Маятник Максвелла

18

Маятник Максвелла

«Важным разделом нашей обязаноностей является постановкаилостративных опытов, поощренные другие к постановке их и развите всевозможными способами освещаемых им们 идеи. Чем проще матерialsилостративного опыта и чем более они прививны учащему, темлубнее он поймет идею, которое долженилострировать этот опыт. Воспитательная ценность таких опытов часто обратно пропорциональна сложности прибора.»
Эти слова Джеймса Клерка Максвелла — великого английского физика, стоятидесятление со дня рождения которого отмечается в этом году, как бы специально предназначаны для Лаборатории «Кванта». В данной статье мы хотим обратиться к прибору, носящему его имя, — к так называемому матринику Максвелла. Несложный в изготовлении, он часто демонстрирует на lekциях по механике и позволяет выявить ряд интересных закономерностей движения твердого тела.

Посмотите на фотографию такого матриника (рис. 1). Это диск, насаженный на ось, к которой привязаны две нити (их верхние концы закреплены). Закрутите нити вокруг оси — диск поднимется. Теперь отпустите матрифик — и он начинает совершать периодическое движение: сначала диск опускается, нити раскручиваются, диск вращается все быстрее и быстрее; дойдя до нижней точки и продолжая по инерции врачается, диск меняет направление своего движения и поднимается в ось, движение диска замедляется; в самом верхней точке матрифик на мгновение останавливается и снова начинает свое движение вниз и т. д.

Сразу хотим предупредить читателей, что матрифик будет колебаться устойчиво и достаочно долго, если соблюдится несколько условия. Сам диск должен быть относительно тяжелым (m>100 г) и большим (динамиром 5—8 см), ось — тонкой (динамиром 4—5 мм) и «невесомой», а нити — прочными и достаочно длиными (~0,5 м). Обратите внимание на то, чтобы диск находился строго посередине оси и был перпендикулярен к ней, а нити имели одинаковые длины.

Для изучения закономерностей движения матрика нам понадобят-

Рис. 1.
Рис. 2.

19

ся часть с секундной стрелкой (конечно, лучше — секундомер) и набор дисков — одного и того же радиуса, но разной толщины (массы), а также различных радиусов, но одной толщины. Диску удобно сделать съемными; один из способов их закрепления на оси показан на фотографии на рисунке 2.

Итак, начнем наши эксперименты. Наблюдения за колебаниями различных магнитков дают первый результат — период колебаний, то есть полное время спуска и подъема магнитка, не зависит от массы диска, а зависит от его радиуса, причем зависит эта — почти пряма пропорциональная.

Далее, легко видеть, что с течение времени колебания довольно заметно затухают, причем чем меньше становится их амплитуда (максимальная высота подъема) и чем меньше скорость вращения диска, тем менее устойчиво ведет себя магниток. Интересно также проделать такой эксперимент: задавая некоторые возможности (то есть вывод магнитка из источного состояния), проследить за их затуханием при движении магнитка. Если, например, в момент запуска слегка повернуть диск в горизонтальной плоскости, то при своем padении он довольно быстро вернется к относительной устойчивому положению. Но если же отклонить магниток в плоскости его вращения, то практические до самого конца движения сохраняются оба колебания: вверх-вниз и в плоскости вращения.

Постараемся теперь обьясить часть наших экспериментальных результатов. Для простоты рассужdenый предположим, что все масса рассматриваемого диска сосредоточена на его поверхности, то есть что магниток — не диск, а обруч.

Обозначим радиус обруча через $R$, а радиус оси — через $r$ (рис. 3). Расмотрим магниток в тот момент, когда он опустился на расстояние $h$ от верхнего положения. Каждый точка обруча, например точка $A$, одновременно участвует в двух движениях: в построальном движении вместе с осью $O$ вниз со скоростью $\vec{v}_0 = \vec{v}_{\text{пост}}$ и вращательном со скоростью $\vec{v}_1 = \vec{v}_{\text{пост}} + \vec{v}_{\text{пост}}$.

