Элементы статики

40

Элементы статики

В статике изучается равновесие твердых тел, находящихся под действием сил. Под равновесием тела следует понимать состояние, при котором тело не получает ускорений, то есть движется равномерно и прямолинейно или, в частности, находится в состоянии покоя в инерциальной системе отчета. (В практических задачах системы, связанную с Эмлей, считают инерциальной.)

Какие силы действуют на тело, находящемся в равновесии? Прежде всего надо знать силу тяжестей. Сила тяжестей, действующая на данное твердое тело, представляют собой равноведействующую силу тяжестей, действующих на его частицы. Линяя действия силы тяжестей проходит через центр масс тела — центр тяжестей.

Далее, на тело действуют реакции связей — силы, превращаются перемещению тела в каком-нибудь направлении. Направление действия реакции связей противоположно тому направлению, в котором связь превращается перемещению данного тела. Реакции связей — это силы упругости и силы тряния. Особенно их в том, что абсолотное значение их, а иногда и направление, направед не извесны и зависит от формы тела, состояние поверхности, а также от других сил, действующих на тело.

Правильное определение направления сил реакции играет при решении задач статики очень важную роль.

Позному рассмотрим, как направления реакции неокоторых видов связи.

1. Тело опирается на гладкую поверхность или опору. Трене отсутствует. Когда соприкосновение тела с опорой проискодит в одной точке, сила реакции поверхности приложена в точке касания тел и направлена либо по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел в точке их касания (рис. 1, а), либо по нормали к поверхности тела или к поверхности опоры (рис. 1, б). Такую реакцию называют нормальной.

2. Связь осуществляется гибкой нитью. Сила реакции нити всегда направлена вдоль нити от той точки, в которой нить прикрепляется к телу (рис. 1, θ).

3. Шарнирная связь — цилиндрический шарнир, в котором ось шарнира перепедикулярна плоскости действия силы (рис. 1, е). Реакция такого шарнира может иметь любое направление в плоскости, перепедикулярной к его оси (в плоскости рисунка).

Рассмотренные виды связи являются идеальными, или связями без тряния.

4. При наличии треня между телом и поверхностью связи, кроме нормальной реакции, дает еще дополнительную реакцию — силу тряния $F_{\text{тр}}$. Сила треня всегда направлена в сторону, противоположную возможность перемещению тела по поверхности. Если тело, на которой действуют силы, поконтся, то сила треня покоя всякий раз имеет то значение, которое необходимо для предотвращения скольжения. Максимальная величины силы треня покоя определяется, как известно, из условия

$$F_{\text{тр. max}} = \mu N,$$

41

где $\mu$ — коэффициент трения, а $N$ — сила нормальной реакции поверхности. Таким образом, в зависимости от других сил, действующих на тело, сила трения покоя может принимать все значения от нуля до $F_{\text{тр. max}}$. При этом полная сила $R = F_{\text{тр.}} + N$ реакции поверхности (рис. 1, $\partial$) будет меняться от значения $N$ до некоторого максимального значения $R_{\text{max}}$, определяемого условиям $R_{\text{max}} = N + F_{\text{тр. max}}$. Угол $\varphi$, который составляет сила $R$ с нормальной к поверхности, будет изменяться от нуля до некоторого предельного значения $\varphi_0$, задаваемого условиям

$$\text{tg} \varphi_0 = \frac{F_{\text{тр. max}}}{N} = \mu$$

(этот угол называют углом трения).

В статике твердого тела рассматривается две основные задачи:

1. Определение условий, при которых тело под действием сил может находиться в равновесии.
2. Нахождение действующих на тело сил (в большинстве случае — реакций связи), когда тело зависит нахождение в равновесии.

Мы ограничимся рассмотренем только таких систем, в которых все действующие на тело силы лежат в одной плоскости, — так называемых плоских систем сил.

Любое движение твердого тела можно представить как наложение двух видов движения — поступательного и врашательного (вокруг некоторой оси). Тело будет оставаться в состоянии покоя, если не будет причини, приводящих к возникновению поступательного движения или врашения.

При поступательном движении тела можно рассматривать движения одной точки тела — его центра масс.

Если сумма сил, приложенных к телу, равна нулю, то центр масс будет сохранять свою скорость неизменной, в частности, будет покoitться, если он был в покое. Но

42

это еще не означает, что тело будет находиться в равновесии.

