Задачи М416—М420; Ф428—Ф432

26

Задачи
M416 — M420; Ф428 — Ф432

M416. На плоскости даны $n$ точек $A_1, \dots, A_n$, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Какое наиболее число отрезков с концами в этих точках можно проверить так, чтобы не получилось ни одного треугольника с вершинами в этих точках?

A. Григорян, М. Примак, C. Фищбейн

M417. На поверхности куба с ребром 1 расположена замкнутая ломанная линия. На каждой грани куба находится по крайней мере одно звено ломанной. Докажите, что длина ломанной не меньше $3\sqrt{2}$.

B. Произвольов

M418. Докажите, что для любого натурального $n$ выполняются неравенства:

$$n \left( \sqrt[n]{n+1} - 1 \right) \leq 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \leq 1 + n \left( 1 - \frac{1}{n\sqrt{n}} \right).$$

M419. В круге радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что найдется колюс с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3, в котором лежат не менее 10 из данных точек.

A. Гейн

M420. a) Из дроби $\frac{a}{b}$ разрешается получить из трех дробей $\frac{a-b}{b}, \frac{a+b}{b}, \frac{b}{a}$. Можно ли таким преобразованиями из дроби $\frac{1}{2}$ получить дробь $\frac{67}{91}$?

6)* Из пары дробей $\left( \frac{a+b}{b}, \frac{c+d}{d} \right), \left( \frac{a-b}{b}, \frac{c-d}{d} \right),$

27

$\left(\frac{b}{a}, \frac{d}{c}\right)$. Можно ли из пары дробей $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{7}\right)$ получить следующие пары: $\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{9}\right); \left(\frac{1}{4}, \frac{3}{8}\right); \left(\frac{4}{5}, \frac{7}{8}\right); \left(\frac{5}{19}, \frac{13}{50}\right); \left(\frac{39}{50}, \frac{60}{77}\right)$? (Здесь мы рассматриваем дробь $a/b$ просто как пару взаимно простых чисел: допускаются «дроби», у которых в числе или значенте слоя отрицательные числа или нуль.) в*) Постарейтесь выяснить, какие вообще дроби (соответственно пары дробей) можно получить из данных в задачах a) и 6).

Г. Гуревич, Б. Макаревич

Ф428. Сфера радиуса $R = 0,5$ м врашается вокруг ее вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью $\omega = 5 \text{rad/сек}$ (рис. 1). Вместе со сферой на ее внутренней поверхности врашается небольшое тело, находящееся на высоте, равной половине радиуса.

1. Определить минимальное значение коэффициента треня, при котором это состояние возможно.
2. Определить минимальное значение коэффициента треня, если угловая скорость сферы равна $\omega = 8 \text{rad/сек}$.
3. Исследовать устойчивость состояния в случае вышенайdenных значений коэффициента треня при: a) малых изменениях положения тела; b) малых изменениях угловой скорости сферы.

Ф429. Степки цилиндра, поршень и внутренняя перегородка площадью $1 \text{dm}^2$ изготовлены из телоизолционного материалов (рис. 2). Клапан в перегородке открывается в том случае, если давление справа больше давления слева. В начальном состоянии в левой части цилиндра длиной $11,2 \text{dm}$ находится $12 \text{гелия}, в правой части, имеющей ту же длину, —$2 \text{гелия}, с обеих сторон температура равна $0^{\circ}\text{C}$. Внешнее давление равно $10^5 \text{н/м}^2$. Удельная темперакость тела при постоянном объеме $c_V = 3,15 \cdot 10^3 \text{дж/(кг·эрад)}$, а при постоянном давлении $c_p = 5,25 \cdot 10^3 \text{дж/(кг·эрад)}$.
Медленно передвигаем поршень по направлению к перегородке (с небольшой остановкой в момент открытия клапана) и отсоржно доводим поршень до перегородки. Чему равна произведение нами работа?

