Задачи наших читателей

10

3. Есть ли точки равновесия в следующих играх «с ограничением»: а) $v = x^2 + y^2$; б) $v = (x-y)^2$; в) $v = x^2 + xy + y^2$, причем во всех трех случаях $|x| \leq a, |y| \leq b$.

4. Как изменяется утверждение теоремы при дополнительном условии $x \geq a$?

5. Расстояние следующие игры с платейной матрицей $2 \times 2$ вида $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})^*$. Игрок $A$ выбирает строки, а $B$ — столбцы — а решение надо найти для смешанных стратегий $(x, y)$ и функций типа (1) при $0 \leq x$, $y \leq 1$ в следующих случаях:

a) «Прятки» или «понск»: $a = d = -1$, $b = c = 1$. Игрок $A$ приуется в одном из двух мест, а $B$ ищет его там же. Тот, кто достигает своей цели, получает, а другой — теряет очко (monету).

6. «Защита и нападение»: $a = d = c + 1$, $b = 1$, где $c > 1$ задано, например, $c = 3$. Отряд во главе с $A$ отвечает за 2 склада с горючим (во втором его в $c$ раз больше, чем в первом). Сил у $A$ хватит лишь для защиты одного склада. Отряд $B$ может атаковать лишь один из этих складов. Если их выборы совпадают, то все остается целым, если нет — незашищенный склад горит. Найти решения и цену игры и источовать результаты.

b) «Случай на пляже»: $a = d = -\frac{b + c}{2}$, $b > c > 0$. Например, $b = 30$, $c = 10$. К туристу $A$ подходит незнакомец $B$ и предлагает такую игра: оба разом показывают одну из сторон — монеты. Если $y A$ «орел», $y B$ «решка», то $A$ выиграет 30 монет; если

*) Число $a$ — это выиграшигрока $A$ (проигрыш $B$), если она применяет свои правила стратегии, и т. д. (сравните с таблицей для игры с вратarem); здесь также играютются много раз.

Приименить этот способ в играх упражнения 5.

7. (Задача для юных программистов.) Для проведения серии из $N$ игра с заданной функцией составить программу на языке Папира или на другом алгоритмическом языке ($N = 5$ или 10); в очередной партии судья вводит в ЭВМ выбранные значения $x$ и $y$, и после подсчета, на печать выводится выигрышигрока в этой партии и накопленый его выигрыш за все партии игры с начала данной серии.

8. Доказать, что если цена игра с квадратной функцией существует, то она единственная, хотя седловых точек может быть более одной.

9. Число — элемент матрицы — на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца часто обозначают $a_{ij}$ — это краткая запись для $a(i, j)$, функция двух целочисленных аргументов. Элемент матрицы называется «седловым», если он наименьший в своей строке и наиболее в столбце. Если такой элемент существует, то он равен цена игра, а номера его строк и столбцов дают решение игры «в чистых стратегиях». Верно и обратное (доказите). У каких матриц из упражнения 1 и 5 есть седловые элементы?

Задачи наших читателей

1. Так называемый ударный трансформатор Гойгенса представляет собой желоб, в котором лежат $n$ тел. Их массы $m_1$, $m_2$, …, $m_n$ связаны условием $m_i/m_{i+1} = k > 1$. Если первоое тело начинает движаться со скоростью $v_1$, то после всех соударений (соударения абсолютоно упругие) последнее тело покидает желоб со скоростью $v_n \gg v_1$ (исторически это один из первых способов получения больших скоростей). Найти выражения для отношений $v_n/v_1$ и для коэффициента полезного действия $K\Pi D = (m_n/m_1)(v_n/v_1)^2$ как функция $k$ и $n$. Покайте, что при заданной $v_n/v_1$ существенно такое $k$, при котором $K\Pi D$ максимален.

Л. Ашкинази

2. Широко распространяется спиртовые термометры обладают веса существенным недостатком: если их использовать для измерения температуры воздуха на улице, где они освещаются солнечными лучами, термометры довольно быстро (в течение одного-двух лет) начинают давать значенные показания. Причина тому является уменьшение количества параметров, если бы обивка перегородки была вдобавок не идеально, а пропускала бы одну сотую часть звуковой мощности.

Г. Гальперин

3. Две комнаты разделены звуковопроницаемой перегородкой, в которой имеется дырка в виде квадрата со стороны 2 см. Ширина перегородки 2м, высота комнаты тоже 2 м. Оцените, во сколько разухудшились бы звуковозолюционные параметры, если бы обивка перегородки была вдобавок не идеально, а пропускала бы одну сотую часть звуковой мощности.

М. Ваксман