Рассмотрим следующую задачу.

Задача 1

К бруску, лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, в двух его точках приложены две силы, равные по абсцилточной величины и направленные в противоположные стороны (рис. 2). (Такая система сил называется парой сил.) Относительно какой точки будет поворачивать брусок?

Решение и е. Ольт подсказывает, что брусок будет поворачиваться. Но так как сумма сил, действующих на тело, равна нулю, то центр масс его будет оставаться в покое, а пара сил вызовет вращение бруска вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной к плоскости, в которой лежат силы.

В общем случае, когда сумма сил, приложенных к телу, равна нулю ($\sum F_i = 0$), а линни, вдоль которых действуют силы, не пересекаются в одной точке, центр масс сохраняет состояние движения неизменным, в частности, поконтся, но само тело будет поворачивать в扭转 сил, проходящей через центр масс.

Для характеристики врашательного действия силы в статике вводится новое понятие — момент силы.

Рассмотрим твердое тело, способное вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку $O$ (рис. 3). Допустим, что к телу приложены силы $F_1, F_2, F_3, F_4$, линни действия которых лежат в вертикальной плоскости. Ольт показывает, что вращаельное действие каждой из этих сил зависит не только от величины силы, но и от расстояния от оси до линни действия силы. Это расстояние называют плечем силы.

Мomentом силы относительно оси называется алгебраическая величи-

Рис. 3.

на, равная произведение абсцилтоной величины сил на расстояние от оси вращения до линни действия силы.

В случае плоской системы сил можно вместо момента силы относительно оси, перпендикулярной к плоскости действия сил, говорить о моменте силы относительно точки, имея в виду точку пересечения этой оси с плоскостью.

Внешние силы, например $F_1$ и $F_4$ на рисунке 3, могут вращать тело вокруг оси в противоположные стороны, поэтому момент силы приписьают знак «+» или «-». Условно принято моменты сил, стремящиеся повернуть тело против часовой стрелки, быть со знаком «+», а по часовой — со знаком «-» (в соответствии с правилам отчета углов).

Мoment пары сил равен взятому с соответствующим знаком произведение модели одной из сил на расстояние между линями действия сил (плечо).

Доказите, что момент пары сил равен сумме моментов пары относительно линии плоскости.

Пару сил, не изменяя ее вращательного действия на данной твердое тело, можно переносить и произвольно поворачивать в плоскости действия силы.

Введя момент силы, можно сформировать общие условия равновесия для плоской системы сил.

43

Для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы были одновременно равны нулю векторная сумма приложенных к телу сил и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки $O$ плоскости:

$$\sum_i F_i = 0,$$
$$\sum_i M_O(F_i) = 0.$$

При выполнении первого условия ускорение центра масс тела равно нулю; при выполнении второго условия угловая скорость вращения всех точек тела остается неизменной и, в частности, если тело покопилось, угловая скорость его точек остается равной нулю *).

Векторное равенство (*) может быть представлено в виде двух складных:

$$\sum_i F_{ix} = 0,$$
$$\sum_i F_{iy} = 0,$$

где $F_{ix}$ и $F_{iy}$ соответственно проекции сил $F_i$ на оси координат $X$ и $Y$, лежащие в плоскости действия сил.

При решении задач для получения уравнения в наиболее простой форме рекомендуется одну из координатных осей проводить перепределкулярно возможно больше ему числу неизвестных сил, а моменты сил нахождения относительно точки, в которой пересекается возможное больше число неизвестных сил.

Если действующие на тело силы, расположенные в плоскости, взаимно параллельны, то число уравнения равновесия сократится до двух. Действительно, если направить одну из осей координат, например ось $X$, перепределкулярно линяем действия сил, то проекция каждой из сил на этуось будет равна нулю, и тело будет

*) Moment силы в случае врашательного движения является аналогом силы в случае поступательного движения. При поступательном движения ускорение центра масс пропорционально приложенной сил, при врашательном движения изменение угловой скорости в единицу времени — угловое ускорение — пропорционально моменту силы.

Рис. 4.