Ф430. На рисунке 3 показана простейшая схема выпрямителя. Диод считается идеальным: его сопротивление в прямом направлении равно нуль, в обратном — бесконечно велико. Во сколько раз изменяется мощность, выделяемая на сопротивление

29

М378. Докажите, что существуют бесконечное многонамеральные числа, не представимых в виде
a) $x^3 + y^3 + z^3$, где $x, y, z$ целые числа;
b) $x_1^n + x_2^n + \dots + x_n^n$, где $x_1, \dots, x_n$ не натуральные числа.
b) Докажите, что любое рациональное число можно представить в виде $x^3 + y^3 + z^3$, где $x, y, z$ не рациональные числа.

и соединим точку $K$ с вершиной $B$. Из середины $O$ отрезка $BK$ восставим перпендикуляр; точка пересечения этого перпендикура со сторонам $AC$ и будет искомой точкой $[OD] \perp [BK]$ и $O$ — середина $[BK]$; следовательно, $|BD| = |DK|$.

Осталось выяснить, всегда ли задача имеет решение. В треугольнике $ABD$: $|AD| + |BD| > |AB|$, то есть $P_{\triangle ABC} = |AD| + |BD| + |AB| > 2 |AB|$. Следовательно, задача имеет решение, если $|BC| > 2 |AB|$.

С. Охимин

◆

a) Легко проверить, что если $x$ — целое число, то либо $x^3$, либо $x^3 + 1$, либо $x^3 - 1$ делится на 9. Действительно, если $x = 3k$, то это очевидно; если $x = 3k + 1$, то $x^3 - 1 = (x - 1)^3 + 3x(x - 1) = (3k)^3 + 9kx$; если же $x = 3k - 1$, то $x^3 + 1 = (x + 1)^3 + 3x(x + 1) = (3k)^3 + 9kx$. Иначе наше утверждение можно формулировать так: при делении куба целого числа на 9 в остатке могут получаться только 0, 1 и —1. Отсюда сразу видно, что сумма трех кубов при делении на 9 может быть в остатке только 0, ±1, ±2, ±3. Поэтому все числа $9k \neq 4$ в виде суммы трех кубов целых чисел представлены быть не могут.

b) Возьмем все натуральные числа, меньше числа $N^n$ (где $N > 1$ — какое-то натуральное число). Если $a = x_1^n + x_2^n + \dots + x_n^n$ (где $x_i$ — натуральные числа), и $a < N^n$, то $x_i \leqslant N - 1$. Из $n$ чисел $x_1, \dots, x_n$, каждое из которых может принадлежать $(N - 1)$ значений $(1, 2, \dots, N - 1)$, можно составить $(N - 1)^n$ наборов (см., например, «Кваант», 1971, № 1, статьи Н. Я. Виленкина «Комбинаторика»). Среди сумм, составленных из $n$-х степеней чисел этих наборов, будут и одинаковые; так что количество чисел $a$ вида $x_1^n + x_2^n + \dots + x_n^n$, меньше $N^n$, не более $(N - 1)^n$. Следовательно, $[N^n - (N - 1)^n] = A_N$ натуральных чисел, меньше $N^n$, нельзя представить в виде суммы $n$-х степенейровно $n$ натуральных чисел. Число $A_N$ можно сделать как уголблим, поскольку $A_N > N^{n-1}$ и $n > 1$. Из этого следует, что натуральных чисел, не представимых в виде $x_1^n + x_2^n + \dots + x_n^n$, — бесконечного много.

b) Доказательство утверждения, формулированного в пункте в), впервые было получено в 1825 году. Выглядит оно потрясающе: для рационального числа $a$ неосредственно пишется его представление в виде суммы трех кубов рациональных чисел:

$$a = \left( \frac{a^3 - 3^6}{3^2 a^2 + 3^4 a + 3^6} \right)^3 + \left( \frac{-a^3 + 3^6 a + 3^6}{3^2 a^2 + 3^4 a + 3^6} \right)^3 + \left( \frac{a^2 + 3^4 a}{3^2 a^2 + 3^4 a + 3^6} \right)^3.$$

Непонятно, правда, как до такой формулы можно «додууматься» (впрочем, может быть, кому-нибуд из наших читателей это и удалось). Мы лишь можем предложить вам проверить, что эта формула верна.

