Прямоугольный треугольник

50

С. Бельй

Прямогольный треугольник

На вступительных экзаменах по математике довольно часто предлагаются задачи, связанные с прямогольными треугольниками. Что же нужно знать о прямогольном треугольнике, кроме теоремы Пифагора, чтобы успешно решать такие задачи? Об этом и поедет речь в настоящей статье.

Утвержденое 1. Ценит окружности, описанной около прямогольного треугольника, совпадает с серединой единицу.

Отсюда вытекает следующее соотношение:

$$m = R = \frac{c}{2},$$

где $m$ — длина медианы, проведенной к гипотенузе, $R$ — радиус описанной окружности, $c$ — гипотенуза (см. рис. 1 — он поможет вам доказать это утверждение).

Это соотношение часто используется при решении задачи.

Пример 1 (МГУ, химфак, 1974). В прямогольном треугольнике ABC с катетами 3 и 4 (см) вершина C прямого угла соединена с серединой D единицу AB. Найти расстояние между центрами окружностей, описанных в прямогольнике ACD и BCD.

В силу утверждения 1 точка D — центр описанной окружности, поэтому $|DA| = |DC| = |DB|$. Следовательно, треугольники ACD и BCD — равнобедренные (см. рис. 2). Центры окружностей, описанных в

51

Пример 3 (МГУ, химфак, 1973). В прямоугольный треугольник ABC вписан квадрат так, что две вершины его лежат на синоменуze, а две другие — на каметах. Радуус окружности, описанной около треугольника ABC, относится к стюроне квадрата как 13:6. Найти улы треугольника ABC.

Пусть $\hat{A} = \alpha$, сторону квадрата обозначим через $a$ (см. рис. 4). Тогда $|AB| = a \text{ctg}\alpha + a + a \text{tg}\alpha$, и

$$\frac{a \text{ctg}\alpha + a + a \text{tg}\alpha}{2a} = \frac{13}{6},$$

откуда $\text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha + 1 = 13/3$, $3 \text{tg}^2\alpha - 10 \text{tg}\alpha + 3 = 0$, $\alpha_1 = \text{arctg} 3$, $\alpha_2 = \text{arctg} 1/3$. Но углы $\alpha_1$ и $\alpha_2$ дополняют друг друга по прямого. Таким образом, углы треугольника ABC равны $\text{arctg} 3, \frac{\pi}{2}, \text{arctg} 1/3$.

Утверждение 2. Высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника, делим его на два подбых прямойных треугольника, какный из которых подобен данному.

Из этого утверждения вытекают следующие соотношения (обозначения см. на рис. 5):

$$h^2 = a'b', a^2 = a'c, b^2 = b'c,$$

$$a^2 + b^2 = c^2, \frac{a^2}{b^2} = \frac{a'}{b'}.$$

Добавим к ним еще формулы для вычисления площади прямого треугольника:

$$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch = mh = Rh.$$

Пример 4 (МФТИ, 1962). В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведена высота CD. Известно, что радиус окружностей, описанных в треугольнике ACD и BCD, равны $r_1$ и $r_2$. Найти радиус окружности, описанной в треугольнике ABC.

52

Рис. 6.

Согласно утверждению 2 треугольники ADC, CDB и ACB подобыны (см. рис. 6). А в подобных треугольниках радиусы вписанных окружностей (как, впрочем, и любые другие соответствующие линейные элементы) относятся как соответственные стороны. Позатем

$$\frac{|AC|}{r_1} = \frac{|BC|}{r_2} = \frac{|AB|}{r} = k.$$

Отсюда, используя теорему Пифагора, получим:

$$r_1^2 k^2 + r_2^2 k^2 = r^2 k^2, r^2 = r_1^2 + r_2^2, r = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}.$$

Замечание. Полученная формула $r^2 = r_1^2 + r_2^2$ носит общий характер: для любых соответственных линейных элементов $x, y, z$ треугольников ADC, CDB, ACB (рис. 6) справедлива зависимость $x^2 + y^2 = z^2$.

Для доказательства этого утверждения достаточно вместе $r_1, r_2, r$ подставить соответственно $x, y, z$.

Пример 5 (МФТИ, 1969). В прямоугольном треугольнике проведена биссертиса CD прямого угла C. Известно, что $|AD| = m, |BD| = n$. Найти высоту, опущенную из вершины угла C.