нахождение в равновесии, если

$$\sum_i F_{iy} = 0,$$
$$\sum_i M_O(F_i) = 0$$

(ось $Y$ параллельна слим). Можно еще и по-другому записать уравнение равновесия тела, на котором действуют параллельные силы:

$$\sum_i M_A(F_i) = 0,$$
$$\sum_i M_B(F_i) = 0,$$

при этом точки $A$ и $B$ не должны лежать на прямой, параллельной слим.

Для тела, способного врашаться вокруг закрепленной оси, единственный уравнение равновесия будет равен нулю алгебраической суммы моментов приложенных к нему сил относительно этой оси. Это правило называется правилом моментов.

Задча 2

На невесомом стержне, разделенном на 10 равных частей, нанизаны десять шариков, массы которых равны последовательно 1, 2, 3, …, 9, 10 $z$ так, что их центры совпадают с точками деления (рис. 4). Определить, в каком месте должен опираться стержень на опору, чтобы нахождение в равновесии.

Решение. Для выполнения уравнения (*) равновесия стержня необходимо, чтобы в точке опоры на стержень действовала сила опоры, направленная вверх и равная по абсциссной величины

$$R = \sum F_i = \sum m_i g = 55 \ g \ (\delta u n).$$

Чтобы выполнялось уравнение (**) равновесия, точка опоры должна нахождение на таком расстоянии $x$ от точки $O$ стержня, чтобы $\sum(m_i g \cdot x_i) = -Rx = 0$, где $x_i$ — расстояние от точки $O$ до шарика с массой $m_i$:

$$a \cdot m_1 g + 2 a \cdot m_2 g + \dots + 10 a \cdot m_{10} g = Rx.$$

44

Из этих равенств находим
$$x = \frac{385ag}{55g} = 7a,$$
то есть точка опоры совпадает с центром шарика массы $m_7$.

Рассмотренная задача по существу есть задача на определение центра тяжесте для случая линейного расположения точных масс.

Докажите, что положение центра тяжесте системы, состоящий из $n$ материалов точек, массы которых $m_1, m_2, \dots, m_n$, лежащих на одной прямой и имеющих координаты соответствующего $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, определяется координатой

$$x_c = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{M},$$

где $M = \sum_{i=1}^{n} m_i$ — масса всей системы.

Для тел, размеры которых очень малы по сравнению с радиусом Земли, силы тяжесте, действующие на отдельные части тела, можно считать параллельными друг другу и сохраняющими для каждой из частиц постоянную величины при любых поворотах тела. Равнодействующая всех элементов сил тяжесте есть сила тяжесте, действующая на все тело. Абсолютная величина ее равна

$$Mg = \Sigma m_i g,$$
и приложена эта сила к центру масс, так как любое тело, падающее свободно (под действием только силы тяжесте), движется поступательно. Поэтому центр масс называют центром тяжесте тела.

Итак, центром тяжесте третього тела называется точка, в которой приложена равнодействующая сил тяжесте, действующих на частию данного тела.

Нужно отметить, что центр тяжесте может лежать и вне пределов данного тела (например, для колба, согласно тонкого стержня и т. п.).

Найти центр тяжесте однородного тела часто помогают сообщения

45

Отсюда

$$x = \frac{r^2 R}{2(R^2 - r^2)}$$

— центр тяжести плоскины — нахождение слева от точки $O$ на расстоянии $\frac{r^2 R}{2(R^2 - r^2)}$ от нее.

Приступая к разбору следующего задач, указываем некоторые дополнительные легко доказуемые положения, которые мы будем пользоваться.

Силу, приложенную к твердому телу, можно переносить по линии ее действия, при этом не изменяется ее момент относительно точки или оси.

Если на тело действия система сил, линей действия которых пересекаются в одной точке, то мы можем переносить силы вдоль линей их действия в точку пересечения и сложить их, пользовать правилом параллельграмма. Если равнодействующая сила будет равна нулю и начальная скорость тела также равна нулю, то тело будет находиться в покое.

Если на тело действия три неправильные силы, лежащие в одной плоскости, и под действием этих сил тело находится в равновесии, то линей действия этих сил пересекаются в одной точке (это положение носит название теоремы о трех силах).

Задча 4

Груз массы $m$ подвешен с помощью двух нитей так, что одна нить образует с вертикального угол $\alpha$, а другая проходит горизонтально (рис. 6). Найти силы натяжения нитей.