Однако задачей о сумме трех кубов математики занимались не для того, чтобы получить формулу (*); сама по себе она, хотя и выглядел внушительно, мало почительна. Горздо важнее было понятно, что «скрывается» за этим тожеством. Но это уже совсем специализый вопрос; им занимается один из самых трудных разделов математики — алгебраическая геометрия.

И. Глуманов

30

Ф383. Цепочка массы m и длины l надета на эладкий круговой конус с углом при вершине 2α. Конус вместе с цепочкой врачается с угловой скоростью w векру вертикальной оси, совпадающей с осью симметричной конуса. Плоскость цепочки горизонтальная. Найти натяжение цепочки.

Рассмотрим силы, действующие на малый участок цепочки длины Δl. Это сила тяжесте G = mg Δl/l, сила N нормальной реакции поверхности конуса и силы натяжения цепочки F, действующие на участок Δl со стороны соседних участков (рис. 2). Сумма проекций всех сил на вертикальной ось OY должны быть равна нулю, поскольку цепочка вообще не перемещается в вертикальном направлении:

$$N \sin \alpha - G = 0.$$

(1)

Сумма проекций всех сил на горизонтальном ось OX обеспечивает центростремильное ускорение элемента цепочки:

$$2F \sin \varphi - N \cos \alpha = \frac{m}{l} \Delta l \omega^2 r.$$

(2)

Здесь r = \frac{l}{2π} и sin φ = \frac{\Delta l}{2r} = \pi \frac{\Delta l}{l} (рис. 3). Решая совместно уравнения (1) и (2), получим

$$F = \frac{m}{2\pi} \left( \frac{g}{\text{tg} \alpha} + \frac{\omega^2 l}{2\pi} \right).$$

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Ф384. Две взаимодействующие между собой частицы 1 и 2 с массами m1 и m2 соответственно образуют замкнутую систему. На рисунке 4, а показана траектория частицы 1 и положение обеих частиц в момент времени, коэффициент частицы 1 равна v, а скорость частицы 2 равна −3v. Построить траекторию частицы 2, если $\frac{m_1}{m_2} = 3$.

По условию задачи импульс (количество движения) данной системы равен нулю:

$$m_1 v + m_2 (-3 v) = 0,$$

поскольку нулю импульса замкнутой системы означает, что ее центр масс все время остается неподвижным.

В случае двух частиц центр масс расположен на отрезке, соединяющихся частицы, и делит этот отрезок в отношении, обратном отношению масс. Поэтому построение траектории частицы 2 совпадается к следующему (рис. 4, 6). Проводим отрезок AB, соединяющий частицы 1 и 2 в заданный момент времени (когда v_m2 = −3v_m1). Дelimит отрезок на четые части и откладываем одну часть от частицы 1. Найdenная точка O определяет положение неподвижного центра масс. Далее соединяем произвольную точку траектории частицы 1 (например, точку A1) с центром масс отрезком A1O и продолжа-

31

Ф385. Большая тонкая проводящая пластина площади S и толщины d помещена в однородное электрическое поле E, перепределуя пластine. Какое количество теплы выделится в проводнике, если поле выключить?

При внесении проводящей пластины в электрическое поле под действием этого поля производит перераспределение свободных зарядов в пластине. На противоположных стороны пластины, перpendикулярных направления внешнего поля, скалпливаются заряды противоположных знаков. Внутри пластины напряженность поля равна нулю. Это означает, что свободные заряды, распределенные по поверхностям пластины, создают поле, напряженность которого внутренний пластин равна —E, а внешний равна нулю.