Пусть $x$ и $y$ — длины проекций катетов на гипотенузу (рис. 7). Тогда

$$\frac{x}{y} = \frac{|AC|^2}{|BC|^2}.$$

Но

$$\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|BD|} = \frac{m}{n}$$

(по свойству биссертицы). Получается система

$$\begin{cases} x + y = m + n, \\ \frac{x}{y} = \frac{m^2}{n^2}. \end{cases}$$

Найда из этой системы $x$ и $y$, по формуле $h = \sqrt{xy}$ определяем высоту:

$$h = \frac{mn(m + n)}{m^2 + n^2}.$$

Утверждение 3 (обратное теореме Пифагора). Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то этом треугольник прямого угловый.

Это утверждение вытекает из теоремы косинусов, в ряде случаев оно бывают очень полезным.

Пример 6. Пусть $a, b$ — каметы прямого углового треугольника ABC, $c$ — гипотенуза, $h$ — длина высоты, опущенной из вершины C. Доказать, что треугольник с стороны $h, c + h, a + b$ является прямого угловым.

Легко проверить, что $(a + b)^2 + h^2 = (c + h)^2$, так как это равно сливочно равенству $ab = ch$. Отсюда и следует утверждение задачи.

Хорошо известна формула $r = \frac{S}{p}$ (или $S = pr$), где $S$ — площадь треугольника, $p$ — полуперimeter, $r$ — радиус вписанной окружности. Для прямого углового треугольника радиус вписанной окружности можно вычислять по более простой формуле:

$$r = \frac{a + b - c}{2}.$$

Отметим также формулу

$$2r + 2R = a + b$$

(последние две формулы эквивалентны). Попробуйте доказать эти формулы самостояльно.

53

Пример 7 (МГУ, химфак, 1974). В прямолином треугольнике ABC с квадратами $|AC| = 3$ и $|BC| = 4$ проведена высота CD. Наимену рассмотрение между центрами окружности, вписанных в треугольники ACD и BCD.

Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы окружности, вписанных в треугольники ACD и BCD соответственно (рис. 8). Тогда
$$|O_1O_2| = \sqrt{(r_1 + r_2)^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{r_1^2 + r_2^2}.$$
Но $\sqrt{r_1^2 + r_2^2} = r$, где $r$ — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC (см. пример 4), поэтому
$$|O_1O_2| = \sqrt{2} \cdot r = \sqrt{2} \cdot \frac{|BC| + |AC| - |AB|}{2} = \sqrt{2}.$$
И, наконец, приведем еще одно утверждение, которое также бывают полезным для решения задач.

Утверждение 4. В прямолином треугольнике с неравными квадратами bisсектриса прямого угла делим пополам угол между высотой и медианой, проведенными из вершины много же угла.

Доказательство этого утверждения ясно из рисунка 9.

Пример 8 (МГУ, ВМК, 1973). В прямолином треугольнике ABC длина высоты, опущенной наzinометузу, равна $a$, bisсектрисы прямого угла — $b$. Наимену площадь треугольника ABC.

Проведем медиану CM (см. рис. 9) и положим $\widehat{DCL} = \alpha$; тогда, согласно утверждения 4, и $\widehat{LCM} = \alpha$. Далее, $\cos \alpha = \frac{a}{b}$, $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = \frac{2a^2 - b^2}{b^2}$, $|CM| = \frac{a}{\cos 2\alpha} = \frac{ab^2}{2a^2 - b^2}$.

Теперь можно найти площадь треугольника ABC:
$$S = |CD| \cdot |AM| = |CD| \cdot |CM| = \frac{a^2 b^2}{2a^2 - b^2}.$$
Вы, наверное, уже обратили внимание, что все рассмотренные выше задачи решались алгебраическим методом. Это не удивительно, так как приведенные выше формулы представляют собой мощный арсенал для составления всех возможных уравнений. Однако не следует думать, что все задачи на прямолинольные треугольники решаются алгебраически — иногда полезно предварительно сделать некоторые дополнительные построения.

Пример 9 (МФТИ, 1971). Около прямолинольного треугольника ABC описана окружность. Расстояния от концовzinометузы AB до прямой, касающейся окружности в точке C, соответственно равны m и n. Наимену каметы $|AC|$ и $|BC|$.

Проведем высоту CD (см. рис. 10) и заметим, что $\widehat{ACD} = \widehat{ABC} = \widehat{ACE}$ (последние два угла изменяются положенной одной и той же дуги AC). Поэтому треугольники AEC и ADC конгузенты (по гипотенuse и остро-