Решение. На тело действия сила тяжести $mg$ и силы $T_1$ и $T_2$ натяжения нитей. Спроектируем эти силы на оси координат $X$ и $Y$ и запишем условия равновесия (см. рис. 6):

по оси $X$ —
$$T_2 - T_1 \sin \alpha = 0$$
по оси $Y$ —
$$T_1 \cos \alpha - mg = 0$$

Задча 5

Груз массы $m$ перемещают с постоянной скоростью по горизонтальной плоскости с помощью троса. Козффициент тряния о плоскосте равен $\mu$.

a) Найти силу $T$ натяжения троса, если он направлен под углом $\alpha$ к горизонту (рис. 7).

b) При каком угле $\alpha$ сила натяжения троса будет наименшей? Чему она будет равна?

Груз считать материалной точкой.

Решение. a) На груз действия сила тяжести $mg$, сила $N$ нормальной реакции плоскости, сила натяжения троса $T$, максимальная сила троса $F_{tp,max}$ (так как имеет место скольжение). Запишем условия равновесия груза (см. рис. 7):

Рис. 6.

Рис. 7.

46

по оси $X$ —
$$T \cos \alpha - F_{\text{тр.max}} = 0,$$
(1)

по оси $Y$ —
$$T \sin \alpha + N - mg = 0.$$ (2)

ИЗ (2) находим $N = mg - T \sin \alpha$. Тогда $F_{\text{тр.max}} = \mu N = \mu (mg - T \sin \alpha)$. Подставив это значение в (1), найдем
$$T = \frac{\mu mg}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}.$$ (3)

Примечание. При решении этой задачи абитуренты допускают ошибку, считая $F_{\text{тр}} = \mu mg$.

6. ИЗ (3) следует, что сила $T$ будет минимальной, когда величины значенателя ($\cos \alpha + \mu \sin \alpha$) максимальная. Обозначив $\mu$ через $tg \varphi$, можно значенатель преобразовать так:
   $$\cos \alpha + tg \varphi \sin \alpha =$$
   $$= \frac{1}{\cos \varphi} (\cos \alpha \cos \varphi + \sin \alpha \sin \varphi) =$$
   $$= \frac{1}{\cos \alpha} \cos (\alpha - \varphi).$$

Это выражение максимально при $\alpha - \varphi = 0$, откуда $\alpha = \varphi = \arctg \mu$.

Учитывая, что $\sin \alpha = \frac{tg \alpha}{\sqrt{1 + tg^2 \alpha}}$ и $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + tg^2 \alpha}}$, подставив найденное значение $tg \alpha$ в (3), получим
$$T_{\text{min}} = \frac{\mu mg}{\sqrt{1 + \mu^2}}.$$

Задача 6

Лестница опирается на вертикальное стену и горизонтальное пол (рис. 8). Центр тяжестни лестницы находится на середине ее длины. Козффициенты треня в точках $A$ и $B$ соответственно равны $\mu_1 = 0,5$, $\mu_2 = 0,4$. Определить наименьший угол наклона лестницы к горизонту, при котором она может оставаться в равновесии.

Решая уравнение (1)—(5) совместно, получаем для $\alpha_{\text{min}}$:
$$\alpha_{\text{min}} = \arctg \frac{1 - \mu_1 \mu_2}{2 \mu_1} = 38,6^\circ.$$

Эту же задачу можно решить другим способом — графическое. Снача-

47

Рис. 9.
ла построим линей действия полных сил реакций $R_A$ и $R_B$ в точках $A$ и $B$ (рис. 9). Для этого отложим от нормали к полу в точке $A$ угол $\varphi_1 = \arctg \frac{F_A}{N_A} = \arctg \mu_1$ (угол трения)
в направлении против часовой стрелки (направление возможного врашения под действем силы $R_A$).
Такой угол составляет с нормально к полу в точке $A$ линяя действия силы $R_A$. Аналогичным образом получим линюю действия силы $R_B$.
Так как лестница находится в равновесии под действем трех сил:
$mg, R_A, R_B$, то линей действия этих сил пересекаются в одной точке (точка $C$). Точку пересечения линей действия сил $mg$ и $N_B$ обозначаем $D$. Расмотрим треугольник BDC. Из этого треугольника имеем
$$\frac{CD}{BD} = \tg \varphi_2 = \mu_2.$$ (6)
Но $BD = l \cos \alpha, CD = CE - DE = CE - BO$. Из треугольника CEA находится
$$CE = EA \text{ сtg} \varphi_1 = l \cos \alpha \text{ сtg} \varphi_1 = \frac{1}{\mu_1} l \cos \alpha.$$
Из треугольника BOA
$$BO = 2l \sin \alpha.$$