Сразу после исчезновения внешнего поля внутренних остается только поле поверхностных зарядов, которое обладает энергейой

$$W = \frac{E^2}{2} \varepsilon_0 Sd.$$

Под действием этого поля производит «обратное» перераспределение зарядов по всему объему пластины. При этом вся энергия электрического поля выделится в виде теплы:

$$Q = \frac{E^2}{2} \varepsilon_0 Sd.$$

Ф386. В вершинах равно-бедренного прямогологного треугольника, катет которого равен a, расположенные одинаковые металлические шарики радиусов r (r≤a). Шарики заряжены зарядом q каждый. Шарики 1 и 2 соединяют проводник, затем проводник убирают. Затем так же поступают с шариками 2 и 3 и, наконец, с шариками 3 и 1. Какие заряды устанавливаются на шариках?

Решение задачи зависит от того, какой из шариков находится в вершине прямогоугла.

Позному удобнее решить сначала две вспомогательные задачи. Первая задача — о распределении суммарного заряда Q двух маленьких шариков, расположенных на концах катета. Шарики соединяют проводник в присутствии такого же шарика с зарядом Q0, находящемся в третьей вершине равно-бедренного прямогологного треугольника (рис. 5). Пусть после соединения заряды шариков станут Q1 и Q2. Соединенные шарики будут иметь одинаковый, который можно определить согласно принципу суперпозициции как сумму потенциальов, созданных каждым зарядом в отдельности. Условие r≤a позволяет не заботиться о том, как именно распределены заряды Q1, Q2, Q0 по поверхности шариков.

Система управления

$$\frac{Q_1}{4\varepsilon_0\varepsilon r} + \frac{Q_2}{4\varepsilon_0\varepsilon a} + \frac{Q_0}{4\varepsilon_0\varepsilon a} = \frac{Q_2}{4\varepsilon_0\varepsilon r} + \frac{Q_1}{4\varepsilon_0\varepsilon a} + \frac{Q_0}{4\varepsilon_0\varepsilon a\sqrt{2}},$$

$$Q_1 + Q_2 = Q$$

приводит к решению

$$Q_1 = \frac{Q}{2} - \frac{(2-\sqrt{2})r}{4(a-r)} Q_0 = \frac{Q}{2} - kQ_0,$$

$$Q_2 = \frac{Q}{2} + \frac{(2-\sqrt{2})r}{4(a-r)} Q_0 = \frac{Q}{2} + kQ_0,$$

где

$$k = \frac{(2-\sqrt{2})r}{4(a-r)} \approx \frac{(2-\sqrt{2})r}{4a}$$ (так как r≤a).

Вторая вспомогательная задача — о распределении суммарного заряда Q двух шариков, расположенных на концах гипотенузы. При соединении этих шариков в присутствии такого же шарика с зарядом Q0, расположенного в вершине

32

прямого угла, в силу симметрии суммарный заряд шариков распределяется между ними поровну:

$$Q_1 = Q_2 = \frac{Q}{2}.$$

Решение двух вспомогательных задач позволяет быстро пайти решение трех основных. Расстояние, например, случай, когда в вершине прямого угла находится шарик 1 (рис. 6). Тогда до всех соединитель $q_1 = q, q_2 = q, q_3 = Q_0 = q$.

Суммарный заряд шариков 1 и 2 равен $Q = 2q$. Заряд в третьей вершине $Q_0 = q$. Поэтому после соединения шариков 1 и 2 будет иметь:

$$Q_1 = \frac{Q}{2} - kQ_0 = q - kq, Q_2 = q + kq, q_3 = q.$$

Тепер уберем проводник между шариками 1 и 2 и соединим шарики 2 и 3. Суммарный заряд шариков 2 и 3 до соединения 2—3 равен

$$Q = (q + kq) + q = 2q + kq.$$

Эти шарики расположены на концах гипotenузы. Следовательно, после соединения 2—3 распределение зарядов будет таким:

$$q_1 = q - kq, q_2 = \frac{Q}{2} = q + \frac{k}{2} q; q_3 = q + \frac{k}{2} q.$$

