (кентавр), ладья+слон+конь (магараджа или амазонка).

Магараджа — очень мощная фигура, значительно превосходящая по силе ферзя (попробуйте найти силу магараджи методом, описанном в «Кванте», 1974, № 6). С магараджей связана следующая популярная игра.

У одного игрока полный комплект фигур, стоящих на первоначальных местах, а у другого лишь одна магараджа, которую он ставит на произвольное поле. Магараджа проигрывает, если ее удастся съесть, и выигрывает, если дает мат неприятельскому королю.

В этой игре пешкам запрещено превращаться, так как в противном случае выигрыш слишком прост — достаточно провести обе крайние пешки в ферзи, после чего три ферзя и две ладьи без труда окружат магараджу. При сделанной оговорке магараджа оказывает упорное сопротивление, а неопытный игрок может и проиграть. И все же у играющего полным комплектом фигур имеется форсированный выигрыш. М. Гарднер в книге «Математические новеллы» (М., «Мир», 1974) предлагает план окружения магараджи, состоящий из 25 ходов. Однако цели можно добиться, по крайней мере, десятью ходами раньше.

Не обращая внимания на перемещения магараджи, белые делают под-

ряд следующие 14 ходов: a4, h4, Ла3, Лhh3, Кc3, Кf3, Лb3, Лg3, d4, Фd3, Фe4, Лb7, Фd5, Лg8 (легко видеть, что пока магараджа не могла съесть ни одной белой фигуры или дать мат). Теперь у магараджи имеются лишь два безопасных поля — a6 и f6. В первом случае она гибнет после 15.Cg5, а во втором — после 15.e4. Может быть, вы сумеете улучшить этот рекорд?

Упражнение 5. Расставить 10 магарадж на доске $10\times10$ так, чтобы они не били друг друга (на досках меньшего размера необходимым образом их расставить невозможно).

Рис. 5. Шахматная доска — экспонат выставки авангардистов.

Сказочные кони

Различные сказочные фигуры получаются из обобщенного коня $(a, b)$ при выборе тех или иных значений $a$ и $b$. Такой конь ходит на $a$ полей по одному из направлений и на $b$ полей по перпендикулярному. Для обычного коня $a=1$, $b=2$.

Конь $(1,3)$ называется верблюдом, $(1,4)$ — жирафом, $(2,3)$ — зеброй. Если одно из чисел $a$, $b$ равно нулю, то получается ладья, перемещающаяся на фиксированное число полей, если же $a=b$, то получается слон, обла-

59

даюший тем же свойством. Конь, совершаюший за один ход несколько скачков подряд, имеет «звание» садника. Интересной игре посвящена задача М268 (см. «Квант», 1974, № 6). В ней одной и той же фигурой один игрок ходит как обычным конем (с двойным ходом), а другой — как верблюдом. При этом конь оказывается хитреем верблюда!

Существует множество математических игра и задач с учетом сказочных фигур, все упомянутые выше темы (маршруты, расстановки, сила фигур и другие) легко переносится и на такие фигуры.

Шашмы

Эту игру, представляющую собой смесь шахмат и шашек, придумал американский математик С. Голомб, известный у нас своей игрой «полимино». В шашматы играют шахматными фигурами, но только на черных полях, (как в шашках). Объичный конь здесь не в состоянии сделать ни одного ход (он сразу же попадает на запрещенное белое поле), поэтому его заменяют верблюдом — конем (1,3), не меняющим цвет полей.

На рисунке 6 представлен один из замкнутых маршрутов верблюда по всем полям шашматной доски. Известно, что на шахматной доске можно расставить максимум 32 коня, не угрожающих друг другу (их можно поставить на все белые или на все

Рис. 6. Замкнутый маршрут верблюда на шашматной доске.

черные поля). Максимальное число «мирных» верблюдов на шашматной доске равно 16, то есть они также могут занять половину всех полей. Verблюдов можно поставить на поля со всеми четыыми или со всеми нечетными числами на рисунке 6. Таким образом, этот рисунок дает решение сразу двух задач на шашматной доске. Более подробный расссказ о шашматах (в частности, расстановку фигур перед началом партии) можно найти во второй из упомянутых книг М. Гарднера.

В заключение расссказем еще о нескольких сказочных фигурах, которые вообще уже ни на что не похожи! Сверчок ходит как ферзь, но перерыгивает через свои и чужие фигуры, оставливая сразу за ним. Лев, в отличие от сверчка, признается на любом свободном поле за перерыгнутой фигурой. Существуют неимпальные фигуры, которые могут играть и белые и черные. Бьюцим фигурам разрешается делать ход только со взятым. Бьюций конь называется zinnonomatom, а быющий фигур — dinozавром. Фигура dinломат сама не ходит, но и ее нельзя брать; мало того, около дипломата собственные фигуры неприкосновены! А фигура kamikadze (самоубийца) убирается с доски вместе со взятой фигурой!

Do six пор рech шла исключительно о фигурах. Однако и для пешек создано много разновидностей. Пешка-хамелеон при взятии непрятельской фигуры превращается в такую же фигуру, но своего цвета. Сверхнешка ходит на любое число полей по прямой и быет на любое число полей по диагонали. Пешка-макси ходит и вперед, и назад. Наконец, один раз в партии пешке можно разрешить превращение в «атомную бомбу». Эта фигура сразу же после появления ставится на любое поле доски и в радиусе r полей (число r заранее оговаривается) уничтожает все вокруг себя.