Следовательно, $CD = \frac{1}{\mu_1} l \cos \alpha - 2l \sin \alpha$. Подставив значения $CD$ и $BD$ в (6), получим
$$\frac{1}{\mu_1} l \cos \alpha - 2l \sin \alpha = \mu_2,$$
или
$$\frac{1}{\mu_1} - 2 \tg \alpha = \mu_2.$$
Отсюда
$$\alpha = \arctg \frac{1 - \mu_1 \mu_2}{2 \mu_1}.$$

В заключение предлагаем вам самостояльно решить несколько задач.

У правания

1. Докажите, что центр тяжести однородного треугольника лежит в точке пересечения его медиан. (Примечан и е. Докажательством геометрической теоремы о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, может являться утверждение, что для всякого тела центр тяжести — это однозначно определенная точка.)
2. Оdnордная цилиндрическая труба массы $m$ и радиуса $r$ опирается на гладкую поверхность цилиндра $B$ радиуса $R$ и удерживает в равновесии при помощи нити $CD$ длины $l$, закрепленной в верхней точке, цилиндра $B$ (рис. 10). Длина хорды $AB$, соединяющей крайние точки дуги, по которой трос соприкасается с трубой, равна $b$. Определить силу $T$ натяжения троса.
3. Оdnордный цилиндр $A$ массы $m$ и радиуса $r$ опирается на гладкую поверхность цилиндра $B$ радиуса $R$ и удерживает в равновесии при помощи нити $CD$ длины $l$, закрепленной в верхней точке, цилиндр $B$ (рис. 11). Определить силу натяжения нити и силы реакции цилиндрической поверхности.
4. Определить наименьшую величины сил, которое надо приложить в горизонтальном направлении к верхней грани кубического ящика массы $m$ для кантования его по горизонтальной поверхности. Чему равна сила давления на упор $A$ (рис. 12) в начале кантования?
5. На наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол $\alpha$, нахождение тела массы $m$. Определить наименьшую силу $F_{\min}$ ксторую надо приложить к телу, чтобы сдининуть его вверх, и угол $\beta$, который должна составлять эта сила с плоскостью, если коэффициент треня равен $\mu$. Какова будет при этом сила давления $F_{\text{давл}}$ тела на плоскость?

48

6. Гладкий шар радиуса $r$ и массы $m$ покопится на горизонтальном полу, касаясь вертикальной стены. С какой силой $F$ следует прижать к нему брусок высоты $h$ (рис. 13), чтобы шар приподнялся над полом?

7. Проволочную квадратную рамку, от которой отрезана одна сторона, подвесяли так, как показано на рисунке 14. Определить угол $\varphi$.

8. От однородной квадратной плостины со стороны $a$ отрезают квадратный кусок так, как показано на рисунке 15. Какой должа быть длина $a_1$ стороны отрезаемого квадрата, чтобы центр тяжести оставшейся плостины находился в точке $C$?

9. Оdnородный стержень $OA$ закреплен шарнирно в точке $O$. В точке $B$ на расстоянии $b$ от точки $O$ к стержню подвешен груз $G$ массы $m$. Стержень удерживается в равновесии в горизонтальном положении с помощью груза $P$, прикрепленного к нему с помощьюниты, перекинитой через блок (рис. 16). При какой длине стержня масса груза $P$ может быть минимальная? Линейная плотность стержня равна $\gamma$. Блок считать идеальным.

10. Оdnородная балка длины $l$ и массы $m$ опирается на гладкую вертикальную стену и шероховатый горизонтальный пол. Козффициент треня о пол равен $\mu$. Определить, при каком угле $\alpha$ с вертикальной балка находится в равновесии. Найти давление на точках $A$ и $B$ при максимальном угле $\alpha$ (рис. 17).