Нить размытается без прокалывания, и это означает, что мгновенная скорость точки $B$ равна нулю. Поэтому движение магнитка можно представить и как ряд последовательных поворотов вокруг мгновенного центра вращения $B$. Тогда справедливо равенство

$$\frac{v_0}{v_A} = \frac{r}{R-r}, \text{ или } \frac{v_{\text{пост}}}{v_{\text{bp}} - v_{\text{пост}}} = \frac{r}{R-r} \tag{1}$$

(буквой $v$ мы обозначили модуль той или иной скорости). Отсюда

$$\frac{v_{\text{пост}}}{v_{\text{bp}}} = \frac{r}{R}.$$

Теперь воспользуемся законом сохранения энергии:

$$mgh = \frac{mv_{\text{пост}}^2}{2} + \frac{mv_{\text{bp}}^2}{2} \tag{2}$$

Мы представили кинетическое энергию (правую часть равенства (2)) в виде двух слагаемых — энергии поступательного движения и энергии вращательного движения вектора тяжести*).

Из кинematики известно, что

$$v_{\text{пост}}^2 = 2ah, \tag{3}$$

где $a$ — модуль ускорения поступательного движения магнитка.

*) Возможность такого разбиения можно доказать и строго, но интуитивно это ясно и так.

20

Рис. 4.

Таким образом, из уравнения (1) — (3) найдем:

$$a = \frac{g}{1 + (R/r)^2}.$$

В нашем случае $R/r \gg 1$ (при этом условии выполняется требование «невесомости» оси), поэтому можно считать, что

$$a = g \left( \frac{r}{R} \right)^2.$$

Если длина разматывающейся нитли $l$, то $l = at^2/2$ и период колебаний матрика равен

$$T = 2t = 2\sqrt{\frac{2l}{a}} = 2\frac{R}{r}\sqrt{\frac{2l}{g}}.$$

Для диск формулы (4) и (5) соответственно преобразуют (см. «Дополнитель»):

$$a = 2g \left( \frac{r}{R} \right)^2,$$

$$T = 2\frac{R}{r}\sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Тепер мы можем сравнить результаты расчетов и экспериментов. Из (4’) и (5’) видно, что и ускорение $a$, и период $T$ не зависит от массы диска, но зависит от отношения радиусов $R/r$: чем больше $R$ (по сравнению с $r$), тем меньше ускорение и, соответственно, больше период колебаний. Это действительное согласуется с экспериментом. Но если вы опыты проводили аккуратоно, то заметили, что расчетный период (5’) меньше экспериментального. Это, как уже говорилось, связано с затуханием. А как вы думаете — где именно происходит наиболее подробная погрешность наибольшая погрешность?

Наконец, можно продолжать еще один очень эффективный опит с матриком Максвелла, но для этого необходимо вызывать все (рис. 4). Сначала при неподвижном матрике приведите все в равновесие, а затем отпустите матрик. Равновесие нарушится: матрик как бы станет легче. Почему? Объясните это самостояльно.

Дополнитель

Для тех, кто знаком с интегральным исчислением, приведем вывод формулы кинетической энергии вращающегося диска, откуда будет легко получить формулы (4’) и (5’).

Разобъем диск радиусом $R$ на $n$ тонких колеси шириной $\Delta x$ каждое (рис. 5). Кинетическая энергия одного колеса радиусом $x$ и шириной $\Delta x$ равна

$$\Delta E_k = \left( \varrho 2\pi xb \Delta x \right) \frac{\omega^2 x^2}{2},$$

где $\varrho$ — плотность матриала диска, $b$ — его толщина, $\omega$ — угловая скорость вращения, а выражение в скобках — масса выбранного колца.

Рис. 5.

Кинетическая энергия всего диска приближенно равна сумме кинетических энергий отдельных колес:

$$E_k \approx \sum \Delta E_k.$$

Если перейти к пределу при $n$, стремится к бесконечности, приближенное равенство становится точным:

$$E_k = \lim_{n \to \infty} \sum \Delta E_k =$$

$$= \int_0^R \varrho 2\pi xb \frac{\omega^2 x^2}{2} dx =$$

$$= \frac{\varrho \pi b \omega^2 R^4}{4} = \frac{\varrho \pi R^2 b \omega^2 R^2}{4} = \frac{m \omega^2 R^2}{4}.$$

Кинетическая энергия вращающегося обруча той же массы равна $mv^2/2 = m\omega^2 R^2/2$. Следовательно, кинетическая энергия диска в два раза меньше.

Формулы (4’) и (5’) выведите самостояльно.