Суммарный заряд шариков 3 и 1 после убирания проводника равен

$$Q = \left( q + \frac{k}{2} q \right) + \left( q - kq \right) = 2q - \frac{k}{2} q,$$

заряд в последней вершине (2) равен $Q_0 = q_2 = q + \frac{k}{2} q$. Поэтому после соединения 3—1 заряды распределятся так:

$$q_1 = \frac{Q}{2} - kQ_0 = \left( q - \frac{k}{4} q \right) - k \left( q + \frac{k}{2} q \right) = q \left( 1 - \frac{5}{4} k - \frac{1}{2} k^2 \right),$$

$$q_2 = Q_0 = q \left( 1 + \frac{1}{2} k \right),$$

$$q_3 = \frac{Q}{2} + kQ_0 = q \left( 1 + \frac{3}{4} k + \frac{1}{2} k^2 \right).$$

Подставляя значение $k \approx \frac{(2 - \sqrt{2}) r}{4a}$ и пребрегая членами, содержащими величины $\frac{r}{a}$ в степени выше первоой, окончательно получим:

$$q_1 \approx q \left( 1 - \frac{5(2 - \sqrt{2}) r}{16a} \right),$$

$$q_2 \approx q \left( 1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) r}{8a} \right),$$

$$q_3 \approx q \left( 1 + \frac{3(2 - \sqrt{2}) r}{16a} \right).$$

33

Результаты для случав. изображенных на рисунках 7 и 8, сведены в таблицы:

| (Рис. 7) | $q_1$ | $q_2$ | $q_3$ |
| :— | :— | :— | :— |
| До всех соедининий | $q$ | $q$ | $q$ |
| После соедининия 1—2 | $q + kq$ | $q - kq$ | $q$ |
| После соедининия 2—3 | $q + kq$ | $q - \frac{3}{2}kq - k^2q$ | $q + \frac{1}{2}kq + k^2q$ |
| После соедининия 3—1 | $q \left(1 + \frac{3}{4}k + \frac{1}{2}k^2\right)$ | $q \left(1 - \frac{3}{2}k - k^2\right)$ | $q \left(1 + \frac{3}{4}k + \frac{1}{2}k^2\right)$ |
| Приближенное значение | $q \left(1 + \frac{3(2 - \sqrt{2})r}{16a}\right)$ | $q \left(1 - \frac{3(2 - \sqrt{2})r}{8a}\right)$ | $q \left(1 + \frac{3(2 - \sqrt{2})r}{16a}\right)$ |

| (Рис. 8) | $q_1$ | $q_2$ | $q_3$ |
| :— | :— | :— | :— |
| До всех соедининий | $q$ | $q$ | $q$ |
| После соедининия 1—2 | $q$ | $q$ | $q$ |
| После соедининия 2—3 | $q$ | $q + kq$ | $q - kq$ |
| После соедининия 3—1 | $q \left(1 + \frac{1}{2}k + k^2\right)$ | $q(1 + k)$ | $q \left(1 - \frac{3}{2}k - k^2\right)$ |
| Приближенное значение | $q \left(1 + \frac{(2 - \sqrt{2})r}{8a}\right)$ | $q \left(1 + \frac{(2 - \sqrt{2})r}{4a}\right)$ | $q \left(1 - \frac{3(2 - \sqrt{2})r}{8a}\right)$ |

Б. Буховце

35

образом, если $f$ определяна в точке $x_0$, то она должна быть определена во всех точках $x_n = x_0 + nT$, где $n \in \mathbb{Z}$ (т. е. $n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$). Значения $f$ во всех этих точках должны быть одинаковы: $f(x_n) = c$ не зависит от $n$. Если считать, что при всех остальных значениях $x$ (т. е. при $x \neq x_n$) функция $f$ вовсе не определяна, то мы получаем по существу простейший пример периодической функции:

$$f(x) = \begin{cases} c \text{ при } x = x_n = x_0 + nT, n \in \mathbb{Z}, \\ \text{не определена при остальных } x. \end{cases}$$

График $f$ — бесконечное множество точек вида $(x_n, c)$ на одинаковых расстояниях друг от друга. Периодами $f$ являются целые кратные $nT$ числа $T$ — наименьшего положительного периода (рис. 3).

4°. Укажем совсем общий способ построения периодических функций с данным периодом $T > 0$ — точнее, способ построения их графиков. Зададим функцию $f$ на получительale [0, $T$] произвольно, а затем применим к графику $f$ над этим промежутком (при $0 \leq x < T$) всевозможные параллельные перености вида $na = r(nT, 0)$, где $n$ — целые числа (рис. 4, $a$, $\delta$). Очевидно, при этом получится график периодической функции $f$ с периодом $T$.

Задача 1. Может ли периодом функции $f$, построенной описанным выше образом, оказаться число $T_0$, меньше $T$ ($0 < T_0 < T$)? Если может, приведите пример.

Наши дальнейшие планы таковы. Во-первых, мы рассмотрим некоторые важные свойства периодических функций. Далее на примерах показем, как установить периодность или неперiodность конкретных функций, заданных формулами, и как отыскивать периоды. Наконец, мы сформируем ряд задач разнообразного характера, касающийся периодических и неперiodических функций. (Неперiodические — пишется слитно — принято назвать функции, не являющиеся периодическими.)

Известные из курса IX класса примеры периодических функций (т. е., по сути, тригонометрические функции) приводят к следующему наблюдению: если $y$ периодической функции $f$ существует наименьший положительный период, т. е. такой период $T_0$, что любое число $t$, больше нуля и меньше $T_0$, уже не является периодом $f$, то все остальные периоды функции $f$ суть целые кратные $T_0$ — числа вида $T = nT_0$, где

36

п — целое. Это верно для любой периодической функции, у которой существует наименьший положительный период (у периодической функции f может и не существовать такого периода — см. пример 2°, а также задачу 10).

Теорема 1. Если $T_0$ — наименьший положительный периодPeriodic function f, то и их сумма $T_1 + T_2$ и разность $T_1 - T_2$ будут периодами f. (Убедитесь в этом самостоянию.)

Отсюда сразу ясно, что если $T_0$ — период f, то все целые кратные $T_0$ — числа $T = nT_0$, $n \in \mathbb{Z}$, — являются периодами f. Пусть теперь $T_0$ — наименьший положительный период f, а $T$ — произвольный период f. Допустим, что $T$ не представляется в виде $T = nT_0$, где $n$ — целое. Тогда число $T$ заключено строго между y какими-то соседними целыми кратными числа $T_0$ (рис. 5):

$$nT_0 < T < (n + 1)T_0.$$

Вычитая из всех частей этого неравенства число $nT_0$, получим: $nT_0 - nT_0 < T - nT_0 < (n + 1)T_0 - nT_0$, т. е. $0 < T' = T - nT_0 < T_0$. С одной стороны, поскольку $T_0$ — наименьший период f, число $T'$, заключенное между 0 и $T_0$, не может быть периодом функции f; с другой стороны, согласно сделанному выше замечанию, число $T' = T - nT_0$ является периодом f (как разность периодов $T$ и $nT_0$). Полученное противоречие показывает, что $T = nT_0$, и теорема положительного доказана.

Итак, если у функции f существует наименьший положительный период

37

6°. Функция $f(x) = \cos \sqrt{x}$ также неперiodична — опять не выполнен условие (А):

$$D(f) = \{x \mid x \geq 0\},$$

и если $T > 0$, то $x_0 = T/2 \in D(f)$, но $x_0 - T = -T/2 < 0$ и не принадлежит $D(f)$; аналогично рассматривается случай $T < 0$ (рис. 7).

7°. Квадратчная функция $f(x) = x^2$ определяна в础у: $D(f) = R$, — и поэтому условие (А) для нее выполнен при любом $T$. Если же при неоктором $T \neq 0$ выполнен и условие ($B_0$), то при любом $x \in R$ должно быть верно соответствие $x^2 = (x + T)^2$. Взяв $x = 0$, получим: $0^2 = (0 + T)^2$, т. е. $T^2 = 0$, или $T = 0$, в противоречие с условием $T \neq 0$. Следовательно, условие ($B_0$) не выполнен ни при каком $T \neq 0$, и функция $f(x) = x^2$ — неперiodическая.

8°. Функция $f(x) = \cos x$ (рис. 8), как известно, перiodична: ее перiodом является, например, $T_0 = 2\pi$. Это наименьший перiod, так как $\cos x = 1$ лишь при $x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, т. е. значение 1 функции $f$ повторяется через 2π; поэтому перiodа, меньше 2π, у $f$ не может быть (в противном случае значение 1 функция принимала бы в точках, отсутствующих друг от друга менее, чем 2π).

Из теоремы 1 выводим, что перiodами функции $f(x) = \cos x$ являются:

10°. Функция $f(x) = \cos^2 x$ (рис. 9) выводится, поэтому условие (A) выполнен автоматически. Далее, $f$ имеет 2π свойм перiodом: так как $\cos(x + 2\pi) = \cos x$, то $\cos^2(x + 2\pi) = \cos^2 x$, т. е. $f(x + 2\pi) = f(x)$.

Bonрос: является ли $T_0 = 2\pi$ наименьшим перiodом $f(x) = \cos^2 x$?

Попробуем на него ответить. Расмотрим те $x$, при которых $f(x) = 1$, т. е. $\cos^2 x = 1$; тогда $\cos x = 1$

38

или $\cos x = -1$, откуда $x = \pi n$, то есть значение 1 повторяется через $\pi$, а не через $2\pi$. Можно быть, например, период $f$ будет $\pi$?

Преобразуем $\cos^2 x$ по известным формулам:

$$f(x) = \cos^2 x = \frac{\cos 2x + 1}{2}.$$

Функция $y = \cos 2x$ периодична с периодом $\pi$ (поясните); следовательно, и функция $(1/2) \cos 2x$ и $(1/2) \cos 2x + 1/2 = f(x)$ будут иметь период $\pi$. Поскольку значение 1 у функции $f$ повторяется через $\pi$ (см. выше), число $\pi$ будет наименьшим периодом $f$.

To же самое можно получить и с помощью формулы приведения: $\cos(x + \pi) = -\cos x$, поэтому $\cos^2(x + \pi) = (-\cos x)^2 = \cos^2 x$.

$11^\circ$. Общее замечание. Если функция $f(x)$ периодична с периодом $T$, то любая сложная функция вида

$$F(x) = af(Ax + B) + b$$

($A \neq 0, B, a, b$ — постоянные)

является периодической, причем ее периодом будет число $T' = T/A$. (Обосновите это; ср. с X, с. 175.) Например, функция вида $a \cos(Ax + B) + b$ периодична с периодом $2\pi/A$.

Сформируем теперь ряд задач.

Задание 2. Выясните, какие из указанных ниже функции периодичны, а какие — нет:

a) $\sin|x|$, b) $\frac{\sin x}{\sin x}$.

Задание 3. Докажите, что следующие функции периодичны:

a) $\frac{1}{x}$, b) $\sin[(\sqrt{x})^2]$, d) $x^2 + \sin x$.

6. $\sin\frac{1}{x}$, r) $x^2 + 3x + 17$, e) $\sin|\sqrt{x}|$.

Задание 4. Докажите, что следующие функции периодичны, и найти их наименьший положительный период:

a) $\sin^2x$, b) $\sin^5x$.

6. $\sin^4x$, r) $\sin\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{3}$.

d) $\sin 2x + \sin 3x$,

e) $\sin\frac{x}{\sqrt{2}} + \sin\sqrt{2}x$.

Очевидно, что если функция $f(x)$ и $g(x)$ периодичны с одинаковым периодом $T$, то их сумма $s(x) = f(x) + g(x)$ тоже будет периодической функцией, причем $T$ является ее периодом$^*$).

Задание 5. Функция $f(x)$ и $g(x)$ всегда определяны и имеют одинаковый наименьший положительный период $T_0$. Верно ли, что $T_0$ является наименьшим и для суммы $f(x) + g(x)$? Придумайте две такие (всюду определяемые) функции $f$ и $g$, период суммы которых был быровно в 2 раза меньше $T_0$.

Пусть периодическая функция $f$ и $g$ имеют наименьшие положительные периоды $T_1$ и $T_2$, соответствующего, и $T_1 \neq T_2$.

Вопрос. В каком случае у функций $f$ и $g$ существует общий (конечно, уже не наименьший) период $T$?

Ответ. Если $f$ и $g$ есть общий период $T$, то по теореме 1 $T = mT_1 = nT_2$, где $m$ и $n$ — целые; отсюда следует, что $T_2/T_1 = m/n$ – разциональное число. Обратно, если отношение $T_2/T_1$ разционально, $T_2/T_1 = m/n$, то $mT_1 = nT_2 = T$ – общий период функций $f$ и $g$.

Все наши рассуждения показывают справедливость такого утверждения.

Теорема 2. Если наименьшие положительные периоды функций $f$ и $g$ созмерены, то есть отношение $T_2/T_1$ разционально, то $u$ сумма этих функций $f(x) + g(x)$ периодична.

Оказывается, что если отношение наименьших периодов всуду определенных и непрерывных функций $f$ и $g$ играет роль наименьшего, то функция $f + g$ будет непрерывной. То же самое можно сказать и о произведении периодических функций (мы ограничимся лишь тем, что приведем несколько соответствующих примеров; общее же доказательство формулированного утверждения довольно сложно).

Задание 6. Докажите, что следующие функции (произведение и суммы периодических!) не являются периодическими:

a) $\cos x \cdot \cos\sqrt{2}x$, b) $\sin x \cdot \sin\sqrt{2}x$,

6. $\cos x + \cos\sqrt{2}x$, r) $\sin x + \sin\sqrt{2}x$.

*) Здесь есть небольшая тонкость: область определения суммы $f(x) + g(x)$ — это пересечение $D = D(f) \cap D(g)$, и может служить так, что $D = \emptyset$. Неде не определению функций удобно считать периодической, причем ее периодом следует считать любое число.

39

Рис. 12.

Замечание. Функции из задачи 6 относятся к очень важному, особенному в физическах приложениях, классу почити-перiodических функций. Такие функции $f$ удовлетворяют следующему условию: для любого (сколь уголно малого) числа $\varepsilon > 0$ существует «почти-period» — число $T \neq 0$ такое, что при произвольном $x$ значение $f(x+T)$ равно $f(x)$ с точностью до $\varepsilon$, то есть $|f(x+T)| \leq \varepsilon$. Грубо говоря, это объясняется тем, что irrationalные числа с любой точностью можно приблизить рациональными; затем, что чем меньше $\varepsilon$, тем больше будет «почти-period» $T$.

В физике величины измеряются приближенно, поэтому об их irrationalности говорить не приходится. С почти-periodическими процесами в природах стalkиваются тогда, когда рассматривают периодические явления, относение периодов которых не целое, а дробь с большим значением.

Пример. При составлении календаря одновременного нужно учесть обращение Земли вокруг Солнца (с периодом в 1 астрономический год) и вращение Земли около собственной оси (с периодом 1 сутки). Из сообщений удобства календарь должен быть периодической, причем желательно, чтобы его период был общим периодом того и другого врашения. Отношение астрономического года к суткам приближено равно $m = 365,242199$. Если считать это значение точным, то общий период рассматривается процессов черезур влик — 1 миллион лет! Поэтому еще Юлий Цезарь введ «почти-period» в 4 года, что соответствует значению $m \approx 365,25 = 365^{1/4}$, аprimский пала Григорий XIII в 1582 году узаконил «почти-period» календаря в 400 лет, принятый и в на-